1.5. Плоская стержневая система

Стержневой системой называется конструкция (или ее расчетная схема), состоящая из структурных элементов типа стержня. Стержневая система называется плоской, если оси всех составляющих ее стержней расположены в одной плоскости. В этой же плоскости действуют внешние силы и реакции опор.

Для равновесия плоской стержневой системы на нее должны быть наложены три связи, например, с использованием неподвижной и подвижной шарнирных опор. Для стержневой системы, расположенной в плоскости yOz, реакции опор могут быть найдены с использованием трех уравнений равновесия

ΣPy = 0, ΣPz = 0, ΣMA = 0 .

Затем определяют внутренние силовые факторы в стержнях системы. В общем случае в каждом из стержней могут возникать продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент M. Поэтому для плоской стержневой системы строят эпюры продольной силы ЭN, поперечной силы ЭQ и изгибающего момента ЭM.

Правила знаков для действующих внутренних силовых факторов определены в соответствующих разделах 1.1 и 1.3.

Пример 5

Для плоской стержневой системы, показанной на рисунке 1.10, нагруженной сосредоточенными внешними силами, построить эпюры внутренних силовых факторов — продольной силы N, поперечной силы Q и изгибающего момента M. Размеры участков стержневой системы и величины действующих сосредоточенных сил приведены в таблице 1.9.

Решение

1. Изображаем реальную схему задачи с учетом длин участков стержневой системы, величин и направлений действующих сил в соответствии с данными таблицы 1.9 и задаемся системой координат yOz (рисунок 1.11, а).

31

P1 P2

l

l1

l2

l

Рисунок 1.10

Таблица 1.9

l1	l2	P1	P2
2l	2l	–3P	P

2. Определяем реакции опор RzA, RyA, RyB, используя уравнения равновесия (рисунок 1.11, б):

ΣPz = −3P + RzA = 0, ΣPy = RyА + RyB − P = 0,

ΣMA = −RyB 2l + 3P 2l + P l = 0.

Решив систему уравнений, получаем значения реакций:

RzA = 3P, RyA = −2,5P, RyB = 3,5P .

3.Стержневая система имеет четыре участка. Для построения эпюр внутренних силовых факторов используем метод сечений. Необходимо определить продольную силу N, попереч- ную силу Q и изгибающий момент M в 8 сечениях, расположенных в начале и в конце каждого из участков (рисунок 1.11, в).

Схемы равновесия отсеченной части, уравнения равновесия и полученные значения внутренних силовых факторов по сечениям приведены в таблице 1.10.

4.По полученным данным с учетом соответствующих правил знаков строим эпюры продольной силы ЭN, поперечной силы ЭQ и изгибающего момента ЭM в стержневой системе (рисунок 1.11, г, д, е).

32

3P		P

l	2l
y		2l
O	z	l
	à
	P
3,5P I	II III	IV
3P		V
		2,5P
	3P	VI
	VIII	VII

â

3P		RyB	P
B l			3
y			2l

O z RyA l

RzA A

á

3P

+

ÝN 2,5P +

3P –

ã

3,5P	2,5P	8,5Pl
		3,5Pl
+
3P	–	ÝM
ÝQ

2,5P

–

2,5Pl

ä

å

Рисунок 1.11

33

Таблица 1.10

Сечение

Схема равновесия отсеченной части, уравнения

равновесия и величины внутренних силовых факторов

3,5P

QI

A

3P

NI

MI

I

ΣP = −3P + NI = 0,

NI = 3P,

z

ΣPy

= 3,5P + QI

= 0,

QI = –3,5P,

ΣMA = MI = 0

MI = 0

3,5P

QII

A

3P

NII

MII

II

ΣP = −3P + NII = 0,

NII = 3P,

z

ΣPy

= 3,5P + QII

= 0,

QII = –3,5P,

ΣMA = −3,5P l + MII

= 0

MII = 3,5Pl

3,5P

P

QIII

A

3P

NIII

III

MIII

ΣPz

= −3P + NIII

= 0,

NIII = 3P,

ΣPy

= 3,5P − P + QIII = 0,

QIII = –2,5P,

ΣMA = −3,5P l + MIII = 0

MIII = 3,5Pl

3,5P

P

QIV

A

3P

NIV

MIV

IV

ΣPz = −3P + NIV = 0,

NIV = 3P,

ΣPy

= 3,5P − P + QIV = 0,

QIV = –2,5P,

ΣMA = −3,5P 3l + P 2l + MIV = 0

MIV = 8,5Pl

34

Продолжение таблицы 1.10

Сечение

Схема равновесия отсеченной части, уравнения

равновесия и величины внутренних силовых факторов

3,5P

P

QV

3P

MV

A

V

NV

ΣPz

= −3P + QV = 0,

NV = –2,5P,

ΣPy

= 3,5P − P + NV = 0,

QV = 3P,

ΣMA = −3,5P 3l + P 2l + MV = 0

MV = 8,5Pl

3,5P

P

3P

MVI

QVI

VI

A

NVI

ΣPz

= −3P+QVI = 0,

NVI = –2,5P,

ΣPy = 3,5P− P+ NVI = 0,

QVI = 3P,

ΣMA = −3,5P 3l +3P 2l + P 2l + MVI = 0

MVI = 2,5Pl

3,5P

P

3P

QVII

VII

A

NVII

MVII

ΣPz

= −3P+ NVII = 0,

NVII = 3P,

ΣPy = 3,5P− P+QVII

= 0,

QVII = –2,5P,

ΣMA = −3,5P 3l +3P 2l + P 2l + MVII = 0

MVII = 2,5Pl

35

	Окончание таблицы 1.10
Сечение	Схема равновесия отсеченной части, уравнения
	равновесия и величины внутренних силовых факторов

3,5P				P
	3P
										QVIII
VIII								A
				NVIII						MVIII
ΣPz = −3P+ NVIII = 0,											NVIII = 3P,
ΣPy = 3,5P− P+QVIII				= 0,							QVIII = –2,5P,
ΣMA = −3,5P 2l + P l +3P 2l + MVIII = 0											MVIII = 0

36