2.4. Кручение бруса

При расчетах на прочность и жесткость бруса при круче- нии необходимо:

1)определить крутящий момент Mê, действующий в брусе, и построить его эпюру;

2)определить касательные напряжения τ и построить их

эпюру;

3)с использованием условия прочности выполнить проверку прочности или определить допускаемое значение требуемого параметра;

4)для проверки жесткости определить углы закручивания участков бруса.

Касательное напряжение при кручении определяют по формуле

τ= Mк ,

Wp

ãäå Mê — величина крутящего момента в сечении; Wð — полярный момент сопротивления сечения на этом участке.

Эта формула позволяет определять максимальное в сече- нии значение касательного напряжения в наиболее удаленной от центра тяжести точке. Формулы для определения полярного момента сопротивления некоторых характерных видов сече- ний приведены в таблице 2.4.

Если крутящий момент и полярный момент сопротивления, зависящий от диаметра вала, на участке бруса не изменяются, то касательное напряжение на этом участке также будет постоянным по его длине. Если же крутящий момент и (или) полярный момент сопротивления на участке бруса изменяются по какому-либо закону, то и касательное напряжение по длине этого участка будет соответственно изменяться.

Условие прочности при кручении имеет вид

τmax ≤ [τ] ,

ãäå τmax — максимальное касательное напряжение (в опасном сечении бруса), [τ] — допускаемое касательное напряжение.

50

На основании условия прочности (в зависимости от вида расчета на прочность) выполняют проверку прочности или определяют требуемый параметр: допускаемое значение нагрузки M (Mmax) или допускаемое значение диаметра бруса d

(dmin).

Абсолютный угол закручивания i-го участка бруса рассчи- тывают по формуле

	ϕi =	M	кili	при GI pi = const ,
		GI pi

ãäå Mêi — величина крутящего момента, действующего на этом участке; li — длина участка; Ipi — полярный момент инерции сечения на участке; G — модуль упругости второго рода (модуль сдвига) материала вала.

Для сталей модуль сдвига примерно равен G = 8·104 МПа. Формулы для определения полярного момента инерции некоторых характерных видов сечений приведены в таблице 2.4.

Полный абсолютный угол закручивания концевых сечений бруса определяют как сумму углов закручивания на всех его n участках:

n

ϕ= ∑ ϕi .

i=1

Пример 7

Для бруса переменного сечения (рисунок 2.5), нагруженного моментами, требуется:

1)построить эпюры крутящего момента, касательного напряжения и угла поворота сечений;

2)с использованием условия прочности определить допускаемое значение диаметра d;

3)для найденного значения диаметра вычислить наибольший угол закручивания бруса.

Исходные данные: параметр длины бруса l = 0,5 м, параметр нагрузки M = 1,5 кН·м, допускаемое касательное напряжение [τ] = 100 МПа; остальные данные приведены в таблице 2.6.

51

	M1	d	M2
			d0
d1
l1		l	l2
		Рисунок 2.5

					Таблица 2.6
l1/l	l2/l	M1/M	M2/M	d1/d		d0/d
2	1	–2	1	1,5		0,5

Решение

1.Изображаем реальную схему задачи с учетом длин и диаметров участков бруса, величин и направлений действующих моментов в соответствии с данными таблицы 2.6 (рисунок 2.6, а).

2.Используя метод сечений, по аналогии с примером 2 получаем эпюру крутящего момента Mê (рисунок 2.6, б).

3.Определяем касательные напряжения на участках бруса (таблица 2.7). Крутящий момент и диаметр вала на каждом из участков постоянные, следовательно, касательное напряжение на каждом из участков также будет постоянным (рисунок 2.6, в).

Максимальное касательное напряжение (без учета знака), как видно из таблицы 2.7, возникает на 2-м участке:

M

τmax = 5,093 d3 .

Этот участок бруса является опасным.

52

1,5d 2M d 1,5d 0,5d M

2l

l

2l

à

M

M

ÝMê

á

M

5,

093

d3

M

+

1,

528

d3

M

Ýτ

–

1,509

d3

â

	Ml
	10, 23
Ml	Gd 4
6,16
Gd 4
	+
	Ýϕ
–
Ml
4,03
Gd 4

ã

Рисунок 2.6

53

					Таблица 2.7
		Диаметр	Полярный момент	Крутящий	Касательное
	Участок		сопротивления	момент	напряжение
		d	Wp	Mê
					τ
	1	1,5d	0,663d3	–M				M
					−1,509
								d3
		d	0,196d3	M			M
	2				5,093
							d3
	3	1,5d,	0,654d3	M	1,528		M
		d0 = 0,5d					d3

4. Записываем для 2-го участка условие прочности:

5,093 M ≤ [τ] , d3

отсюда получаем формулу для определения диаметра d:

d ≥ 3 5,093M . [τ]

Допускаемым будет минимально возможное значение диаметра dmin, ò.å.

dmin = 3 5,093M . [τ]

Подставляя значения входящих в формулу величин, определяем требуемое значение диаметра dmin:

dmin = 3 5,093 1,5 10−3 = 0,042 (м) . 100

Итак, минимальное допускаемое значение диаметра бруса d равно 0,042 м или 42 мм.

54

5. Определяем абсолютный угол закручивания каждого из участков бруса (таблица 2.8).

Эпюру углов поворота сечений (рисунок 2.6, г) строим с учетом следующих соображений. В начале 1-го участка (в заделке) угол поворота сечения равен 0. В конце 1-го участка поперечное сечение поворачивается на величину, равную углу закручивания этого участка:

Ml

ϕ1к = −4,03 Gd4 .

По длине 1-го участка угол поворота сечений изменяется по линейному закону, т.к. крутящий момент на участке постоянный. В начале 2-го участка угол поворота сечения равен углу поворота сечения в конце 1-го участка:

Ml

ϕ2н = ϕ1к = −4,03 Gd4 .

В конце 2-го участка поперечное сечение поворачивается на угол, равный сумме угла поворота сечения в начале ϕ2í и угла закручивания этого участка:

ϕ2к = −4,03

Ml

+10,19

Ml

= 6,16

Ml

.

Gd4

Gd 4

Gd 4

Таблица 2.8

Длина

Полярный момент

Крутящий

Óãîë

Участок

инерции

момент

закручивания

l

Ip

Mê

ϕ

1

2l

0,497d4

–M

Ml

−4, 03

Gd4

2

l

0,098d4

M

Ml

10,19

Gd 4

3

2l

0,491d4

M

Ml

4,07

Gd 4

55

По длине 2-го участка угол поворота сечений также изменяется по линейному закону. В начале 3-го участка угол поворота сечения равен углу поворота сечения в конце 2-го участка:

Ml

ϕ3н = ϕ2к = 6,16 Gd4 .

В конце 3-го участка поперечное сечение поворачивается на угол, равный сумме угла поворота в начале ϕ3í и угла закручивания этого участка:

	ϕ3к	= 6,16	Ml	+ 4,07	Ml	= 10,23	Ml
			Gd4		Gd4		Gd4 .

6.Максимальный угол закручивания вала, в соответствии

ñполученной эпюрой углов поворота, наблюдается в конце 3-го участка. Определим его величину при действии предельно допустимой нагрузки:

		1,5 10−3	0,5
ϕmax	= 10,23			= 0,031 (рад.) .
		8 104 0,0424

Итак, максимальный угол закручивания вала равен 0,031 радиана или 1,8°.

2.5. Прямой поперечный изгиб балки

При решении задач на прочность при прямом поперечном изгибе необходимо:

1)определить действующие в балке внутренние силовые факторы (поперечную силу Q и изгибающий момент M) и построить их эпюры;

2)определить опасное сечение балки, опасную точку се- чения и вычислить нормальные напряжения σ в опасной точ-

êå (σmax);

3) с использованием условия прочности выполнить проверку прочности или определить допускаемое значение требуемого параметра.

При изгибе в балке возникают как нормальные σ, так и касательные τ напряжения. Появление касательных напряжений

56

вызвано действием поперечной силы Q, нормальных напряжений — действием изгибающего момента M. В подавляющем большинстве случаев расчет балок на прочность ведется по нормальным напряжениям.

При выполнении расчета на прочность в первую очередь следует определить опасное сечение балки — это сечение, в котором возникает наибольший по абсолютной величине изгибающий момент Mmax. В этом сечении определяют опасную точку — наиболее удаленную от нейтральной оси сечения. Для опасной точки и записывают условие прочности

σmax ≤ [σ] ,

ãäå σmax — максимальная величина нормального напряжения в балке (в опасной точке опасного сечения); [σ] — допускаемое нормальное напряжение.

Допускаемое напряжение определяют в зависимости от материала балки. Для пластичных материалов

[σ] = σт , nт

ãäå σò — предел текучести материала (по справочным данным, Приложение Г); nò — нормативный коэффициент запаса, для машиностроительных конструкций nò = 1,5...2,5.

Для хрупких материалов

[σ] = σв , nв

ãäå σâ — предел прочности материала; nâ = 2,5...5,0.

Для симметричного сечения (рисунок 2.7, а) в системе координат, совпадающей с главными центральными осями, при прямом поперечном изгибе нормальные напряжения в опасной точке рассчитывают по формуле

σmax =

Mx max ,

Wx

ãäå Wx — осевой момент сопротивления сечения.

57

В случае несимметричного относительно главной центральной оси сечения (рисунок 2.7, б) нормальные напряжения в опасной точке определяют по формуле

σmax	=	M x max	ymax ,
		Ixc

ãäå Ixñ — осевой момент инерции относительно оси x, проходящей через центр тяжести сечения; ymax — расстояние от оси x до наиболее удаленной точки сечения.

y	y
	z
	z
	x
	x

à	á
	Рисунок 2.7

С использованием условия прочности (в зависимости от вида расчета на прочность) выполняют проверочный расчет или определяют требуемый параметр: допускаемое значение нагрузки M (Mmax) или допускаемое значение характерного размера сечения.

Пример 8

Для балки из пластичного материала, показанной на рисунке 2.8, требуется:

1)построить эпюры внутренних силовых факторов;

2)с использованием условия прочности

а) для заданного сечения определить геометрические размеры и номер прокатного профиля;

58

б) для полученного соотношения габаритных размеров се- чения h/b определить размеры прямоугольного сечения;

в) определить диаметр круглого сечения; 3) вычертить сечения в масштабе и сравнить площади и

веса балок.

Исходные данные: параметр длины балки l = 1,0 м; интенсивность распределенной нагрузки q = 2,5 кН/м; нормативный коэффициент запаса nò = 2,5. Остальные данные приведены в таблице 2.9.

					aq
			P1			P2
		l		l1		l2
			Рисунок 2.8
						Таблица 2.9
l1/l	l2/l	P1/ql	P2/ql	a	σò	Сечение
2	1	–4	2	2,0	300	h

b

Решение

1.Изображаем реальную схему задачи с учетом длин уча- стков балки, величин и направлений действующих нагрузок в соответствии с данными таблицы 2.9 (рисунок 2.9, а).

2.Записав уравнения равновесия балки, определяем реакции опор RyA è RyB:

ΣPy = RyА + RyB − 4ql + 2ql − 2q 3l = 0 ,

59

ΣMA = −4ql l + 2ql 4l − 2q 3l 2,5l + RyB 3l = 0,

R	A =	13	ql, R B =	11	ql.
y		3	y	3

Эпюры поперечной силы ЭQ и изгибающего момента ЭМ показаны на рисунке 2.9, б.

Максимальный момент в балке равен Mmax = 4,36ql2. Это сечение является опасным.

3. В опасном сечении опасными являются точки, наиболее удаленные от главной центральной оси. Поскольку сечение симметричное, положение центра тяжести и главной оси известно: центр тяжести находится на пересечении осей симметрии, главные оси совпадают с осями симметрии (рисунок 2.9, в). При изгибе относительно оси x опасными являются точки на верхней и нижней кромках сечения. Расстояние от центра тяжести сечения до опасных точек также известно:

ymax = h / 2 .

4. Для определения номера профиля и размеров попереч- ного сечения балки с использованием условия прочности

σmax = Mmax ≤ [σ] = σт

Wx nт

вычисляем момент сопротивления сечения:

		Mmax nт		4,36ql2nт		−
	Wx ≥		=		= 9,08 10	5 (ì3).
		σт		σт

Минимально допустимый момент сопротивления сечения равен 9,08·10–5 ì3 èëè 90,8 ñì3. Поскольку сечение составлено из двух одинаковых профилей, их моменты инерции равны и расстояние ymax для элементов сечения одинаковое, то

Wx =	Ix	=	Ix1 + Ix2	=	Ix1	+	Ix2	= Wx1 +Wx2 ,
	ymax		ymax		ymax ymax

ãäå Ix1 è Ix2, Wx1 è Wx2 — соответственно моменты инерции и моменты сопротивления составляющих сечение профилей.

60

2q

A		Â
	4ql		2ql
l	2l		l

					à
13 ql	+			1 ql
3				3
								ÝQ
					–	11		2ql
							ql
	13			4,36ql2		3
		ql	2
	3

ql2

ÝM

á
yc
C	xc
h/2
b/2
â

120	87
64	93

F = 29,4 ñì2	F = 80,9 ñì2
m = 92 êã	m = 252,4 êã

ã

Рисунок 2.9

105

F = 86,6 ñì2 m = 270,2 êã

61

Таким образом, для заданного сечения минимально допустимый момент сопротивления одного двутавра равен половине от момента сопротивления всего сечения:

Wx1 = Wx2 = 4,54 10−5 (м3 ) = 45,4 (см3) .

По таблице прокатного сортамента (Приложение Е) определяем номер прокатного профиля, выбирая ближайший больший, и его параметры — размеры и вес погонного метра: номер профиля — 12, момент сопротивления Wx = 58,4 ñì3, высота профиля — 120 мм, ширина — 64 мм, площадь сечения — 14,7 см2, вес погонного метра — 11,5 кг. Полный вес балки 11,5·2·4l = 92 кг, площадь сечения — 29,4 см2, полный момент сопротивления сечения — Wx = 116,8 ñì4.

5. Момент сопротивления прямоугольного сечения рассчи- тывается по формуле

		bh2
Wx	=		.
	6

Для заданного соотношения сторон h/b = 120/128 = 0,94 из условия равенства моментов сопротивления рассматриваемых сечений (составного из профилей и прямоугольного) определяем его размеры:

		b (0,94b)2
Wx =					= 0,147b3 = 116,8 ,
			6
отсюда b = 9,3 см; h = 8,7 см; F							= 80,9 ñì2; m		= ρ · F ·4l =
			ïð				ïð		ïð
= 7,8 · 80,91 · 400 = 252439 ã ≈ 252,4 êã.
Момент сопротивления круглого сечения определяется по
формуле
				Wx =		πd3
								,
			32
где d — диаметр сечения.
Рассчитываем диаметр круглого сечения:
			πd3
Wx	=			= 0,1d3 = 116,8 (ñì3),
			32

отсюда d = 10,5 см; Fêð = 86,6 ñì2; mêð = 270161 ã ≈ 270,2 êã.

62

Результаты сравнения рассчитанных сечений приведены на рисунке 2.9, г.

Пример 9

Для балки, расчетная схема которой рассмотрена в предыдущем примере (см. рисунок 2.8), изготовленной из чугуна и имеющей составное сечение, необходимо:

1) расположив сечение рациональным образом, из условия прочности определить допускаемое значение параметра нагруз-

êè qmax;

2) вычертить сечение в масштабе и при найденном значе- нии параметра qmax построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки.

Исходные данные: параметр длины l = 0,5 м; толщина стенки а = 16 мм; нормативные коэффициенты запаса — для растяжения nð = 3,0, для сжатия nñ = 2,5. Остальные данные приведены в таблице 2.10.

											Таблица 2.10
l1/l	l2/l	P1/P	P2/P	b/a	c/a	Сечение					Материал
						a
2	1	–2	1	4	6					b	Ñ× 21-40

a
c	a

Решение

1. Эпюры поперечной силы ЭQ и изгибающего момента ЭМ показаны на рисунке 2.9, б. Максимальный момент в бал-

ке равен Mmax = 4,36ql2.

2. При выборе рационального расположения сечения исходим из следующих соображений:

63

а) при изгибе балок рациональным является расположение сечения таким образом, чтобы наибольший его размер был в плоскости изгиба;

б) для материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию, необходимо располагать сечение таким образом, чтобы максимальные растягивающие и максимальные сжимающие напряжения в опасном сечении были одновременно равны соответствующим допускаемым напряжениям.

По справочным данным (Приложение Д) механические свойства чугуна СЧ 21-40: предел прочности при растяжении σâð = 210 МПа, при сжатии σâñ = 750 МПа. Соответственно, допускаемые напряжения для растянутых и сжатых волокон се- чения:

[σ] =	σвр	210		= 70 (МПа), [σ]		σ	вс		750	= 300 (МПа) .
		=			=			=
р		3		с					2,5
	nр					nс

С учетом того, что в верхних волокнах сечения балки действуют сжимающие напряжения, а в нижних — растягивающие, рациональным является расположение сечения, показанное на рисунке 2.10, а.

3. Сечение балки имеет только одну ось симметрии y, поэтому максимальные нормальные напряжения в точках опасного сечения определяем по выражениям

σр	=	Mmax	yр		σc	=	Mmax	yc	,
				,
max			max		max			max
		Ixc					Ixc

ãäå Ixc — момент инерции сечения относительно главной цен-

тральной оси xc; ymax — расстояние от оси xc до наиболее удаленной точки в растянутой ( ymaxр ) и сжатой ( ymaxc ) областях се-

чения.

4. Для определения момента инерции Ixñ прежде следует вычислить координаты центра тяжести сечения и положение главной оси.

Разбиваем сечение на простые элементы — один прямоугольный размерами 4aЧa и два прямоугольных размерами 6aЧa (рисунок 2.10, б).

64

a		y	y	yc
6a	1	3
		y1 y2		xc	y3
				yc
a		2
4a		x	x1	x3	x
à		á		â
		Рисунок 2.10

Задаемся первоначальной системой координат xy (рисунок 2.10, в) и определяем координаты центра тяжести сечения xc è yc:

		x1F1 + x2F2	+ x3F3			−1,5a 6a2 + 0 4a2 +1,5a 6a2
xc	=				=				= 0,
		F1 + F2 + F3					6a2 + 4a2 + 6a2
		y1F1 + y2F2	+ y3F3				4a 6a2 + 0,5a 4a2 + 4a 6a2
yc	=				=				= 3,125a.
		F1 + F2 + F3					6a2 + 4a2 + 6a2

Момент инерции сечения Ixñ равен сумме моментов инерции элементов относительно центральной оси xc:

I xc = I xc1 + I xc2 + I xc3 .

Момент инерции каждого из элементов относительно центральной оси сечения определяем по выражению

Ixci = Ixi + (ai *)2 Fi ,

ãäå Ixi — момент инерции i-го элемента относительно его собственной центральной оси; аi* — величина переноса оси, т.е. расстояние между центральной осью сечения и центральной осью i-го элемента; Fi — площадь i-го элемента (таблица 2.11).

Полный момент инерции составного сечения относительно главной центральной оси xc

Ixc = Ixc1 + I xc2 + Ixc3 = 73,1a4 .

65

Таблица 2.11

y

Ixc1 = Ix1 + ( y1 − yc )2 F1 =

=

a (6a)3

+ (4a − 3,125a)2 6a2 =

y1

12

yc

= 22,6a4

x

y

Ixc2 = Ix2 + ( y2 − yc )2 F2 =

=

4a (a)3

+ (0,5a − 3,125a)2 4a2 =

12

yc

y2

= 27,9a4

x

y
	Ixc3 = Ix3 + ( y3 − yc )2 F3 =
	a (6a)3	+ (4a − 3,125a)2 6a2
	=		=
	12
y3	= 22, 6a4
yc
x

5.Из условий прочности, записанных для растянутых

èсжатых волокон опасного сечения, с учетом того, что расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленных точек в растянутой и сжатой областях

р

ymax = 3,125a,

ymaxс = 7a − 3,125a = 3,875a,

66

определяем соответствующие величины допускаемой нагрузки:

р

Mmax

р

4,36ql2

ql2

σвр

σ

max

=

y

max

=

3,125a = 0,186

≤

,

I

73,1a4

a3

n

xc

р

M

max

4,36ql2

ql2

σc

σс

=

y

с

=

3,875a = 0,231

≤

в

,

max

I

max

73,1a4

a3

n

xc

c

σврa3

210 (16 10−3 )3

−

qр

≤

=

= 6,17 10 3 (МН/м),

0,186n l2

0,186 3,0 0,52

р

σвc a3

750 (16 10−3 )3

−

qс

≤

=

= 21,28 10

3 (МН/м).

0,231n l2

0,231 2,5 0,52

c

Следовательно, для растянутой и сжатой областей сечения допускаемые значения параметра нагрузки

р	= 6,17	−
qmax		10 3 МН/м = 6,17 кН/м,
qmaxс	= 21,28 10−3 МН/м = 21,28 кН/м.

Из полученных значений выбираем наименьшее: в целом для балки допускаемое значение параметра нагрузки

qmax = 6,17 кН/м .

6. Для построения эпюры нормальных напряжений в опасном сечении балки определим максимальные напряжения в растянутой и сжатой областях сечения при действии допускаемой нагрузки qmax:

σmaxр = 0,186	ql2			6,17 10−3 0,52
			= 0,186				= 70 (МПа),
				(16	−
	a3				10 3)3
σсmax = 0,231	ql2			6,17 10−3 0,52
			= 0,231				= 87 (МПа).
				(16	−
	a3				10 3)3

Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении показана на рисунке 2.11.

67