Текст

Пример 8.3. Требуется рассчитать раму, свободно стоящую на упругом основании (рис. 8.11, а) с коэффициентом постели k0 = 26000 кН/м3; ширина подошвы опирания b = 1,0 м; жесткость EI = 0,2·106 кН·м2. Расчет произве-

сти без учета односторонней связи с основанием

Решение. 1. В силу симметрии рассматриваем половину расчетной схемы

(рис. 8.11, б).

2. Определим рациональный размер конечных элементов, взаимодейст-

вующих с упругим основанием.

Линейная характеристика балки α = 4		k0b		= 4		26000 ×1, 0		= 0, 42 м	-1	.
		4EI				4 ×0, 2 ×106

Принимаем размер конечных элементов l = 2,0 м. Тогда согласно (8.53)

величина αl = 0,42·2 = 0,84 находится в допустимых пределах. Разбив осно-

вание рамы по длине на 2 элемента, и поставив в узлы дополнительные связи,

получаем основную систему метода перемещений (рис. 8.11, в). 3. Составим исходные матрицы.

– Матрицы жесткости, учитывающие упругие свойства балки, согласно нумерации конечных элементов в основной системе (см. рис. 8.11, в) и на ос-

новании (8.43) имеют вид:

			1,875	- 3, 75	1,875		- 3,75					15	-15	15	-15
			-3, 75	10	- 3, 75		5					-15	20 -15		10
r = rэ = 104								;	rэ = rэ = 104								;
1	1								3	4
			1,875	- 3, 75	1,875		- 3,75					15	-15	15	-15
			-3,75	5	- 3,75		10					-15	10 -15		20
						1,111 - 3,333				1,111	- 3,333
						-3,333		13,333	- 3,333		6,667
			r	= rэ = 104									.
			2	2		1,111		- 3,333		1,111	- 3,333
						-3,333		6,667	- 3,333		13,333

– Матрицы жесткости, учитывающие упругие свойства основания по выра-

жению (8.44) имеют вид:

341

			1,931	− 0,545	− 0, 667	0,322
r0	= r0	−0,545		0,198	0,322	− 0,149
		= 104					.
3	4	−0, 667		0,322	5,973	− 0,545
			0,322	− 0,149	− 0,545	0,198

– Полные матрицы жесткости для элементов 3 и 4 будут

					16,931	−15,545	14,333 −14, 678
r = r = rэ + r0				−15,545		20,198	−14, 678	9,851
				= 104		−14, 678		−15,545	.
3	4	4	4		14,333		16,931
						9,851	−15,545	20,198
				−14, 678

– Матрицы преобразования деформаций строим от последовательного смещения по направлению указанных в основной системе неизвестных. За положительные направления примем: для линейных смещений – в сторону упругого основания; для угловых – по часовой стрелке. На основании по-

рядка записи узловых перемещений (8.36) и (8.37) матрицы имеют вид имеют вид:

		0 0 −1 0 0 0 0					0		0 0 0 0 0 0
a = 0 1 0 0 0 0 0 ;					a	2	= 0		1 0 0 0 0 0	;
1		1 0 0 0 0 0 0					0		0 0 0 0 0 0
		0 0 0 0 0 0 0					0		0 0 1 0 0 0
		0 0 −1 0 0 0 0					0 0 0 0 −1 0 0
a	3	= 0 0	0	1 0 0 0 ;	a	4	=	0 0 0 0 0 1 0 ;
		0 0	0	0 1 0 0				0 0 0 0 0 0 1
			0
		0 0		0 0 1 0				0 0 0 0 0 0 0

– Матрицы усилий в основной системе согласно порядка записи (см. 8.36

и 8.37) составляем на основании эпюр					M 0			и Q0		(рис. 8.11, г и д):
						F			F
		72		−72							0
	−48		; S0		72		;	S0	= S0		0
S0 =				=							= .
1	−72		2		72			3		4	0
		48		−72							0

– Элементы матрицы свободных членов определим из равновесия узлов ос-

новной системы:

342

	72
	24
	−72
R =	−72	.
	0
	0
	−80

4. Подставив составленные матрицы в алгоритм (8.55) и реализуя его на ЭВМ, получим матрицу неизвестных метода перемещений и матрицы усилий для каждого элемента:

											144						-85, 407
		93, 296	м		S =					-166,585 ;					S	2	= 166,585		;
						1					0							58,593
		10,166	рад
		34,564 м								-121, 415							-86,136
Z = 10	−4
		-6,144	рад ;
		18, 792	м					-144										- 6,198
		-5, 202	рад		S3 =						86,136			;	S4		=	-49, 617 .
			м								- 6,198							80
		16,123
											49, 617							-26, 058
5. На основании полученных данных построим эпюры усилий MF и QF
(рис. 8.11, е, ж).
6. Определим экстремальное значение изгибающего момента в пределах
элемента 4. Для этого найдем приближенную функцию реакций упругого ос-
нования по значениям концевых перемещений элемента Z5, Z7, и Z7:
											Z5
					x	2	x	3			−1 Z6			=	(48,859 -13,525x + 8,321x					2	3	).
r(x) = k0bw = 26000 ×1× 1 x									A1 Z												-1, 646x
												7
											0

Из условия равенства нулю поперечной силы найдем положение сечения в

пределах элемента, в котором действует экстремальный ихгибающий мо-

мент:

343

x

Qэкс = ∑ F лев = -6,198 + ∫ r(x)dx = -6,198 + 48,859x - 6, 763x2 + 2, 774x3 - 0, 412x4 = 0,

0

откуда значение действительного корня уравнения x = 0,129 м.

Тогда

0,129

M экс = ∑ M лев = -49, 617 - 6,198 ×0,129 + ∫ r(x)(0,129 - x)dx = -50, 015 кН×м.

0

Положение сечения на рис. 8.11, е и ж для удобства показано от левого

угла рамы.

8.4.Прямоугольные плиты на упругом основании

8.4.1.Общие положения и составление системы разрешающих

уравнений

Железобетонные плиты на упругом основании являются одним из наибо-

лее важных конструктивных элементов промышленного, гражданского, гид-

ротехнического и дорожного строительства, и поэтому необходимость наи-

более точно отразить их напряженно – деформированное состояние является важной задачей теории сооружений.

В данном разделе рассмотрим расчет тонких плит, для которых справед-

ливы гипотезы Кирхгофа-Лява. Материал плит считается идеально упругим и ортотропным.

При использовании МКЭ прямоугольная плита разбивается на ряд пря-

моугольных КЭ (рис. 8.12, а), соединенных между собой в узлах. При ис-

пользовании метода перемещений в каждый узел полученной дискретной расчетной схемы вводятся дополнительные связи, припятствующие смеще-

ниям в трех направлениях: углам поворота в направлении координатных осей и вертикальному перемещению перпендикулярно срединной поверхности плиты (рис. 8.12, б). Углом поворота в плоскости плиты пренебрегают. Сле-

344

довательно, состояние любого узла n КЭ (рис. 8.13) может быть характери-

зовано тремя узловыми силами и темя перемещениями:

Sn
Sn = Snx		;
y
Sn

Zn				w
	x		=			при n = i, j, k, l.	(8.57)
Zn = Zn				∂w / ∂x
	y			∂w / ∂y
Zn

Таким образом, матрица жесткости такого элемента будет 12-го порядка,

и ее удобно представить в блочной форме:

S			rii rij
	i			rjj
S j			= rji
S			r	r
	k		ki	kj
S	l		r	r
			li	lj

или в краткой форме для КЭ

rik	ril	Ζ
rjk			i
	rjl Z j				,
r	r	Z				(8.58)
kk	kl		k
r	r	Z	l
lk	ll

Sg = rgZg.

(8.59)

Представление матрицы жесткости в блочной форме позволяет отказаться от использования единого матричного алгоритма при составлении системы разрешающих уравнений. Использование матричного алгоритма не всегда удобно, так как матрицы преобразования деформаций, входящие в выраже-

ние (8.31), содержат большое число нулей (см. примеры 8.2 и 8.3), что из-

лишне загромождает память ЭВМ при их использовании. Поэтому при со-

ставлении системы уравнений метода перемещений удобнее использовать блочный принцип.

Предположим, что все перемещения находятся в единой системе коорди-

нат, которая в общем случае может не совпадать с направлениями коорди-

натных осей, принятых для отдельных элементов. Обозначим перемещения узлов и узловых сил в общей системе координат как Zn* и Sn*. Для плит эти матрицы будут трехмерными [см. (8.57)]. Чтобы перейти к составлению матрицы K (8.27), для каждого элемента вводятся матрицы преобразования координат, с помощью которых матрицы Zn и Sn заменяются матрицами Zn*

и Sn*. Например, для узла i Si =ai Si*, Zi = ai Zi*. В случае совпадения еди-

345

ной системы координат с системами координат отдельных элементов матри-

цы преобразования координат будут единичными.

Значения Zn и Sn, выраженные через Zn* и Sn*, подставляются в в (8.58),

например, для первой строки:

aiS*i = riiai Z*i + rija j Z*j + rik ak Z*k + rilal Z*l ,

или после умножения слева на ai−1 ,

S* = (a−1r a		)Z* + (a−1r a		j	)Z*	+ (a−1r a	k	)Z*	+ (a−1r a	)Z* ,	(8.60)
i	i ii i	i	i ij		j	i ik		k	i il l	l

где выражения в скобках являются блоками матрицы K, составляемой для общей системы координат.

Рассмотрим часть области плиты, поделенной на прямоугольные конеч-

ные элементы (рис. 8.14), и составим уравнение равновесия для узла n:

(S*i )D + (S*j )C + (S*k )A + (S*l )B + Rn = 0,

(8.61)

где Rn – матрица свободных членов для узла n.

Подставив выражения для S* на основании (8.60) в (8.61), получим:

(ai−1riiai Z*i )D

+(a−j1rjiai Z*i )C +(a−k 1rkiai Z*i )A +(al−1rliai Z*i )B

+(ai−1rija j Z*j )D

+(a−j1rjja j Z*j )C

+(a−k 1rkja j Z*j )A

+(al−1rlja j Z*j )B

+(ai−1rik ak Z*k )D + (ai−1ril al Z*l )D +

+(a−j1rjk ak Z*k )C + (a−j1ril al Z*l )C +

+ (a−1r a

Z* )

+ (a−1r a

Z* )

+

(8.62)

A

A

k kk

k

k

k kl

l

l

+ (a−1r a

Z* )

B

+ (a−1r a

Z* )

B

+ R

n

= 0.

l lk k

k

l

ll l

l

На основании совместности деформаций в узлах дискретной схемы плиты для узла n (см. рис. 8.14)

(Z*i )D = (Z*j )C = (Z*k )A = (Z*l )B = Zn .

(8.63)

Подставив (8.63) в (8.62) получим:

(r* )

A

Z

p−1

+ [(r* )

A

+ (r* )

B

]Z

p

+ (r* )

B

Z

p+1

+ [(r* )

B

+ (r* )

D

]Z

n+1

+

ki

kl

li

lj

lk

ij

+(rik* )D Zs+1 + [(ril* )D

+ (r*jk )C ]Zs + (r*jl )C Zs−1 + [(r*jl )C

+ (rkl* )A ]Zn−1

(8.64)

+[(r*

)

A

+ (r* )

B

+ (r* )

D

+ (r* )

C

]Z

n

+ R

n

= 0,

kk

ll

ii

jj

где выражения в круглых скобках

r* = (a−1r a

);

r* = (a−1r a

j

);

r*

= (a−1r a

k

); r*

= (a−1r a

);

и т.д.

(8.65)

ii

i

ii i

ij

i ij

ik

i

ik

il

i il l

346

Уравнения типа (8.64) составляются для каждого узла: результатом объе-

динения этих уравнений является выражение (8.27).

При совпадении местных систем координат, принятых для каждого от-

дельного элемента, с общей системой матрицы преобразования координат

будут единичными и тогда rii* = rii ; rij* = rij ; rik* = rik ; ril* = ril ; и т.д. В этом слу-

чае блоки матриц жесткости можно сразу (без преобразования) из (8.58) под-

ставлять в (8.64).

Граничные условия для расчетной схемы учитываются при составлении блоков матриц усилий и перемещений (см. 8.57), определяемых для каждого граничного элемента.

8.4.2. Матрица жесткости прямоугольного элемента плиты

Для выражения поверхности прогиба примем бикубический полином,

удовлетворяющий однородному дифференциальному уравнению изгибаемой плиты при отсутствии упругого основания:

	w(x, y) = f + f	2	x + f	3	y + f	4	x2	+ f	5	y2	+ f		6	xy + f	7	x2 y + f	xy2 + f		x3 + f y3		+
	1															8		9		10		(8.66)
	+ f x3 y + f xy3 = [1 x y x2											y		2 xy x2 y xy2 x3				y3		x3 y xy3 ]f
																						.
	11		12																		s

Полином (8.66) используется почти во всех работах, посвященных расчету тонких плит МКЭ. Это объясняется тем, что он дает достаточно точные ре-

зультаты, особенно при решении задач прочности, хотя и допускает разрыв деформаций в углах поворота между смежными элементами.

Выражения для прогибов и углов поворота согласно (8.57) примут вид:

w		1 x		y
¶w / ¶x		= 0	1	0
			0	1
¶w / ¶y		0

x2 y2 xy x2 y xy2

x3

y3 x3 y xy3

2x 0 y 2xy

y2

3x

2

0

3x2 y

y3

×fs

= Lfs .

(8.67)

0 2 y x x

2

2xy 0

3y

2

x

3

3xy

2

Подставив в матрицу L (8.67) координаты узлов конечного элемента (см.

рис. 8.13), получим матрицу А коэффициентов при fs (8.3). Обращение этой матрицы дает A-1 (табл. 8.1):

347

Таблица 8.1

Матрица параметров fs для прямоугольного КЭ

			1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
			0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
			0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
			–3/ a2	–2/ a	0	3/a2	–1/ a	0	0	0	0	0	0	0
			–3/ b2	0	–2/ b	0	0	0	0	0	0	3/b2	0	–1/ b
	A-1	=	–1/ ab	–1/ b	–1/ a	1/ab	0	1/a	–1/ ab	0	0	1/ab	1/b	0
			3/a2b	2/ab	0	–3/ a2b	1/ab	0	3/a2b	–1/ ab	0	–3/ a2b	–2/ ab	0
			3/ab2	0	2/ab	–3/ ab2	0	–2/ ab	3/ab2	0	–1/ ab	–3/ ab2	0	1/ab
			2/a3	1/a2	0	–2/ a3	1/a2	0	0	0	0	0	0	0
			2/b3	0	1/b2	0	0	0	0	0	0	–2/ b3	0	1/b2
			–2/ a3b	–1/ a2b	0	2/a3b	–1/ a2b	0	–2/ a3b	1/a2b	0	2/a3b	1/a2b	0
			–2/ ab3	0	–1/ ab2	2/ab3	0	1/ab2	–2/ ab3	0	1/ab2	2/ab3	0	–1/ ab2

Выражения для вторых производных от w получим из (8.67):

¶w2 / ¶x2

0 0 0 2 0 0 2 y 0 6x 0 6xy

0

2

2

¶w

/ ¶y

= 0 0 0 0 2 0 0 2x 0 6y 0

2

6xy

×fs

= Bfs .

(8.68)

2

2

¶

w / ¶x¶y

0 0 0 0 0 1 2x 2 y 0 0 3x

3y

2

0 0 0 0 0 1 2x 2 y 0 0 3x2

3y2

¶

w / ¶y¶x

Матрица жесткости С (8.5) для бесконечного малого элемента в случае из-

гиба тонких ортотропных плит дает соотношения между изгибающими мо-

ментами и деформациями плиты:

M x					- Dx
	y				-µy Dy
M			=
	xy				0
M
M yx					0

- µx Dx 0

- Dx 0

0 - Dcr

0 0

0	¶w2 / ¶x2
0				2	/ ¶y	2
	¶w							= CBfs ,	(8.69)
		2
0	¶		w / ¶x¶y
- D		2
cr ¶			w / ¶y¶x

где Dx =Exh3/(12ν) – изгибная жесткость плиты в направлении оси x;

Dy =Eyh3/(12ν) – изгибная жесткость плиты в направлении оси y;

Dk =Gh3/6 – жесткость при кручении; µxDx = µyDy = Dµ; ν = 1– µx µy.

На основании принятой модели упругого основания [см. (8.32) и (8.33)]

реакции упругого основания в матричной форме имеют вид:

348

r(x,

R0 g = t(x)

t( y)

						w
y)	k0 0 0 - c0			- c0
						¶w / ¶x
	= 0 c 0		0	0		¶w / ¶y					= kL f	(8.70)
		0									0 s,
			0	0		¶		w / ¶x
	0 0 c0						2		2
						¶2 w / ¶y			2

где

w		1 x y
¶w / ¶x		0 1 0
¶w / ¶y		= 0 0 1
¶2 w / ¶x2		0 0 0
¶2 w / ¶y2		0 0 0

x2	y2	xy	x2 y	xy2
2x	0	y	2xy	y2
0	2 y	x	x2	2xy
2	0	0	2 y	0
0	2	0	0	2x

x3	y3	x3 y
3x2	0	3x2 y
0	3y2 x3
6x	0	6xy
0	6 y	0

xy3

y3

3xy2

0

6xy

×fs = L0fs . (8.71)

Подставляя матрицы L (8.67), A-1 (табл. 8.1), В (8.68), С (8.69), k (8.70) и

L0 (8.71) в выражения (8.19) и (8.20) и интегрируя в пределах от 0 до а в на-

правлении оси x и от 0 до b в направлении оси y, получим в общем виде: rgэ –

матрицу жесткости собственно конечного элемента, учитывающую его упру-

гие свойства; rg0 – матрицу, учитывающую свойства упругого основания.

Матрица rg0 представлена в виде суммы трех матриц: rg0 = rg01 + rg02 + rg03 ,

где rg01 зависит от коэффициента k0, а rg02 и rg03 – от коэффициента с0 по на-

правлениям координатных осей. При rg02 =0 получаем наиболее распростра-

ненную и простую модель упругого основании – модель Винклера. При от-

сутствии упругого основания rg0 = 0. Матрицы жесткости rgэ , rg01 , rg02 и

rg03 приведены, соответственно, в таблицах 8.2, 8.3, 8.4 и 8.5.

Распределенные (погонные) усилия при расчете плиты определяются по

выражению (8.30),	которое в данном случае удобно записать в виде
Mg = Ng Z . Матрица	Ng приведена в таблице 8.6. В эту матрицу подставля-

ются координаты узлов для изгибающих моментов и координаты середины элемента – для крутящего момента. Размер матрицы Ng – (9 х 12).

349

Таблица 8.2

Матрица жесткости rgэ прямоугольного КЭ плиты

Si

r11

r12

r13

r14

r15

r16

r17

r18

r19

r1,10

r1,11

r1,12

Zi

Six

r22

r23

– r 15

r25

0

– r 18

r28

0

r1,11

r2,11

0

Zix

Siy

r33

r16

0

r36

– r 19

0

r39

– r 1,12

0

r3,12

Ziy

Sj

r11

– r 12

r13

r1,10

– r 1,11

r1,12

r17

– r 18

r19

Zj

S jx

r22

– r 23

– r 1,11

r2,11

0

r18

r28

0

Z jx

S jy

=

r33

– r 1,12

0

r3,12

– r 19

0

r39

Z jy

Sk

r11

– r 12

– r 13

r14

– r 15

– r 16

Zk

Skx

r22

r23

r15

r25

0

Zkx

Sky

Симметрично

r33

– r 16

0

r36

Zky

Sl

r11

r12

–r 13

Zl

Slx

r22

– r 23

Zlx

Sly

r33

Zly

В таблице 8.2: r11 =

4mD

+

4Dy

+

2Dµ

+

14D

=

2mD

x

+

Dµ

+

D

x

k

k

;

r12

;

a

2

mb

2

ma

2

5ma

2

a

b

5b

2Dy

Dµ

D

4mD

2Dy

2Dµ

14D

2mD D

r =

+

+

k

;

r = −

x

+

−

−

k

;

r =

x

+

k

;

mb

a

a2

mb2

ma2

a

13

5a

14

5ma2

15

5b

Dy

Dµ

D

2mD

2Dy

2Dµ

14D

mD D

r =

−

−

k

;

r = −

x

−

+

+

k

;

r =

x

−

k

;

16

mb a 5a

17

a2

mb2

ma2

5ma2

18

a

5b

r =

Dy

−

D

r =

2mD

−

4Dy

−

2Dµ

−

14D

=

mD

−

Dµ

−

D

k

;

x

k

;

r

x

k

;

mb

a2

mb2

ma2

5ma2

a

b

19

5a

1,10

1,11

5b

2Dy

D

4mD

4D

2mD

D

r =

+

k

;

r =

x

+

k

;

r

= D ;

r =

x

−

k

;

1,12

mb

5a

22

3

15m

23

µ

25

3

15m

r =

mD

D

; r =

2mD

4D

4Dy

+

4mD

2Dy

−

4mD

x

+

k

x

−

k

; r =

k

; r =

k

;

28

3

15m

2,11

3

15m

33

3m

15

36

3m

15

Dy

mD

2Dy

mD

b

r =

+

k

;

r =

−

k

; m =

.

39

3m

15

3,12

3m

15

a

350