Учебное пособие с заданиями

		σ3		σ1	σ1
									S
						α = 45°
		σ3									τ
							а		γ
					σ3
σ1
		σ1		σ3
				Рис. 4.9					Рис. 4.10

Главные площадки наклонены к граням элемента под углом 45°. По главным площадкам действуют главные напряже-

ния s1 = t и s3 = – t; s2 = 0.

Взаимное перемещениеτ двух параллельных площадок, отстоящих друг от друга на расстоянии а (рис. 4.10), называется

абсолютным сдвигом DS, а отношение γ = DS – относительным a

сдвигом, или угловой деформацией. Экспериментально установлено, что между t и g существует линейная зависимость:

τ = G × γ,

(4.30)

которая отражает закон Гука при сдвиге, где G – модуль сдвига. Между тремя константами материала Е, G и m существует

зависимость:

G =	E
		.
	2 ×(1 + µ)

По разным теориям прочности получим различные соотношения между допускаемыми нормальными и касательными напряжениями.

По третьей теории прочности [τ] = 0,5[σ] , по теории энер-

гии формоизменения [τ]= 0,58[σ] , по теории прочности Мора

[τ]= [σ] .

1 + J

61

Контрольная работа № 3.

Анализ напряженного состояния

Произвести анализ плоского напряженного состояния и оценить прочность материала в опасной точке детали по заданным напряжениям на двух взаимно перпендикулярных наклонных площадках. Общие данные: для пластичного материала принять предел текучести σт = 300 МПа, для хрупкого материа-

ла принять предел прочности на растяжение								σпчр = 180 МПа,
предел прочности на сжатие –				σс	= 690 МПа.
				пч
Расчетная схема и числовые данные выбираются в соответ-
ствии с шифром из рис. 4.11 и табл. 4.1.
									Таблица 4.1
Номер				Цифра шифра
строки	1-я	2-я		3-я		4-я		5-я		6-я
	схема	|σх|,		|σу|,		|τх|, МПа		μ		|α°|
		МПа		МПа
1	1	55		30		25		0,25		20
2	2	60		45		30		0,26		25
3	3	75		50		45		0,27		30
4	4	80		65		50		0,28		35
5	5	95		70		65		0,30		40
6	6	100		85		20		0,32		45
7	7	65		75		35		0,30		50
8	8	75		65		40		0,28		55
9	9	80		55		50		0,26		60
0	10	95		40		65		0,29		65

Содержание и порядок выполнения работы

1.Вычертить схему элемента с указанием численных значений заданных величин.

2.Присвоить, согласуясь со схемой, знаки напряжениям иуглам.

3.Определить положение главных площадок и значения главных напряжений.

4.Определить напряжения на взаимно перпендикулярных пло-

щадках, повернутых на угол α относительно исходных площадок.

62

63

5.Вычислить наибольшие касательные напряжения.

6.Определить главные деформации.

7.Вычислить относительное изменение объема.

8.Вычислить эквивалентные напряжения и определить коэффициенты запаса прочности:

а) для пластичного материала по теориям прочности наибольших касательных напряжений и потенциальной энергии изменения формы;

б) для хрупкого материала по теории наибольших линейных деформаций и теории прочности Мора.

4.7.Пример расчета при напряженном состоянии

Вопасной точке детали, выполненной из пластичного материала с пределом текучести sт = 300 МПа, произвести анализ плоского напряженного состояния, заданного напряжениями на

у	σ
	у
	τу	у1
σх	τх	х
	α	σх
	σу	х1

двух взаимно перпендикулярных площадках, и оценить прочность материла в данной точке (рис. 4.12).

Исходные данные:

|sх| = 90 МПа, |sу| = 30 МПа, |tх| = 40 МПа, |a| = 25°,

Е = 2×105 МПа.

Решение

Рис. 4.12

1. Согласно принятым пра-

вилам присваиваем заданным напряжениям и углу a следующие знаки: sх= 90 МПа, sу= –30 МПа,

tх = –40 МПа, a = –25 °.

2. Определяем положения главных площадок:

	tg 2α0	= -	2τx		= -	2(-40)	= 0, 667	;
			σx	- σy		90 - (-30)

2α0 = 33, 7O , α0 =16,85O .

64

3. Находим величины главных напряжений:

			1										2
σглI,II =					(σx	+ σy ) ±			(σx - σy )					+ 4τ2x				=
			2
	1
										2					2
=		(90			- 30) ± (90			+ 30)			+ 4	× (-40)						=
	2

30 ± 72; σ1 =102 МПа, σ2 = 0 , σ3 = -42 МПа.

Положение		главных	II			σу
площадок и действующие									σ1	= 102 МПа	I
на них главные напряже-
								τу
ния показаны на рис. 4.13.									τх
					σ3					α0 = 16,85°
Для этого	отложим от
нормали к	вертикальной									σх
площадке против часовой
стрелки угол a0 = 16,85°,			σmax					σ3 = 42 МПа
получим	направление
большего	по	величине					Рис. 4.13
главного напряжения s1 =

102МПа, (так как sх > sу, то угол a0 определяет положение главной площадки, где действует smax). По перпендикулярной ей главной площадке действует напряжение s3.

4. Определяем напряжения на взаимно перпендикулярных площадках, повернутых относительно исходных на угол a = – 25°.

σx	=	σx + σy	+	σx	- σy	cos 2α - τx sin 2α =
1		2			2

= 90 - 30 + 90 - (-30) cos(-50O ) - (-40) sin(-50O ) = 2 2

= 30 + 60 × 0, 643 - 30, 64 = 30 + 38,56 - 30, 64 = 37,9 МПа.

65

														σy =				σx + σy											-		σx - σy									cos 2α + τx sin 2α =
																				2														2
														1
											=		90 - 30						-		90 - (-30)													cos(-50) + (-40) sin(-50) =
														2													2
															= 30 - 60 × 0, 643 + 30, 64 = 22,1 МПа.
τx			=			σx					− σy				sin 2α + τx cos 2α =																			90 - (-30)							sin(-50) + (-40) cos(-50) =
											2																												2
	1
											60 ×(-0, 766) - 40 ×0, 643 = -46 - 25, 7 = -71, 7 МПа.
				Полученные																результаты																нанесем на исходный элемент
(см. рис. 4.11).
				5. Вычисляем наибольшие касательные напряжения:
												τmax/ min							= ±			σ1 - σ3											= ±			102 - (-42)						= ±72 МПа.
																											2												2
				6. Определяем главные деформации:
	ε			=			1				σ - µ(σ									+ σ						)			=		1						[102 - 0, 25 × (-42)] = 56, 25 ×10−5 ;
																	2						3													5
	1						E					1																			2 ×10
ε		=				1			σ				- µ(σ						+ σ				)				=				1					[0 - 0, 25 × (-42 +102)] = -7, 5 ×10−5;
	2											2				3																		5
					E															1
																													2 ×10
	ε			=				1			σ				- µ(σ + σ											) =								1				[-42 - 0, 25 ×102] = -33, 75 ×10−5.
		3											3											2
									E								1														2 ×105

7.Вычисляем относительное изменение объема:

θ= ε1 + ε2 + ε3 = 56, 25 ×10−5 - 7, 5 ×10−5 - 33, 75 ×10−5 =15 ×10−5 .

8.Вычисляем эквивалентное напряжение по четвертой теории прочности:

66

	σ2		+ σ2	+ (	σ - σ	3	)2
		1	3		1
σэквIV =								=
				2

= 1 × 1022 + (-42)2 + (102 + 42)2 =129 МПа. 2

9. Определяем коэффициент запаса прочности:

n =	σT	=	300	= 2,3 > [n] =1,5 .
	σIV
		129
	экв

Прочность детали обеспечена.

Вопросы для самопроверки

1.Какие существуют виды напряженного состояния? Дайте их определение.

2.Каковы правила знаков для нормальных и касательных напряжений?

3.Что называется главными площадками, главными напряжениями? Как они определяются?

4.Как записывается обобщенный закон Гука?

5.Как определяется относительное изменение объема?

6.Как вычисляется удельная потенциальная энергия деформации? Назовите составные части полной деформации.

7.Раскройте понятия коэффициента запаса прочности, эквивалентного напряжения, равноопасности напряженных состояний.

8.Расскажите о теории прочности, применяемые в расчетах на прочность для хрупкого материала; для пластичного материала.

ГЛАВА V. КРУЧЕНИЕ

5.1. Понятие о крутящем моменте. Внешние нагрузки, вызывающие кручение

Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает единственный силовой фактор – крутящий момент Мк. Стержни, работающие на кручение, называют валами.

67

Кручение возникает под действием внешних моментов (пар сил), действующих в плоскостях, перпендикулярных продольной оси вала. Внешние моменты передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес, турбин и т.п.

Часто в технических задачах известны мощность, передаваемая валом, и число оборотов вала. По этим данным может быть вычислен скручивающий внешний момент:

			M =	N		[H ×м] ,		(5.1)
				ω
где ω	=	πn	, или
	30
			M = 9, 736		N		[H ×м],	(5.2)
					n
где N –	мощность, Вт; n – частота вращения, об/мин.

5.2. Внутренние силовые факторы. Эпюра крутящих моментов

Для определения крутящих моментов, возникающих в поперечных сечениях вала под действием внешних скручивающих моментов, применяют метод сечений.

а

Примем следующее

правило знаков при ана-

лизе крутящих моментов

у

М

в сечении: крутящий мо-

мент в сечении а-а прини-

мается

положительным,

z

а

х

если при взгляде со сто-

Рис. 5.1

роны

внешней

нор-

мали к

сечению

скручи-

вающий момент вращает отсеченную часть по часовой стрелке. Следовательно, согласно принятому правилу знаков, кру-

тящий момент Мк в сечении а-а будет положительным.

68

При действии на отсеченную часть нескольких внешних моментов крутящий момент в сечении находится как алгебраическая сумма внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения.

Для того чтобы судить о характере распределения крутящих моментов по длине вала, строят эпюру этих силовых факторов.

Для упрощения внешние моменты будем условно обозначать в виде двух кружков, соединенных линией. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, с крестиком – от наблюдателя (рис. 5.2, а).

М а 3М	М	с	3М d
b

	а	b	с	d
l		2l	2l	l/2
	2М			3М
Мк		М

		а
	М2 = 400 Н×м		т= 100 H×м/м					М4 = 200 Н×м
М1 = 200 Н×м		М3 = 600 Н×м с						М5 = 500 Н×м
	а	b				d
	а В	b С	z		сD	d		Е
А						0,5 м
	1м	1 м	1м
	200	w2	w3			w4
Мк,	w1
Н×м		200
								500
	0,123	800			700
j, град
				0,4615			0,614
			б
		Рис. 5.2

69

Поясним построение эпюры крутящих моментов на следующем примере: рассмотрим вал АЕ (рис. 5.2, б), опирающийся на подшипники и нагруженный в сечениях А, В, С, D, Е сосредоточенным крутящими моментами, а на участке СD – распределенным крутящим моментом (m). Вал под действием указанных моментов находится в равновесии.

Проведем сечение а-а на участке АВ. Из условия равновесия левой от сечения части получаем Мк = 200 Н×м.

В сечении b-b на участке ВС Мк = 200 – 400 = –200 Н×м.

В сечении с-с на участке CD Мк = 200 – 400 – 600 + 100 ×z,

0 ≤ z ≤ 1 м.

При z = 0 Мк = –800 Н×м, при z = 1 м Мк = –700 Н×м.

Всечении d-d на участке DE Мк = 200 – 400 – 600 + 100 +

+200 = –500 Н×м.

Эпюра крутящих моментов имеет форму прямоугольников, за исключением участка, на котором приложен распределенный крутящий момент. Следует отметить, что в том сечении, где имеется сосредоточенный крутящий момент, ордината эпюры скачкообразно изменяется на величину приложенного здесь момента.

5.3.Определение напряжений и деформаций при кручении вала круглого сечения

При анализе деформаций кручения будем основываться на следующих гипотезах:

1.При кручении круглого вала поперечные сечения, плоские до деформации вала, остаются плоскими и перпендикулярными к его продольной оси и после деформации (гипотеза плоских сечений).

2.Радиусы сечения, прямые до кручения, остаются прямыми и при кручении.

3.Расстояния между поперечными сечениями не изменяются, но поперечные сечения, вследствие деформации сдвига, поворачиваются друг относительно друга как жесткое целое.

4.Касательные напряжения пропорциональны деформации сдвига.

70