Текст

5. Определим усилия в основной системе от смещения опор по (6.47):

				6	3	0	0			0,055				0,255
				3	6	0	0			−0, 025				0,015
	0	= ka	= i									= i
S				0	0	3	0			0,01417				0,043	.
					0	0
				0			3			−0, 09333			−0, 280

6. Определим матрицу свободных членов по (6.48):

					0,255
R = aтS0 = 0			0		0,015
	1	1		i
-1/4	-1/4	1/8	-1/3		0,04251
				−0, 27999

7. Определим значения неизвестных по (6.20):

0, 05751

= i .

0, 03114

Z = −K −1Rt = −	1 0, 45		0,561	0, 05751		=	1		−0, 04335
				i					.
	3i 0,561		2,692	0, 03114			3		−0,11607

8.Определим усилия от действительных смещений по направлению дополнительных связей:

	1	− 0, 75
	2	− 0, 75
Sу = dZ = 3i
	1	0,125
	0	− 0, 333

1

3

				0,	044
−0, 04335				0,
			= i		000 .
	−0,11607			−0, 058
				0, 039

9. Определим матрицу усилий в сечениях заданной расчетной схемы по

(6.34):

	M1				0, 044		0,255			0, 299
S = Sy	+ S0 = M	2		= i	0, 000	+ i	0,015		=	0, 015	.
	M	3			−0, 058		0,043			−0, 015
										−0, 241
	M 4				0, 039		−0, 280

10. По полученным значениям матрицы St согласно принятому правилу

знаков концевых усилий строим эпюру M (рис. 6.45).

301

6.8. Применение метода перемещений к расчету на подвижную нагрузку

Как и при расчете методом сил построение линий влияния с использова-

нием метода перемещений удобно в матричной форме. Алгоритм расчета

(6.42) при действии единичного подвижного груза принимает вид:

т		−1	(6.50)
S = b0 − ka a	ka	rF ,

При построении линий влияния усилий для сечений, расположенных на участке ездового пояса (рис. 6.46, а), линии влияния могут быть построены

по выражениям:

	л. вл. М = л. вл.			M	б	+	b	(л. вл. М ) –	a	(л. вл. М ) ;	(6.51)
					k
		к					l	i	l	j
	л. вл. Q		= л. вл.	Qб		–( л. вл. М + (л. вл. М )/l ,					(6.52)
		к		k				i		j
где л. вл.	M б	и л.	вл. Qб –	линии влияния усилий, построенные в простой
	k		k

балке с пролетом l, равным участку ездового пояса между узлами расчетной схемы.

Для сечений, расположенных вне ездового пояса, используются эти же выражения без первых слагаемых. Линии влияния продольных сил в стерж-

нях расчетной схемы в силу ортогональности нагрузки могут быть определе-

ны из условий равновесия узлов по известным выражениям поперечных сил в узловых сечениях.

Рассмотрим пример построения линий влияния в статически неопредели-

мых системах с использованием метода перемещений в матричной форме.

Пример 6.14. Требуется построить линии влияния усилий в сечениях k и n рамы, показанной на рис. 6.46, а.

Относительные жёсткости стержней рамы следующие:

∙левого ригеля – i1 = 2EI/8 = i;

∙правого ригеля – i2 = EI/6 = 2i/3;

302

∙ стойки – i3 = EI/4 = i.

Решение. 1. Степень кинематической неопределимости рамы nк = nу = 1. 2. Основную систему получим введением одной дополнительной угловой

связи (рис. 6.46, б) и в ней покажем расчетные сечения (s =5). Поскольку ез-

довой пояс рамы имеет два пролета, число загружений р = 2.

3. Составим матрицы жесткости для стержней 1– 2 и 4– 5 по (6.30) и для

стержня 3 – по (6.31):

r = r = 2i	2	1	= i	4	2	; r = 3×	2i	[1]=i [2].
12 45						3	3
	1	2		2	4

4.Составим квазидиагональную матрицу жесткости k (5 x 5) необъеди-

ненных стержней расчетной схемы:

					4	2 0		0 0
	r 0		0		2 4		0	0	0
		12
k =			0		= i 0 0		2	0	0	.
	0 r3
	0 0		r		0 0		0	4	2
			45
						0	0	2	4
					0

5. На основании деформированного состояния от единичного поворота дополнительной связи (рис. 6.46, в) составим матрицу преобразования де-

формаций a (5 x 1); на основании эпюр M F0 1 и M F0 2 последовательного загру-

жения пролетов ездового пояса (рис. 6.46, г и е) составим матрицу влияния b0

(5 х 2) и определим свободные члены канонических уравнений, а по ним – матрицу влияния rF (1 x 2):

	v1				0					M10						-8uυ2		0
												0				2	υ	0
	v2				1					M		2				8u
a =		v3		=				; b0 =				0		=		0		- 3υ(1- υ	2		;
					1					M		3								)
					1						M	0				0		0
	v4											4
												0				0		0
										M
	v5				0							5
		r = r						r		= 8u2				υ		- 3υ(1- υ2 ) .
			F			1F1		1F2

4. Транспонируем матрицу a:

303

aт = [ 0 1 1 1 0] .

5. Вычислим матрицу усилий от единичных смещений дополнительных связей по (6.35):

	4 2 0 0 0 0					2
d = ka = i	2 4 0 0 0	1			= i	4
	0 0 2 0 0	1				2 .
	0 0 0 4 2	1				4
	0 0 0 2 4		0			2

6. Вычислим матрицу коэффициентов при неизвестных по (6.39)и обратим

ее:

2

4

= i

[10]; K−1 =

1

т

d = [

0 1 1 1 0]

i

2

[

0,1 .

K = a

i

]

4

2

7.Определим матрицу влияния неизвестных по (6.20):

−1

1

0,1

2

2

2

2

Z = −K

rF

= −

i

[

] 8u

υ

− 3υ(1− υ

) = −0,8u

υ

0,3υ(1− υ

) .

8. Определим усилия от действительных смещений по направлению дополнительных связей:

		2								−1, 6u2υ		0,6υ(1− υ2 )
		4								−3, 2u2υ
												1,2υ(1− υ2 )
										−1, 6u2υ		0,6υ(1− υ2 )			.
bу = kaZ = dZ =	i	2		2	υ	0,3υ(1− υ	2
			−0,8u					)	=	−3, 2u2υ
		4										1,2υ(1− υ2 )
										2	υ	0,6υ(1− υ	2	)
		2								−1, 6u

10. Определим матрицу усилий в сечениях заданной расчетной схемы по

(6.34):

304

M1					−1, 6u2υ
M					−3, 2u2υ
		2
					−1, 6u2υ
b = by + b0 = M3 =
					−3, 2u2υ
M 4
M5					−1, 6u2υ
			2			2
−1, 6u				υ − 8u υ
	4,8u2υ
= −1, 6u2				υ
	−3, 2u2υ
	−1, 6u2			υ

0,6υ(1− υ2 )		−8uυ2		0
			8u2υ
1,2υ(1− υ2 )				0
0,6υ(1− υ2 )		+	0	− 3υ(1− υ2 )		=
1,2υ(1− υ2 )			0	0
			0	0
0,6υ(1− υ2 )

0,6υ(1− υ2 )

1,2υ(1− υ2 ) − 2,4υ(1− υ2 ) .

1,2υ(1− υ2 )

0,6υ(1 − υ2 )

11. По полученным выражениям матрицы влияния b, задаваясь значения-

ми u и v, например, с итервалом 0,2, строим линии влияния изгибающих мо-

ментов в расчетных сечениях рамы (рис. 6.47, а – д).

12. Линию влияния изгибающего момента в сечении k строим на основа-

нии (6.51): л.вл. Mk = л.вл. Mkб + 0,6 л.вл. M1 − 0, 4 л.вл. M2 .

Слагаемые и результат сложения полученного выражения показаны на

рис. 6.48, а – г.

13. Линию влияния поперечной силы в сечении k строим на основании

(6.52): л.вл. Qk = л.вл. Qkб − 0,125 (л.вл. M1 + л.вл. M2 ).

Слагаемые и результат сложения полученного выражения показаны на рис. 6.49, а – в.

14. Сечение n расположено вне ездового пояса. Используя (6.51) и (6.52)

при M nб =0 и Qnб =0 , получим:

л.вл. Mn = 0,5 л.вл. M4 – 0,5 л.вл. M5 =0,5 (л.вл. M4 – л.вл. M5);

л.вл. Qn = – 0,25 ( л.вл. M4 – л.вл. M5).

Линии влияния, построенные по приведенным выражениям, показаны на рис. 6.49, г, д.

15. Для построения линий влияния продольных сил в сечениях k и n вос-

пользуемся уравнениями равновесия для жесткого узла рамы (рис. 6.50, а):

305

Из ΣY = 0 л. вл. Nn = л. вл.Q1 − л. вл.Q3 =

= [л. вл.Q1б − 0,125(л. вл.M1 − л. вл.M 2 )] − [л. вл.Q3б − 1 л. вл.M 3 ] = 6

= л. вл.Q1б − л. вл.Q3б − 0,125(л. вл.M1 − л. вл.M 2 ) + 1 л. вл.M 3 . 6

Слагаемые и результат сложения полученного выражения показаны на рис. 6.50, б – е.

Из ΣX = 0 л. вл. Nk = −л. вл.Q4 . Линия влияния Nk показана на рис. 6.50,

ж.

6.9. Принципы определения перемещений в статически неопределимых системах

Перемещения в статически определимых системах как от действия на-

грузки, так и от начальных деформаций (теплового воздействия, неравно-

мерной осадки опор и неточности изготовления стержней) можно определить

по правилам определения перемещений, сформулированных в подразд. 4.5.1.

Например, для рамы, изображённой на рис. 6.51, а, необходимо найти вер-

тикальное перемещение сечение k. Для этого раму рассчитывают от действия внешней нагрузки любым, наиболее удобным, методом (методом сил или ме-

тодом перемещений), в результате чего получают эпюру MF. Вспомогатель-

ное состояние от действия единичной безразмерной силы, приложенной по

направлению искомого перемещения, показано на рис. 6.51, б.

Величину перемещения определяют по формуле Максвелла− Мора

kF = ∑ ∫	M k M F	dx ,	(6.53)
	EI

где Mk – эпюра изгибающих моментов вспомогательного состояния.

Предположим, что эпюра Mk построена на основании метода сил при ос-

новной системе, показанной на рис. 6.51, в. Очевидно, что она получена на основании принципа независимости действия сил:

M k = M10 X1 + M 20 X 2 + M 30 X 3 + M 40 X 4 + M k0 ,

(6.54)

306

где M k0 – эпюра от единичной силы вспомогательного состояния в статически определимой основной системе.

Подставив (6.51) в (6.50) и сделав необходимые преобразования, получим

kF = ∑ ∫

M

M

F

dx = X1 ∑ ∫

M 0 M

F

dx +

X 2 ∑ ∫

M 0 M

F

dx + X 3

∑ ∫

M 0 M

F

dx +

k

1

2

3

EI

EI

EI

EI

+

X 4 ∑ ∫

M 0 M

F

dx +

∑ ∫

M 0 M

F

dx .

EI

EI

4

k

В правой части этого выражения первые четыре интеграла должны рав-

няться нулю, так как они выражают перемещения в заданной расчётной схе-

ме от внешней нагрузки по направлениям, исключающим эти перемещения

(см. п. 10 табл. 5.1).

Следовательно,

kF

= ∑ ∫

M M

F

dx = ∑ ∫

M 0 M

F

dx .

(6.55)

EI

EI

k

k

Аналогично можно показать, что

kF

= ∑ ∫

M M

dx = ∑ ∫

M M 0

dx .

(6.56)

EI

F

EI

F

k

k

Иными словами, для определения перемещений в статически неопредели-

мых расчётных схемах одна из эпюр, входящих под знак интеграла Максвел-

ла− Мора, может быть взята в любой статически определимой основной системе.

Использование формул (6.55) или (6.56) даёт существенные преимущест-

ва. Действительно, если для рассматриваемой рамы перемещение kF опреде-

лять по выражению (6.53), необходимо произвести перемножение эпюр на шести участках, а при использовании (6.55) – только на одном. Поэтому при определении вспомогательного состояния необходимо выбрать такую основ-

ную систему метода сил, чтобы эпюра M k0 была как можно проще.

Показанный на примере изгибаемой расчётной схемы вывод формулы оп-

ределения перемещений в статически неопределимых системах справедлив для любых расчётных схем как плоских, так и пространственных.

307

Контрольные вопросы

1.Что называется степенью кинематической неопределимости расчетной схемы?

2.Как определяется степень кинематической неопределимости плоской рас-

четной схемы?

3.Как получается основная система метода перемещений?

4.В чем отличие основной системы метода перемещений от основной сис-

темы метода сил?

5.Сформулируйте смысл канонических уравнений метода перемещений.

6.Как определяются реакции в дополнительных связях основной системы метода перемещений от смещения этих связей и от внешнего силового воз-

действия?

7. В чем состоит особенность построения эпюр изгибающих моментов в стержнях основной системы метода перемещений от смещения дополнитель-

ных связей и внешнего силового воздействия?

8.Каков порядок расчета балок и рам методом перемещений?

9.На каком этапе расчета методом перемещений учитывается влияние внешней узловой нагрузки?

10.Как производится проверка правильности расчета, произведенного на основе метода перемещений?

11.Какие особенности претерпевает основная система метода перемеще-

ний при расчете на тепловое воздействие и неравномерную осадку опор?

12.Запишите порядок расчета методом перемещений при наличии началь-

ных деформаций.

13.В каких случаях можно использовать основную систему метода пере-

мещений без постановки линейных дополнительных связей?

14.Какие упрощения расчета возможны при расчете методом перемеще-

ний симметричных рам? В чем состоят эти упрощения?

308

15.Сформулируйте основные особенности расчета методом перемещений пространственных рам.

16.Запишите матричный алгоритм метода перемещений при расчете на внешнюю нагрузку и дайте характеристики входящим в него матрицам.

17.Как записывается матричный алгоритм метода перемещений при расче-

те на тепловое воздействие и неравномерную осадку опор.

18.Как определить деформации основной системы метода перемещений и записать соответствующие им матрицы при расчете на тепловое воздействие и неравномерную осадку опор?

19.Сформулируйте идею применения метода перемещений при построе-

нии линий влияния усилий в сечениях расчетной схемы.

20. Сформулируйте особенности определения перемещений в статически

неопределимых расчетных схемах.

309

Глава 7

СМЕШАНЫЙ МЕТОД

7.1. Общие положения. Система канонических уравнений. Общий порядок расчета

Рассмотрим статически неопределимую раму, изображенную на рис. 7.1,

а. Степень ее кинематической неопределимости nк = 7, а степень статической неопределимости nс = 5. В то же время, если мысленно разделить схему рамы по узлу А (рис. 7.1, б), то увидим, что нижняя отсеченная часть рамы имеет nк

= 1 < nc = 3, а верхняя отсеченная часть nс = 1 < nк = 6. Таким образом, ниж-

няя часть рамы содержит значительное число лишних связей и обладает ма-

лой подвижностью узлов, а верхняя – при малом числе лишних связей имеет значительную подвижность узлов.

В этом случае эффективен смешанный метод расчета. Основную систему также формируют смешанной, в которой основными неизвестными являются реакции в удаленных связях и перемещения дополнительных связей. Для ка-

ждого из неизвестных канонические уравнения формируются на основе смы-

словых условий либо метода перемещений, либо метода сил.

Для приведенной на рис. 7.1, в основной системы канонические уравнения смешанного метода будут иметь вид:

	′	+ R1F		= 0,
r11Z1 + r12 X 2					(7.1)
′	+ δ22 X	2 +	2 F = 0.
δ21Z1

В выражении(7.1) первое уравнение – уравнение метода перемещений, от-

рицающее сумму реакций во введенной связи от обоих неизвестных и внеш-

ней нагрузки; второе уравнение – уравнение метода сил, отрицающее сумму перемещений по направлению удаленной связи от тех же факторов.

Входящие в (7.1) коэффициенты при неизвестных и свободные члены по-

казаны на деформированных схемах возможных состояний основной систе-

мы (рис. 7.1, г – е).

310