5.3. Определение напряжений и деформаций при кручении вала круглого сечения

При анализе деформаций кручения будем основываться на следующих гипотезах:

1. При кручении круглого вала поперечные сечения, плоские до деформации вала, остаются плоскими и перпендикулярными к его продольной оси и после деформации (гипотеза плоских сечений).

2. Радиусы сечения, прямые до кручения, остаются прямыми и при кручении.

3. Расстояния между поперечными сечениями не изменяются, но поперечные сечения, вследствие деформации сдвига, поворачиваются друг относительно друга как жесткое целое.

4. Касательные напряжения пропорциональны деформации сдвига.

Условие прочности для круглого сечения записывается в виде:

, (5.3)

где – максимальный крутящий момент на участке, – полярный момент инерции на том же участке.

Учитывая, что , называемый полярным моментом сопротивления, условие прочности приобретает следующий вид:

. (5.4)

Закон изменения касательного напряжения по высоте сечения имеет линейный характер. В центре вала напряжение равно нулю, на периферии вала – максимальное значение (рис. 5.3).

По четвертой теории прочности.

Относительный угол закручивания  зависит от крутящего момента и жесткости поперечного сечения вала.

, (5.5)

где GJ_р – жесткость поперечного сечения вала круглого сечения при кручении.

Учитывая, что , определяем величину абсолютного угла закручивания.

Если в пределах цилиндрического участка вала длиной l крутящие моменты в сечениях не изменяются, то .

Условие жесткости при кручении имеет вид

, (5.6)

где [] – допускаемый относительный угол закручивания.

5.4. Кручение вала прямоугольного сечения

Задача об определении касательных напряжений и углов закручивания для вала с некруглым поперечным сечением не может быть решена методами сопротивления материалов. В данном случае гипотеза плоских сечений не применима. Это подтверждают экспериментальные исследования.

В случае кручения вала прямоугольного сечения (рис. 5.4, а) наибольшие касательные напряжения возникают в серединах длинных сторон прямоугольника, т.е. в точках А и В (рис. 5.4, б). Результаты решения, полученные Сен-Венаном, дают следующие зависимости:

(5.7)

где ;h – большая сторона; b – малая сторона прямоугольника.

В точке С .

Угол закручивания на длине l находят по формуле

(5.8)

где .

Коэффициенты , ,  зависят от отношения и находятся по справочным таблицам (табл. 5.1).

Таблица 5.1

h/b			
1,00	0,208	0,141	1,000
1,50	0,231	0,196	0,859
1,75	0,239	0,214	0,820
2,00	0,246	0,229	0,795
2,50	0,258	0,249	0,766
3,00	0,267	0,263	0,753
4,00	0,282	0,281	0,745
6,00	0,299	0,299	0,743
8,00	0,313	0,313	0,742
10,00	0,313	0,313	0,742
 10	0,333	0,333	0,742

Условия прочности и жесткости для прямоугольного сечения имеют следующий вид:

,

. (5.9)