Решение

Составить уравнение поперечных сил и изгибающих моментов по участкам и построить их эпюры.

Запишем уравнения статики и определим опорные реакции, показанные на рис. 6.5, а.

: ;;

: ;.

61,7

Реакции получились положительные – это означает, что их направление выбрано верно. Для проверки спроектируем все силы на вертикальную ось:

.

Выделим и обозначим участки балки так, как это показано на рис. 6.5, б. Используя уже известный метод сечений, для каждого участка запишем выражения поперечной силы Q_у и изгибающего момента М_х и вычислим их значения в характерных сечениях.

1. м.

; кH; кH.

; ;кHм.

2. м.

; кH; кH.

Значения поперечной силы на левой и правой границах участка имеют разные знаки, следовательно, имеется такое значение координаты z₀, при котором Q_уобращается в нуль, а момент М_х имеет экстремум. Найдем величину z₀:

;

м;

.

кHм; кHм; кHм.

3. м.

кH; ;;кHм.

По вычисленным значениям Q_у, М_х построим их эпюры. При этом будем учитывать вид этих функций, а также дифференциальные зависимости между ними и интенсивностью распределенной нагрузки q. Результат построения показан на рис. 6.5, в, г.

Определить положение опасных сечений и показать опасные точки на чертеже балки.

К опасным, прежде всего, относится сечение, в котором изгибающий момент принимает наибольшее по модулю значение , т.е. сечение, расположенное на расстоянииz₀ от левого торца балки. Кроме того, опасным может оказаться сечение В, в котором наибольшего значения достигает поперечная сила. К тому же, в данном сечении действует изгибающий момент, лишь немного уступающий максимальному. В первом сечении опасными будут точки, наиболее удаленные от оси – на рис. 6.6, а они помечены цифрой 1. В этих точках нормальные напряжения достигают наибольшей величины. В сечении В имеется два типа опасных точек. В точках на оси сечения, помеченных на рисунке цифрой 2, наибольшего значения достигают касательные напряжения, что может привести к разрушению срезом.

В опасных точках третьего типа (см. рис. 6.6, а) ни нормальные, ни касательные напряжения не являются максимальными, однако их совместное действие может оказаться опасным.

Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать двутавровое сечение.

Определим максимальную величину момента сопротивления из указанного условия прочности в опасном сечении:

, .

Наилучшим образом подходит двутавр № 36 с моментом сопротивления W_х = 743 см³, моментом инерции J_х = 13380 см⁴, статическим моментом половины сечения S_х = 423 см³ и толщиной стенки d = 7,5 мм.

Произвести проверку прочности по максимальным касательным напряжениям и при необходимости усилить сечение.

Поперечная сила достигает наибольшего значения кH над правой опорой (сечение В).

Найти максимальное касательное напряжение:

.

Условие прочности не выполняется, следовательно, необходимо увеличить номер двутавра. Для следующего по ГОСТу двутавра № 40 W_х = 953 см³, J_х = 19062 см⁴, = 545 см³, d = 8,3 мм.

Вновь вычислим наибольшее касательное напряжение:

.

Определим величину перегрузки: .

Полученное значение менее 5 %, следовательно, можно оставить этот номер стандартного профиля.

С учетом совместного действия нормальных и касательных напряжений, используя четвертую теорию прочности, проверить прочность балки и при необходимости подобрать новое сечение.

Вычислить нормальное и касательное напряжения в сечении В в точках, помеченных на рис. 6.6, а цифрой 3.

Расстояние от этих точек до оси у₍₃₎ = h/2 – t = 200 – 13= = 187 мм. Здесь h – высота сечения, t – толщина полки. Нормальное напряжение:

Па.

Касательное напряжение можно найти по формуле

.

Здесь – статический момент части сечения, отсеченной горизонтальной плоскостью, проходящей через точку3. Эту часть сечения можно без большой погрешности считать прямоугольником размерами bt, где t – уже упоминавшаяся толщина полки, а b = 155 мм – ширина полки указанного двутавра. Вычислим статический момент отсеченной части сечения как произведение ее площади А^отс на расстояние от оси х до центра тяжести прямоугольника.

мм.

.

Определим касательное напряжение в точке 3.

Па.

В соответствии с четвертой теорией прочности вычислим эквивалентное напряжение в точке 3 сечения В и сравним его с допустимым.

.

Таким образом, двутавр № 40 обеспечивает прочность балки.

В опасном сечении построить эпюры нормальных и касательных напряжений.

Эпюры напряжений построим в сечении В. Нормальные напряжения при изгибе линейно зависят от расстояния до оси балки, принимая в точке 3 значение σ=88,3 МПа.

У верхней и нижней кромок сечения напряжения равны:

МПа.

На рис. 6.6, б показана эпюра нормальных напряжений . Поскольку момент в опасном сечении отрицательный, верхняя часть сечения находится в растянутом состоянии, т. е. напряжения положительны.

Формула Журавского достоверно описывает распределение напряжений лишь в стенке двутавра, поэтому приведенная на рис. 6.6, в эпюра  построена для центральной части сечения.

Наибольшего значения 98,4 МПа касательное напряжение достигает на оси сечения.