6. Максимальное перемещение в соответствии с полученной эпюрой наблюдается в конце 2-го участка. Определим его величину при действии предельно допустимой нагрузки:

	δmaxz	=	11		0,067 0,1	= 1,2 10−4 (ì).
			3 2 105 10 10−4

Итак, наибольшее продольное перемещение в стержне равно 1,2·10–4 ì èëè 0,12 ìì.

2.3. Геометрические характеристики плоских сечений

При центральном растяжении (сжатии) прочность и жесткость стержня зависят от площади его попречного сечения. Площадь является простейшей геометрической характеристикой сечения.

При кручении, изгибе, сложном нагружении бруса используются другие геометрические характеристики сечений — статический момент, полярный, осевой и центробежный моменты инерции, полярный и осевой моменты сопротивления. Это связано с тем, что сечение при этих видах нагружения сопротивляется неравномерно, наибольший вклад в общее сопротивление сечения обычно вносят его наиболее удаленные от центра тяжести области.

Статическим моментом сечения относительно оси x или y называется определенный интеграл вида

Sx = ∫ ydF	èëè Sy = ∫ xdF ,
F	F

где x, y — координаты элемента площади dF.

Свойство статического момента заключается в том, что относительно оси, проходящей через центр тяжести, он равен нулю. Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными. Если известно положение центра тяжести сечения (xc, yc), то статические моменты сечения могут быть подсчитаны по простым формулам:

Sx = yc F, Sy = xc F .

46

Для сложного сечения, состоящего из n простейших фигур, координаты центра тяжести сечения в системе координат xOy определяют с использованием статического момента по формулам

		n		n
		∑ Fi xi		∑ Fi yi
	xc =	i=1	, yc =	i=1	,
		n		n
		∑ Fi		∑ Fi
		i=1		i=1

ãäå Fi — площадь i-го элемента сечения; xi, yi — координаты центра тяжести i-го элемента.

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется определенный интеграл вида

I p = ∫ ρ2dF ,

F

где ρ — расстояние от произвольной точки сечения до полюса.

Осевыми моментами инерции сечения относительно осей x и y называются определенные интегралы вида

Ix = ∫ y2dF ,	I y = ∫ x2dF ,
F	F

где x, y — расстояние от произвольной точки сечения до соответствующей оси.

Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей х и y называется определенный интеграл вида

Ixy = ∫ xydF .

F

В формулах для определения прочности и жесткости конструкции используются моменты инерции, вычисленные относительно осей, которые являются не только центральными, но и главными. Главными осями называются две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями, а моменты инерции относительно этих осей — главными центральными моментами инерции.

47

Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от центра тяжести сечения до наиболее удаленной его точки:

I

Wp = p .

ρmax

Осевым моментом сопротивления называется отношение осевого момента инерции сечения относительно главной центральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленной точки поперечного сечения:

	Wx		Ix	, Wy		I y	.
		=			=
			ymax			xmax

Формулы для определения полярного момента инерции и полярного момента сопротивления некоторых характерных видов сечений приведены в таблице 2.4, для определения осевых моментов инерции и осевых моментов сопротивления — в таблице 2.5.

Для балок, изготовленных из стандартных прокатных профилей (уголка, швеллера, двутавра), геометрические характеристики сечений (осевой момент инерции и осевой момент сопротивления) определяют по справочным таблицам прокатного сортамента (Приложение E).

Когда сечение состоит из n простых элементов (составное сечение), момент инерции определяют как сумму моментов инерции элементов относительно главной центральной оси:

n	n
I xc = ∑ I xci ,	I yc = ∑ I yci .
i=1	i=1

При этом момент инерции i-го элемента относительно центральной оси сечения вычисляют по выражению

Ixci = Ixi + a2Fi ,	I	yci	= I	yi	+ b2F	,
i					i i

ãäå Ixi, Iyi — моменты инерции элемента относительно собственных центральных осей; ai, bi — расстояния между соответствующими центральными осями элемента и всего сечения; Fi — площадь элемента.

48

							Таблица 2.4
Сечение			Полярный момент			Полярный момент
			инерции			сопротивления
				πd 4				πd3
	d		I p =			Wp
							=
			32				16

d0	πd 4	d0	4		Wp =	πd3	d0	4
I p =	1	−				1	−
	32	d				16	d
d

			Таблица 2.5
	Сечение	Осевые моменты	Осевые моменты
		инерции	сопротивления

I xc

πd 4

Wx

πd3

=

64

=

32

d

πd 4

πd3

I yc

Wy

=

64

=

32

Ixc

πd 4

d0

4

Wx

πd3

d0

4

=

1

−

=

1

−

d0

64

d

32

d

d

I yc

πd 4

d0

4

Wy

πd3

d0

4

=

1

−

=

1

−

64

d

32

d

yc

bh3

bh2

Ixc

Wx

h

=

12

=

6

xc

I yc

hb3

Wy

hb2

b

=

12

=

6

49