Учебное пособие с заданиями

Условие прочности	для круглого сечения							записывается
в виде:
τmax	=			M к		×ρmax	£ [τ] ,	(5.3)
				J p

где Mк – максимальный крутящий момент на участке, J p – по-

лярный момент инерции на том же участке.

Учитывая, что Wp	=	J p	, называемый полярным моментом
		R

сопротивления, условие прочности приобретает следующий вид:

τmax	=	M к	£ [τ] .	(5.4)
		Wp

Закон изменения касательного напряжения по высоте сечения имеет линейный характер. В центре вала напряжение равно нулю, на периферии вала – максимальное значение (рис. 5.3).

По	четвертой	теории прочности			τmax
[τ] » 0, 6[σ] .
Относительный угол закручивания q за-
висит от крутящего момента и жесткости
поперечного сечения вала.
	θ =	M к	,	(5.5)
		GJ p
где GJр	– жесткость	поперечного		сечения	Рис. 5.3
вала круглого сечения при кручении.

Учитывая, что θ = dj , определяем величину абсолютного dz

l M dz

угла закручивания j = ∫ к .

0 GJ p

Если в пределах цилиндрического участка вала длиной l

крутящие моменты в сечениях не изменяются, то j = M кl .

GJ p

Условие жесткости при кручении имеет вид

71

					τmax
	у					А
	М						τ
						С
	0 А
b		С			В	0
	В	х
	h
z		а			б
		Рис. 5.4
		θmax	= M к	£ [θ] ,			(5.6)
			GJ p

где [q] – допускаемый относительный угол закручивания.

5.4. Кручение вала прямоугольного сечения

Задача об определении касательных напряжений и углов закручивания для вала с некруглым поперечным сечением не может быть решена методами сопротивления материалов. В данном случае гипотеза плоских сечений не применима. Это подтверждают экспериментальные исследования.

В случае кручения вала прямоугольного сечения (рис. 5.4, а) наибольшие касательные напряжения возникают в серединах длинных сторон прямоугольника, т.е. в точках А и В (рис. 5.4, б). Результаты решения, полученные Сен-Венаном, дают следующие зависимости:

τA = τmax	=	M к	,	(5.7)
		Wк

где Wк = αhb2 ; h – большая сторона; b – малая сторона прямо-

угольника.

В точке С τc = γ × τmax .

72

Угол закручивания на длине l находят по формуле
ϕ =	M кl	,	(5.8)
	GJк

где Jк = βhb3 .

Коэффициенты α, β, γ зависят от отношения h и находятся b

по справочным таблицам (табл. 5.1).

			Таблица 5.1
h/b	α	β	γ
1,00	0,208	0,141	1,000
1,50	0,231	0,196	0,859
1,75	0,239	0,214	0,820
2,00	0,246	0,229	0,795
2,50	0,258	0,249	0,766
3,00	0,267	0,263	0,753
4,00	0,282	0,281	0,745
6,00	0,299	0,299	0,743
8,00	0,313	0,313	0,742
10,00	0,313	0,313	0,742
> 10	0,333	0,333	0,742

Условия прочности и жесткости для прямоугольного сечения имеют следующий вид:

	τmax	=			M к			≤ [τ] ,
					Wк
	θ =			M к			≤ [θ] .		(5.9)
			GJ к

73

5.5. Рациональные формы сечений при кручении

За критерий рациональности принимается удельный момент со-

=

Wp

( w =

W

противления w

p

к

для некруглого сечения)

с по-

A3

к

A3

зиции прочности и удельный радиус инерции j

=

J p

( j

=

J

к

,

p

A2

k

A2

для некруглого сечения) c позиции жесткости.

Чем больше эти параметры, тем рациональнее сечение.

5.6. Пример расчета стального вала на прочность и жесткость при кручении

Пример

Определить размеры стального вала сплошного круглого, трубчатого и прямоугольного сечения из условий прочности и жесткости для схемы нагружения, изображенной на рис. 5.2, б.

Допускаемое напряжение [t] = 96 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [q] = 0,5 град/м. Отношение внутреннего диаметра к наружному у трубчатого сечения

α = d = 0,8 , отношение большей стороны прямоугольного се-

D

чения к наименьшей h = 2 . b

Решение

1. Определить размеры вала, удовлетворяющие условиям прочности и жесткости, и округлить их до нормализованного значения по ГОСТ 6636–99 ( приложение). Для вала постоянного сечения опасным будет сечение С, где Мк = 800 Н×м имеет наибольшее значение.

Сплошное круглое сечение

Определение диаметра вала из условия прочности:

74

τmax

=

M к

£ [τ], Wp

=

πD3

,

Wp

16

D ³ 3

M к ×16

= 3

800 ×16

= 3, 49 ×10

−2

м;

π[τ]

3,14 ×96 ×106

из условия жесткости:

θmax

=

M к

£ [θ] ,

[θ] = 0,5

град

= 0, 0087

рад

,

GJ p

м

м

J p ³

M

к

,

J p

=

πD4

,

G [θ]

32

модуль сдвига для стали принимаем G = 8×104 МПа.

D = 4		Mк ×32		=	4	800 ×32			= 5,85 ×10	−2	м .
		πG [θ]				3,14 ×8 ×1010	× 0, 0087

Наибольшее значение диаметра получилось из условия жесткости. Из нормального ряда линейных размеров принимаем ближайшее значение D = 60 мм.

Трубчатое сечение

M к

πD3

4

Из условия прочности

Wp ³

, Wp =

(1 - α

) ,

[τ]

16

D ³

3

Mк ×16

= 3

800 ×16

= 4,16 ×

10

−2

м.

π[τ](1 –

α4 )

3,14 × 96 ×106 (1 - 0, 84 )

Mк

πD4

(1 - α

4

) , тогда

Из условия жесткости

J p ³

, J p =

G [θ]

32

D ³

4

Mк × 32

= 4

800 × 32

= 6, 67 ×10

−2

м.

πG [q](1 -

α4 )

3,14 × 8 ×1010 × 0, 0087

×

0, 59

75

Принимаем D = 67 мм.

Прямоугольное сечение

Из условия прочности

τmax =

M к

£ [τ],

Wк

где W

= ahb2 = a × 2b3 , из табл. 5.1 a = 0,246,

к

M к

800

−2

b ³ 3

= 3

= 2, 57 ×10

м.

2α[τ]

2 × 0, 246 ×96 ×106

Из условия жесткости

θ =

Mк

£ [θ] ,

GJк

где Jк = βhb3 , из табл. 5.1 b = 0,229,

Jк = 2βb4 = 2 ×0, 229b4 ,

M к

800

−2

b ³

4

=

4

= 3, 98

×10

м .

G × 0, 458 ×[θ]

8 ×1010 ×0, 458 ×0, 0087

Принимаем b = 40 мм, h = 80 мм.

2. Дать эскиз опасного сечения вала и построить эпюру касательных напряжений (рис. 5.5).

τ, МПа	τ, МПа	τ, МПа
	18,87	23
		В
	d	D

А 25,4

18,87	23		20,2
а		б		в

76	Рис. 5.5

τmax =

M к

=

800 ×16

=18,87 ×106 Па,

3,14 ×0, 063

Wp

τmax

=

800 ×16

= 23

×106

Па,

×0, 0673 ×0, 59

3,14

τmaxA

=

800

= 25, 4

×106

Па,

× 0, 246 × 0, 043

2

τB = γ × τmaxA

= 0, 795 × 25, 4 ×106 = 20, 2 ×106 Па.

3. Оценить рациональность рассматриваемых сечений. Оценим критерии рациональности с позиции жесткости

и прочности.

Сплошное круглое сечение

С позиции прочности

wp =

Wp

=

πD3

=

4

= 0, 282.

А3

2 3,14

πD2 3

16

4

С позиции жесткости

j p

=

J p

=

πD4

=

1

= 0,158 .

А2

πD2

2

×3,14

2

32

4

77

Трубчатое сечение

wp =

πD3 (1 - α4 )

=

1 + α2

=

1, 64

= 0, 771,

2

3

π 1 - α

2

)

2

3,14 ×

0, 36

2

16

πD

(1 - α2 )

(

4

j p

=

πD4

(1 - α4 )

=

1 + α

2

=

1, 64

= 0, 725.

πD2

2

2π(1 -

α2 )

2 × 3,14 × 0, 36

32

(1 - α2 )

4

Прямоугольное сечение

w =

W

=

2αh3

=

α

=

0, 246

= 0,174,

к

к

А3

(2 × h

2

)

2

1, 41

3

j =

J

к

=

2βh4

=

β

=

0, 229

= 0,114.

А2

4h4

к

2

2

Отношение критериев рациональности для трубчатого, сплошного круглого и прямоугольного с позиции прочности следующие:

wаp : wбp : wк = 0, 771: 0, 282 : 0,174 = 4, 43 :1, 62 :1.

С позиции жесткости

jаp : jбp : jк = 0, 725 : 0,158 : 0,114 = 6,36 :1,39 :1.

Следовательно, наиболее рациональным сечением из рассмотренных является трубчатое, наименее рациональным – прямоугольное.

Отношение весов Q = γАl этих валов будет равно

78

а

б

в

=

πDтр2

(1 -

2

):

πD2

2

=

Q

: Q

: Q

α

спл

: 2b

4

4

=

3,14 × 6, 72

× 0, 36 :

3,14 × 62

: 2 × 42 = 0, 40 : 0, 88 :1.

4

4

Из отношения весов следует, что вес вала с трубчатым сечением в 2,5 раза легче вала с прямоугольным сечением и в 2,2 раза легче вала со сплошным круглым сечением.

4. Определить углы закручивания участков вала трубчатого сечения и построить эпюру углов закручивания.

Обозначим площади эпюры крутящих моментов на участках за w1, w2, w3, w4, которые представляют собою произведение Мк и длины участка (w3 – произведение средней линии трапеции и длины участка).

Тогда, принимая за начало отсчета сечение А (см. рис. 5.2, б), получим:

jB− A =

ω1

=

200 ×1×180O

= 0,123O ,

3,14

(1 -

)×3,14

GJ p

10

4

4

8 ×10

×

0, 067

0,8

32

j

= j

B − A

-

ω2

=

200 ×1

-

200 ×1

= 0,

C − A

GJ p

GJ p

GJ p

800 + 700

×1×180O × 32

ω3

jD− A = jC− A

-

= -

2

= -0, 461O ,

GJ p

8

×1010

× 3,142 ×0, 0674 ×0,59

jE − A = jD− A

-

ω4

= -0, 251O -

500 ×0,5 ×180O ×32

= -0,614O.

GJ p

8 ×1010 ×3,142 ×0,0674 ×0,59

На основании расчетов строим эпюру углов закручивания

(см. рис. 5.2, б).

На тех участках, где эпюра Мк = const, закономерность на эпюре углов закручивания выражена линейной зависимостью. На тех участках, где есть распределенный крутящий момент постоянной интенсивности, эпюра j выражена параболой второго

79

порядка. В тех сечениях, где приложены сосредоточенные крутящие моменты, на эпюре ϕ наблюдается излом.

Контрольная работа № 4.

Расчет вала на прочность и жесткость

Определить размеры стального вала из условия прочности и жесткости, оценить рациональность трубчатого, сплошного круглого и прямоугольного сечений. Найти отношение весов этих сечений. Схемы нагружения валов и численные значения данных выбираются в соответствии с шифром из рис. 5.6 и табл. 5.2.

Общие данные: [τ] = 96 МПа; [θ] = 0,5 град/м.

Указание: крутящий момент, направление и величина которого не указаны на рисунке, определяется из условия равновесия вала.

80