ЧАСТЬ 5

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ

Устойчивость — это способность конструкции сохранять первоначальную форму равновесия. Устойчивость формы равновесия упругого тела зависит от его размеров, материала, величин и направления действия внешних сил.

Значение силы (нагрузки, напряжения), при которой первоначальная форма равновесия становится неустойчивой, называется критической силой (нагрузкой, напряжением).

Для сжатого стержня в случае нагружения в пределах упругости критическую силу определяют по формуле

P =	π2EImin	,
кр	(μl)2

ãäå Imin — минимальный момент инерции сечения; μ — коэффициент приведения длины, величина которого зависит от вида закрепления стержня (рисунок 5.1).

P

P

P

P

μ = 1

μ = 2

μ = 0,7

μ = 0,5

Рисунок 5.1

98

Коэффициент запаса по устойчивости рассчитывают по формуле

nу = Pкр ≥ [nу ] .

P

Полученное значение коэффициента запаса не должно быть ниже нормативного [nó], задаваемого в зависимости от типа, назначения конструкции, материала. Например, для строительных конструкций [nó] = 2, для машиностроительных — 3,5...5, чугуна — 5, дерева — 3.

В практических расчетах условие устойчивости для сжатого стержня записывают в виде

σ= P ≤ [σу ] = ϕ[σ] ,

F

где ϕ — коэффициент уменьшения допускаемого напряжения, выбираемый по таблице (Приложение Ж) в зависимости от материала стержня и его гибкости; [σ] — допускаемое напряжение при расчете прочности.

Гибкость стержня λ определяют по формуле

λ = μl ,

imin

ãäå imin — минимальный радиус инерции сечения,

	imin =	Imin	.
		F

При проектировочном расчете задача решается методом последовательных приближений путем подбора значения коэффициента ϕ с проверкой по получаемой гибкости стержня.

Перечисленные выше формулы применимы для расчета устойчивости стержня при двух условиях:

1)напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности, σ ≤ σïö;

2)гибкость стержня больше предельной, λ ≥ λïðåä.

Для разных материалов предельная гибкость имеет разные значения. Например, для стали Ст.3 λïðåä ≈ 100, чугуна — 80,

99

дерева — 110, легированных сталей — 60...70.

При невыполнении одного из условий при расчете устой- чивости применяют эмпирическую формулу критических напряжений (формулу Ф. С. Ясинского)

σкр = a − bλ ,

где а и b — коэффициенты, зависящие от свойств материала стержня и определяемые экспериментальным путем. Например, для стали Ст.3 a = 310 МПа, b = 1,14 МПа.

Указанная формула применима для стержней из малоуглеродистых сталей при гибкости от 40 до 100.

Пример 14

Стержень изготовлен из прокатного профиля и нагружен сжимающей силой P (рисунок 5.2). Из расчета на устойчивость определить:

1)геометрические размеры и номер профиля;

2)величину критической силы Pêð;

3)коэффициент запаса устойчивости nó.

Исходные данные: материал стержня — сталь Ст.3; допускаемое напряжение [σ] = 120 МПа; остальные данные приведены в таблице 5.1.

P

l					Таблица 5.1
			P, êÍ	l, ì	Сечение
			250	4	двутавр

Рисунок 5.2

Решение

Для сечения, изготовленного из стандартного профиля, при решении задачи необходимо определить его площадь сечения,

100

на основании чего по таблицам прокатного сортамента (Приложение Е) установить номер профиля, его размеры и геометрические характеристики.

Для заданного вида закрепления стержня коэффициент приведения длины μ = 2 (см. рисунок 5.1). Задачу решаем по шагам методом последовательных приближений.

1. Задаемся значением коэффициента ϕ = 0,5. Из условия устойчивости определяем площадь поперечного сечения:

	F =	P	=		0,	25	= 41,7 10−4 (м2 ) = 41,7 (см2 ) .
		[σ]ϕ		120		0,5

По таблицам прокатного сортамента получаем, что ближайшее большее значение площади имеет двутавр ¹ 27а —

F = 43,2 ñì2. Для этого профиля радиус инерции imin = 2,8 ñì èëè 0,028 ì.

Для выбранного двутавра определяем его гибкость:

λ = μl = 2 2,5 = 179 . imin 0,028

По таблице Приложения Ж для полученного значения гибкости с учетом материала стержня методом линейной интерполяции находим новую величину коэффициента уменьшения допускаемого напряжения: ϕ = 0,233.

Определяем предельную нагрузку на стержень для выбранного номера профиля:

Pmax = [σ]Fϕ = 120 0,00432 0,233 = 0,12 (МН).

Она существенно меньше заданной по условию задачи, стойка «перегружена», следовательно, значение ϕ = 0,5 завышено.

2. В интервале 0,233 < ϕ < 0,5 выбираем значение ϕ = 0,35. Вычисляем площадь сечения:

	F =	0,25	= 59,5 10−4 (м2 ) = 59,5 (см2 ) .
		120 0,35

По таблицам Приложения Е выбираем двутавр ¹ 36: F = 61,9 см2, imin = 2,89 ñì.

101

Новые значения гибкости и коэффициента ϕ:

λ = 2 2,5 = 173, ϕ = 0,251 . 0,0289

Рассчитываем предельную нагрузку:

Pmax = 120 0,00619 0,251 = 0,186 (МН) .

Стойка вновь «перегружена», значение ϕ завышено.

3.В интервале 0,233 < ϕ < 0,35 выбираем значение ϕ = 0,28

èснова выполняем расчеты:

	F =	0,25	= 74,4 10−4 (м2 ) = 74,4 (см2 ) .
		120 0,28

Выбираем двутавр ¹ 45: F = 83,0 см2; imin = 3,12 см. Новые значения гибкости и коэффициента ϕ:

λ = 2 2,5 = 160, ϕ = 0,29 ; 0,0312

предельная нагрузка:

Pmax = 120· 0,00083·0,29 = 0,289 (ÌÍ).

Предельная нагрузка оказалась выше заданной. Теперь стойка «недогружена», недогрузка составляет

(0,289 − 0,25) 100% = 13,5% , 0,289

значение ϕ занижено.

4. В интервале 0,28 < ϕ < 0,35 выбираем значение ϕ = 0,3:

	F =		0,	25	= 69,4 10−4 (м2 ) = 69,4 (см2 ) .
		120		0,3

Выбираем двутавр ¹ 40: F = 71,4 см2; imin = 3,05 см. Новые значения гибкости и коэффициента ϕ:

λ = 2 2,5 = 164, ϕ = 0,278 ; 0,0305

102

предельная нагрузка:

Pmax = 120 · 0,00714 · 0,278 = 0,238 (ÌÍ).

Теперь нагрузка оказалась немного ниже заданной, стойка «перегружена» незначительно, перегрузка составляет

(0,25 − 0,238) 100% = 5% , 0,238

что вполне допустимо.

Итак, при заданной нагрузке устойчивость стержня обеспечивается при выборе двутавра ¹ 40.

5. Рассчитываем величину критической нагрузки, предварительно определив по таблице Приложения Е минимальный момент инерции двутавра:

Imin = 666 (см4 ),
	π2E Imin		π2 2 105 666 10−8
P =		=		= 0,526 (МН).
кр	(μl)2		(2 2,5)2

Наконец, получаем коэффициент запаса устойчивости:

nу =	Pкр		0,526	= 2,1.
		=
			0,25
	P

Итак, по расчету на устойчивость заданную нагрузку с коэффициентом запаса nó = 2,1 выдержит стойка, изготовленная из двутавра ¹ 40.

103