Учебное пособие с заданиями

3. Определение положения главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции.

tg2α0 = -

2J xC yC

= -

2(-226, 3)

= -4, 26 ;

J x

- J y

507, 2

- 613

C

C

α0 = -38о30¢ .

Так как a0 £ 0, ось хС должна быть повернута до совмеще-

ния с главной осью U по часовой стрелке

J y

> J x , следова-

C

C

тельно, Ju = J min ,

J v = J max .

J xC + J yC

1

=

507, 2 + 613

-

Ju =

-

(J x - J y

)2 + 4J x2 y

C

2

2

C

C

C

2

1

= 328 cм4.

-

(507, 2 - 613)2 + 4 × 226,32

2

J xC + J yC

1

Jv =

+

(J x

- J y

)2 + 4J x2 y

= 560 + 230,62 = 792 cм4,

2

2

C

C

C C

J x + J y

= Ju + Jv ;

507, 2 + 613 = 328 + 792 ;

C

C

1120 = 1120 .

4. Определяем главные радиусы инерции:

i

=

Ju

=

328

= 2, 06 cм;

u

А

76,75

i

=

J v

=

792

= 3, 21 cм.

v

А

76,75

Пример 2

Определить

для

плоского

сечения,

изображенного на

рис. 3.6, положение главных центральных осей и вычислить главные моменты инерции и радиусы инерции. Швеллер № 30,

уголок 125´80´10.

41

Справочные данные:

№ 125´80´10

y1

yС

y2

В = 12,5 см, b = 8 см,

v

xc

А = 19,7 см2, Jх = 311,61 см4,

I

Jу= 100,47 см4, Jху= 102,0 см4,

x0 = 1,92 см, y0 = 4,14 см.

y0

x1

С1

u

№ 30

b

b1

α0

xС

h = 30 см, b = 10 см,

С b2

x2

А = 40,5 см2,

С2

Jх = 5810 см4, Jу = 327 см4,

z0 = 2,52 см.

a1

а2

Решение

1.

Выбираем

вспомога-

x0

z0

тельные

оси,

совпадающие

a

II

с центральными осями (х2 – у2)

Рис. 3.6

швеллера,

определяем центр

тяжести

фигуры аналогично

предыдущему примеру.

n

∑ S y

А1 × a

= 19, 7(-4, 44) = -1, 45

1

x

= i=1

=

cм ;

C

SАi

А1 + А2

19, 7 + 40, 5

a = x0 + z0 = 1,92 + 2,52 = -4, 44 cм ;

n

∑ Sxi

А1 × b

= 19, 7(8, 36) = 2, 74

y

= i=1

=

cм ;

C

SАi

А1 + А2

60, 2

b = B - y0 =12,5 - 4,14 = 8,36

cм .

42

2. Определяем моменты инерции относительно центральных осей.

n

J x

= ∑ J x

= J x + А1 ×b12 + J x + А2 ×b22 =

C

=1

Ci

1

2

i

= 311, 61 +19, 7 ×5, 622 + 5810 + 40, 5 × 2, 742 = 7047, 9

cм;

b1 = b - yC = 8, 36 - 2, 74 = 5, 62 cм;

b2 = - yC = -2, 74 cм;

n

I y

= ∑ I y

= I y + A1a12 + I y

2

+ A2a22 = 100,47 +19,7 × 2,992 +

C

Ci

1

i=1

+327 + 40,5×1, 452 = 688,7 см4

I x y

= I x y + A1a1b1 + I x

y

2

+ A2a2b2 = -102 +19, 7 × (-2, 99) ×5, 62 +

C

C

1 1

2

40,5 ×1, 45 × (-2, 74) = -593, 94 см4

a1 = −(a − xC ) = −(4, 44 − 1, 45) = −2, 99 см

a2

= xC = 1, 45 см

3.

Определяем

направление главных центральных осей

и величину главных центральных моментов инерции.

tg2α0

= -

2J xC yC

= -

2 × (-593, 94)

= 0,1868

;

7047, 9 - 688, 7

J x

- J y

C

C

α0 = 5O18¢ .

Ось х необходимо повернуть против часовой стрелки на угол a0 до совмещения с главной осью U.

J x + J yC

1

Ju = J max =

+

(J x

- J y

C

)2 + 4J x2

y

=

2

2

C

C

C

43

7047,9 + 688,7

1

= 7103 cм4 ;

=

+

(7047,9 - 688,7)2 + 4 ×593,92

2

2

7047,9 +688,7

1

= 633,7 cм4 ;

Jv = Jmin =

-

(7047,9 -688,7)2 +4×593,92

2

2

J x

+ J y

= Ju + Jv ;

7047, 9 + 688, 74 = 7103 + 633, 7 ;

C

C

7 7 37 = 7 7 3 7 .

4. Определяем главные радиусы инерции:

i

=

Ju

=

7103

= 10,86

cм;

u

А

60, 2

i

=

J v

=

633,7

= 3, 24

cм.

v

А

60, 2

Контрольная работа № 2.

Геометрические характеристики плоских сечений

Для заданного плоского сечения определить положение главных центральных осей и вычислить основные геометрические характеристики.

Типы сечений и числовые данные выбираются в соответствии с шифром по рис. 3.7 и табл. 3.1.

Сведения о геометрических характеристиках прокатных профилей даны в ГОСТ 8239–72 ( двутавры), ГОСТ 8240–72 (швеллеры), ГОСТ 8509–86 ( уголки равнополочные), ГОСТ 8510–86 (уголки неравнополочные).

44

						Таблица 3.1
			Цифра шифра
	1-я	2-я	3-я	4-я	5-я	6-я
Номер	Тип се-	№ швел-	Размеры			Размеры
строки		лера или	равнопо-	b, см	R, см	неравно-
	чения	двутавра	лочного			полочного
			уголка			уголка
1	1	12	70×70×8	10	6	75×60×6
2	2	14	80×80×8	12	8	80×50×8
3	3	16	90×90×9	14	10	90×56×8
4	4	18	100×100×10	11	12	100×63×10
5	5	20	110×110×8	13	14	110×70×8
6	6	22	120×120×12	15	7	125×80×10
7	7	24	140×140×12	16	9	140×90×10
8	8	24а	150×150×10	17	11	160×100×12
9	9	30	160×160×14	18	13	180×110×12
0	10	36	180×180×12	20	15	200×125×14

Содержание и порядок выполнения работы

1.Начертить сечение в масштабе, указать размеры.

2.Определить положение центра тяжести сечения.

3.Вычислить моменты инерции относительно центральных осей.

4.Определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции.

5.Вычислить главные радиусы инерции.

45

Рис. 3.7

46

Вопросы для самопроверки

1.Как определяются осевой, центробежный и полярный моменты инерции?

2.Каковы основные свойства статического момента площади и центробежного момента инерции?

3.Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей.

4.Какие оси называются центральными, главными и главными центральными?

5.Как изменяются моменты инерции при повороте осей?

6.Что такое радиусы инерции?

Для лучшего усвоения материала рекомендуется изучить источник [1] (гл. 3).

ГЛАВА IV. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМАЦИОННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ.

ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ

4.1. Напряженное состояние в точке и его виды

Напряженным состоянием в точке называется совокупность напряжений (нормальных и касательных), действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.

Если в окрестности исследуемой точки шестью сечениями выделить элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда, то напряжения на гранях этого параллелепипеда будут определять напряженное состояние в точке.

При изменении ориентации граней выделенного элементарного параллелепипеда напряжения на них также будут изменяться. В теории упругости доказывается, что можно найти такую ориентацию элемента, при которой касательные напряжения на гранях будут равны нулю. Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения на них – главными напряжениями. Обозначаются главные напряжения буквами σ1, σ2, σ3, при этом индексы следует расставлять так, чтобы выполнялось неравенство σ1 ³ σ2 ³ σ3 .

47

σ1		σ1			σ1	σ3
	σ2			σ2 σ2		σ2
				σ3
σ1		σ1			σ1
	а	б			в

Рис. 4.1

Можно выделить три вида напряженного состояния в точке. Напряженное состояние, в котором два главных напряжения равны нулю, называется одноосным, или линейным (рис. 4.1, а). В случае равенства нулю только одного главного напряжения (два других отличны от нуля) оно носит название двухосного, или плоского (рис. 4.1, б). Если все три главных напряжения не равны нулю, то напряженное состояние называется трехосным, или объемным (рис. 4.1, в).

4.2. Исследование плоского напряженного состояния

При исследовании напряженного состояния элементов конструкции часто приходится иметь дело с плоским напряженным состоянием. Например, оно имеет место при кручении, попереч-

ном изгибе и сложном сопротивлении.
						Линейное напряженное со-
		у				стояние представляет собой ча-
				x1		стный случай плоского, поэтому
		σу
	τ			σα		отдельно не рассматривается.
	у
τх				ασх		При плоском напряженном
						состоянии	две параллельные
σх				τх	х	грани параллелепипеда свобод-
						ны от напряжений. Совместим
				α
						их с плоскостью чертежа и рас-
			τу
		σу				смотрим площадки, перпенди-
		Рис. 4.2				кулярные	ненагруженным гра-

ням (рис. 4.2).

48

Нормальное напряжение обозначается буквой σ с индексом, соответствующим оси, перпендикулярной к рассматриваемой площадке; касательное напряжение обозначается буквой τ с индексом, также соответствующим оси, перпендикулярной к площадке.

Нормальное растягивающее напряжение σ будем считать положительным, а сжимающее – отрицательным. Касательное напряжение принимается положительным, если его для совмещения с направлением внешней нормали к площадке необходимо повернуть на 90° против хода часовой стрелки, обратное направление касательного напряжения считается отрицательным.

Угол α между осями x и x1 считается положительным (см. рис. 4.2), если внешнюю нормаль к площадке, по которой действует напряжение σх, для совмещения с нормалью к площадке, где действует напряжение σx1 , следует повернуть про-

тив часовой стрелки.

Между касательными напряжениями τх и τу, действующими на двух взаимно перпендикулярных площадках, имеется однозначная связь, выражаемая законом парности касательных напряжений. В соответствии с этим законом касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по абсолютной величине и обратны по знаку:

τy = −τx .

(4.1)

Из закона парности касательных напряжений следует, что по двум взаимно перпендикулярным площадкам касательные напряжения направлены либо к линии пересечения этих площадок (рис. 4.3, а), либо от нее (рис. 4.3, б).

При известных нормальных и касательных напряжениях на двух взаимно-перпендикулярных площадках напряжения на произвольной наклонной площадке с нормалью x1 (см. рис. 4.2) определяются по следующим соотношениям:

σx	= σx cos2 α + σy sin2 α − τx sin 2α ,			(4.2)
1
	τx =	σx − σy	sin 2α + τx cos 2α .	(4.3)
		2
	1

49

					у	β
			y1		τу	σα
							x1
					τy 1 τx	α
			σ	τх			σх
					1
		τ	х			τх		х
τ	τ		τ
90°			90°			α
а			б		σу	τу
	Рис. 4.3
					Рис. 4.4

Если вместо угла α в уравнение (4.2) подставить угол β = α + 90°, то получим выражение для напряжения σy1 на

площадке, перпендикулярной к произвольной наклонной площадке (рис. 4.4) с нормалью у1:

σy1 = σx sin2 α + σy cos2 α + τx sin 2α ,

τy	= −τx .	(4.4)
1	1

Используя тригонометрические соотношения

cos2 α =	1+ cos 2α	;	sin2 α =	1− cos 2α	,
2			2

можно записать формулы (4.2) и (4.4) в иной форме:

σx	=		σx + σy		+		σx − σy		cos 2α − τx sin 2α ;	(4.5)
1	2				2
σy	=	σx + σy		−		σx − σy		cos 2α + τx sin 2α .		(4.6)
1	2				2

Суммируя выражения (4.5) и (4.6), получаем соотношение

σx	+ σy = σx + σy ,	(4.7)
1	1

50