4.3. Главные площадки. Главные напряжения

Главными называются площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Положение главных площадок определяется по формуле

. (4.8)

Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями. Главные напряжения являются экстремальными, т.е. одно главное напряжение имеет наибольшее, другое – наименьшее из возможных значений нормальных напряжений на множестве площадок, проходящих через исследуемую точку.

Определяются главные напряжения по формулам (4.5) и (4.6), где вместо угла  подставляется угол наклона главных площадок ₀.

Вместо формул (4.5) и (4.6) главные напряжения могут определяться по формуле

. (4.9)

Знаки в формуле (4.9) расставляются таким образом, чтобы удовлетворялись условия: если _x > _y, то _гл^I >_гл^II, и наоборот.

При изучении плоского напряженного состояния в точке обычно рассматриваются две задачи:

1. По известным напряжениям на главных площадках требуется определить нормальные и касательные напряжения на произвольных площадках. В этом случае для определения напряжений пользуются формулами (4.3), (4.5) и (4.6), в которых вместо _х и _у подставляются главные напряжения. Например, известны главные напряжения, действующие по граням элемента ₁ и ₂ (рис. 4.5). Требуется найти нормальные и касательные напряжения на двух наклонных площадках:

(4.10)

;

. (4.11)

2. По известным нормальным и касательным напряжениям на произвольных взаимно перпендикулярных площадках необходимо определить главные напряжения и положение главных площадок. Задача решается с помощью формул (4.8) и (4.9). Пример задачи дан на рис. 4.6. Полагаем, что в задачах _х  _у.

Наибольшие и наименьшие касательные напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45 к главным площадкам. Они вычисляются по формуле

(4.12)

Если по граням элемента действуют не главные, а нормальные и касательные напряжения, то экстремальные касательные напряжения определяются по формуле

(4.13)

На площадках с максимальным касательным напряжением нормальные напряжения определяются по формуле

. (4.14)

4.4. Объемное напряженное состояние

4.4.1. Определение максимальных касательных напряжений

При объемном напряженном состоянии по граням элементарного параллелепипеда действуют все три главных напряжения – ₁, ₂, ₃.

Рассмотрим вычисление максимальных касательных напряжений, возникающих на площадках, параллельных действию главных напряжений. Так как на площадке, параллельной главному напряжению₃ (рис. 4.7), нормальные и касательные напряжения целиком определяются величинами ₁ и ₂, максимальное касательное напряжение согласно формуле (4.12) будет равно

. (4.15)

На площадке, параллельной напряжению ₂,

. (4.16)

На площадке, параллельной главному напряжению ₁,

. (4.17)

Наибольшее касательное напряжение действует по площадке, перпендикулярной второй главной площадке, наклоненной к двум другим главным площадкам под углом 45, и равно

4.4.2. Деформации при объемном напряженном состоянии

Рассмотрим деформацию бесконечно малого элемента с размерами реберdx, dy, dz (рис. 4.8). По граням параллелепипеда действуют главные напряжения ₁, ₂, ₃. Вследствие деформации длины ребер элемента становятся равными dx + dx, dy + dy, dz + dz.

Величины называются относительными удлинениями в направлении главных напряжений, или главными линейными деформациями.

Зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае трехосного напряженного состояния выражается обобщенным законом Гука:

(4.18)

Из формул (4.18) легко можно получить закон Гука для плоского напряженного состояния как частного случая объемно-напряженного состояния.

Объемная деформация. При упругой деформации тела изменяется его объем. Относительное изменение объема определяется по формуле

(4.19)

Здесь V₀ – объем элемента до деформации, V₁ – объем элемента в деформированном состоянии. Выразив главные удлинения через главные напряжения при помощи формул (4.18), получим

. (4.20)