280Pa				110Pa				P
σ =					3,5a +			0,5a =	50,05		≤ [σ] .
		20,83a4				18,33a4				a2
Отсюда, значение параметра нагрузки
	[σ]a2			280 (6 10−3 )2				−
P ≤			=				= 201 10 6		(МН) = 201 (Н) .
50,05				50,05

Итак, допускаемое значение параметра нагрузки для заданного консольного стержня Pmax = 201 Í.

4.2. Изгиб с кручением

Изгиб с кручением бруса круглого сечения — это случай сложного сопротивления, при котором в опасных точках сече- ния имеет место плоское напряженное состояние. Этот вид нагружения наиболее часто встречается при расчете валов.

Для выполнения расчета прочности необходимо построить эпюры изгибающих моментов ЭМx è ÝMy, полного изгибающего момента ЭМ и крутящего момента ЭМê. Действие полного изгибающего момента вызывает появление в точках сечения нормальных напряжений σ, а действие крутящего момента — касательных напряжений τ.

Опасное сечение вала находят по следующим признакам:

1)если в сечении с наибольшим изгибающим моментом М действует и наибольший крутящий момент Mê;

2)если наибольший изгибающий момент М и наибольший

крутящий момент Мê действуют в разных поперечных сечениях, то проверяют прочность вала в нескольких сечениях.

Для бруса круглого сечения как при кручении, так и при изгибе опасными являются точки на внешней окружности. Для этих точек нормальные напряжения от изгиба определяют по формуле

	M		Mx2 + My2
σ =		=		,
Wx			Wx

90

касательные напряжения от кручения — по формуле

τ= Mк ,

Wp

ãäå Wx — осевой момент сопротивления круглого сечения; Wp — полярный момент сопротивления, для сплошного сече- ния равные соответственно

Wx		πd3	, Wp		πd3
	=			=		.
	32			16

Напряженное состояние в опасной точке сечения показано на рисунке 4.4.

	τ
σ	τ	σ
	τ
	τ
	Рисунок 4.4

Расчет на прочность при плоском напряженном состоянии выполняется с применением теорий прочности. Для пластичных материалов используются третья или четвертая теории прочности, для хрупких — теория Мора. Предварительно необходимо определить главные напряжения:

σ

1

σ2 + 4τ2 ,

σmax =

±

2

min

2

σ1 = σmax =

σ

+

1

σ2 + 4τ2 ,

2

2

σ2 = 0,

σ3 = σmin =

σ

−

1

σ2 +

4τ2 .

2

2

91

По третьей теории условие прочности

σ1 − σ3 ≤ [σ] ,

откуда следует, что

σ2 + 4τ2 ≤ [σ] .

По четвертой теории

σ12 + σ22 + σ32 − σ1σ2 − σ2σ3 − σ1σ3

соответственно получаем

σ2 + 3τ2 ≤ [σ] .

По теории прочности Мора

σ −

σр

σ

≤ [σ

]

,

3

р

1

σс

следовательно,

1− k

1+ k

σ2 + 4τ2 ≤ [σ

]

σ +

р

2

2

ãäå k =

σр

.

σс

Пример 13

≤ [σ] ,

,

Вал ременной передачи (рисунок 4.5) имеет круглое поперечное сечение и должен передавать мощность N (кВт) при частоте вращения ω (с–1). Из расчета на прочность необходимо определить допускаемую величину диаметра вала d.

Исходные данные: [σ] = 220 МПа; соотношение натяжений ремня в ветвях T = 2t; остальные данные приведены в таблице 4.2, размеры заданы в мм, углы — в градусах.

92

				t1	y
				α1
				T1
D1		d	D2
			z	T2	x
a	b		c
				t2	α2
			Рисунок 4.5

Таблица 4.2

N	ω	D1	D2	a	b	c	α1	α2
11	19	310	490	120	100	140	60	60

Решение

1.Изображаем реальную схему задачи (рисунок 4.6, а)

èопределяем передаваемый валом крутящий момент и силы натяжения в ветвях ремней.

Крутящий момент равен отношению передаваемой валом мощности к частоте вращения вала:

M		N		11000		= 579 (Н м) .
	к =		=
		w		19

Эпюра крутящего момента показана на рисунке 4.6, а. В сечении, где расположен ведущий шкив диаметром D1,

крутящий момент связан с силами натяжения ремня:

Mк = (T1	− t1)	D1	= (2t1	− t1)	D1	= t1	D1	,
	2			2		2

в сечении под ведомым шкивом D2

Mк = (T2 − t2 ) D2 = t2 D2 .

2 2

93

310	d	490
		z
120	100	140

579

ÝÌê

A

B

C

D

à

P1

y

y

RyD

t1

P1y

P2x

RyB

P2

RxD

T1

x

T2

P1y

x

D

C

t2

A

B RxB

P2y

P1

P1

x

x

x

P2

P2y

á

â

1164

1037

ÝMx

A

B

C

D

672

186

ÝMy

A

B

C

D

1344

1053

ÝM

A

B

C

D

ã

Рисунок 4.6

94

На основании этого получаем величины сил натяжения:

	2Mк				2 579
t1 =			=					= 3735 (Н),	T1 = 2t1 = 7470 (Н),
					0,31
		D1
		2Mк				2 579
t2 =				=				= 2363 (Н),	T2 = 2t2 = 4726 (Н).
					0,49
		D2

2. Считая ветви ремня на входе и выходе шкива параллельными, приводим внешние силы к равнодействующим:

P1 = T1 + t1 = 7470 + 3735 = 11205 (Н),

P2 = T2 + t2 = 4726 + 2363 = 7089 (Н).

Внешние силы P1 è P2 параллельны силам натяжения и приложены на оси вала в сечениях под соответствующими шкивами (рисунок 4.6, б). Проекции этих сил на оси x, y:

P1x = P1cos α1 = 11205		cos60° = 5603	(Н),
P1y = P1sin α1 = 11205		sin 60° = 9704	(Н),
P2x	= P2 cos α2 = 7089	cos60° = 3544	(Н),
P2 y	= P2 sin α2 = 7089	sin 60° = 6139	(Н).

3. Действие вычисленных внешних сил вызывает появление в опорах вала реакций RxB, RyB, RxD, RyD (рисунок 4.6, в). Величины реакций опор определяем с использованием уравнений равновесия:

ΣPx = −P1x + RxB − P2x + RxD = 0, ΣPy = P1y + RyB − P2y + RyD = 0,

ΣMxB = P1y a+ P2 yb − RyD (b + c) = 0,

ΣM yB = P1xa− P2xb + RxD (b + c) = 0.

Решая уравнения равновесия, получаем величины реакций:

RxB = 10474 Н,	RyB = −10975 Н,
RxD = −1327 Н,	RyD = 7410 Н.

95

4. Строим эпюры моментов ЭMx è ÝMy (рисунок 4.6, г). Для точек A, B, C, D вычисляем значения полного момента:

MA = 0,

MB = 11642 + 6722 = 1344 (Н м),

MC = 10372 +1862 = 1053 (Н м),

MD = 0.

Эпюра полного изгибающего момента показана на рисунке 4.6, г. Опасное сечение вала, как видно по эпюрам изгибающего и крутящего моментов, находится под левой опорой (точка B). Опасные точки находятся на внешней окружности сечения вала.

5. Определяем напряжения в опасной точке:

от изгиба

σ =

Mmax

=

32Mmax

=

13690

Н

,

πd3

W

p

d3

м2

τ =

Mк

=

16Mк

=

2949

Н

от кручения

.

πd3

W

d3

м2

p

Рассчитываем главные напряжения:

σ1,3 = σ ± 1 σ2 + 4τ2 ,

22

σ1

=

6845

+

7453

=

14298

Н

,

d3

d3

d3

м2

σ3

=

6845

−

7453

= −

608

Н

.

d3

d3

d3

м2

Вал изготовлен из пластичного металла, поэтому применяем третью теорию прочности и из условия прочности определяем допускаемое значение диаметра вала:

96

σ1 − σ3 ≤ [σ];
14298		+	608		≤ 220 106		Н			;
d 3			d3				м2
d ≥ 3		14906				= 0,041 (м).
	220 106

Минимальное допустимое значение диаметра вала равно 41 мм. Следует выбрать ближайшее большее по ГОСТу значе- ние диаметра вала: d = 45 мм.

Итак, требуемым условиям передачи мощности отвечает вал ременной передачи диаметром 45 мм.

97