ЧАСТЬ 2

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ ПРОСТЫХ ВИДАХ НАГРУЖЕНИЯ

2.1. Общие положения

Прочность — это способность элемента конструкции сопротивляться внешним силовым воздействиям, не разрушаясь.

Жесткость — это способность конструкции сохранять исходную форму в заданных (обычно весьма малых) пределах.

Основной задачей расчета конструкции является обеспе- чение ее прочности в условиях эксплуатации. Целью расчета на жесткость обычно является определение таких размеров элементов конструкции, при которых перемещения (деформации) не будут превышать заданных величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации.

Для количественной характеристики способности бруса выдерживать нагрузку с учетом его толщины и материала используют напряжения. Напряжение — это интенсивность внутренних сил в рассматриваемой точке сечения (рисунок 2.1).

Интенсивность нормальных к плоскости сечения внутренних сил в точке сечения называется нормальным напряжением σ, интенсивность касательных сил — касательным напряжением τ. Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения p:

p = {σ, τ} .

F	F
N	–
	σ
T	–
	τ
R	–
	p
Рисунок 2.1

37

Расчет прочности бруса сводится к определению в нем максимальных напряжений и сравнению их с допускаемыми напряжениями с использованием условий прочности:

σmax ≤ [σ], τmax ≤ [τ] .

Допускаемые напряжения определяют по формулам

[σ] = σпред , [τ] = τпред ,

n n

где n — нормативный коэффициент запаса, назначаемый в зависимости от класса конструкции, срока ее эксплуатации, нагрузки, материала, вида деформации и других технических и экономических факторов.

Âкачестве предельного нормального напряжения σïðåä принимают предел текучести материала σò (для пластичного материала) или предел прочности σâ (для хрупкого материала). Аналогично в качестве предельного касательного напряжения

τïðåä принимают соответственно предел текучести при сдвиге τò или предел прочности τâ.

При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, различающихся формой использования условия прочности: 1) проверочный расчет; 2) проектный расчет; 3) рас- чет грузоподъемности.

Âслучае проверочного расчета для конструкции, изготовленной из заданного материала и имеющей заданные размеры сечений элементов, при известных внешних нагрузках определяют, выполняется ли условие прочности. В проектном расчете выполняют подбор сечений элементов конструкции. При определении грузоподъемности рассчитывают допускаемую нагрузку на констукцию.

Под воздействием внешних сил реальное тело изменяет свою форму и размеры, т.е. деформируется. Определение вели- чины этих изменений является сутью расчета на жесткость.

Âколичественном виде изменение формы и размеров тела описывают с использованием двух видов перемещений и деформаций — линейных и угловых (рисунок 2.2).

38

y

dy π/2

C

dx

π/2 + γxy

C′ dx + dx

x

Рисунок 2.2

Линейная деформация — это относительное изменение линейного размера отрезка dx (dy) при перемещении точки C в положение С′ после приложения нагрузки:

εx	=	dx	, εy =	dy	.
		dx		dy

Угловая деформация γxy — это изменение первоначально прямого угла между отрезками dx и dy после приложения нагрузки к телу.

Условие жесткости формулируется аналогично условию прочности.

2.2. Растяжение (сжатие) бруса

При расчетах на прочность и жесткость при растяжении (сжатии) необходимо:

1)определить продольную силу N, действующую в стержне, и построить ее эпюру;

2)определить нормальные напряжения σ, действующие в стержне, и построить их эпюру Эσ;

3)с использованием условия прочности для растяжения (сжатия) выполнить проверку прочности или определить допускаемое значение требуемого параметра;

4)для проверки жесткости определить удлинения участков стержня.

Нормальные напряжения в сечении стержня при растяжении (сжатии) определяют по формуле

39

σ= N ,

F

где N — величина продольной силы в сечении; F — площадь сечения.

Если продольная сила и площадь сечения на участке стержня постоянные, то нормальное напряжение на этом участке также будет постоянным по его длине. Если же продольная сила и (или) площадь сечения на участке стержня изменяются по какому-либо закону, то и нормальное напряжение по длине этого участка соответственно будет изменяться.

Условие прочности при растяжении (сжатии) имеет вид

σmax ≤ [σ] ,

ãäå σmax — максимальное нормальное напряжение в стержне; [σ] — допускаемое нормальное напряжение.

С использованием условия прочности (в зависимости от вида расчета на прочность) определяют требуемый параметр: допускаемое значение параметра нагрузки P (Pmax) или допускаемое значение площади сечения F (Fmin).

Удлинение (укорочение) i-го участка стержня рассчитывают по формуле

li = Nili , EFi

при условии, что по длине участка EF = const, где Ni — вели- чина продольной силы на i-м участке стержня; li — длина этого участка; Fi — площадь сечения на этом участке; E — модуль упругости материала стержня, для сталей примерно равный E = 2·105 ÌÏà.

Полное удлинение (укорочение) стержня определяют как сумму удлинений (укорочений) на всех его n участках:

n

l = ∑ li .

i=1

40

Пример 6

Для консольного стержня переменного сечения (рисунок 2.3) требуется:

1)построить эпюры продольной силы, нормального напряжения и продольного перемещения;

2)с использованием условия прочности определить допускаемое значение параметра нагрузки P;

3)для найденного значения параметра нагрузки вычислить

наибольшее продольное перемещение δz.

Исходные данные: параметр длины стержня l = 0,1 м; параметр площади сечения F = 10 см2; коэффициент запаса n = 1,5; остальные данные приведены в таблице 2.1.

F1	F2	P2	F
	P1		P3
l	l1		l2
	Рисунок 2.3

							Таблица 2.1
l1/l	l2/l	P1/P	P2/P	P3/P	F1/F	F2/F	Материал
2	2	–2	2	–1	3,0	0,5	Сталь 08

Решение

1.Изображаем реальную схему задачи с учетом длин уча- стков стержня, величин и направлений действующих сил в соответствии с данными таблицы 2.1 (рисунок 2.4, а).

2.Используя метод сечений, по аналогии с примером 1 получаем эпюру продольной силы ЭN (рисунок 2.4, б).

41

3F
	0,5F	2P	F	P
2P
l	2l		2l

à

	P
		+
			ÝN
P	–	P	–
		á
	P
	2
	F
		+
			Ýσ
1 P		P	–
3 F		F

â

	11 Pl
	3 EF
		5 Pl
	+	3 EF
		Ýδz
–	1 Pl

3 EF

ã

Рисунок 2.4

42

3. Определяем нормальные напряжения на участках стержня (таблица 2.2). Так как продольная сила и площадь сечения стержня на каждом из участков постоянные, то нормальное напряжение на каждом из участков также будет постоянным (рисунок 2.4, в).

				Таблица 2.2
		Площадь	Продольная сила	Нормальное
	Участок			напряжение
		F	N
					σ
	1	3F	–P		1 P
				−
					3 F
	2	0,25F	P				P
				2
							F
	3	F	–P				P
				−			F

Максимальное нормальное напряжение (без учета знака), как видно из таблицы 2.2, наблюдается на 2-м участке:

σmax = 2 P .

F

Этот участок стержня является опасным.

4. Записываем для 2-го участка условие прочности:

σmax = 2P ≤ [σ] .

F

Сталь 08 относится к пластичным материалам, одинаково работающим на растяжение и сжатие, поэтому допускаемое напряжение определяем как

[σ] = σт , n

43

ãäå σò — предел текучести стали, в соответствии со справоч- ными данными (Приложение Г) равный σò = 200 ÌÏà.

Тогда условие прочности для стержня записываем в виде

2P ≤ σт ,

F n

откуда получаем формулу для определения значения параметра нагрузки P:

P ≤ σт F .

2n

Допускаемым будет максимальное значение параметра нагрузки P, т.е.

Pmax = σт F .

2n

Подставляя значения входящих в формулу величин, определяем требуемое значение параметра нагрузки P:

	200 10 10−4
Pmax =		= 0,067 (МН) .
	2 1,5

Итак, допускаемое значение параметра нагрузки Pmax равно 0,067 МН или 67 кН.

5. Определяем удлинения участков стержня (таблица 2.3). Эпюру продольного перемещения δz (рисунок 2.4, г) строим с учетом следующих соображений. В начале 1-го участка

(в заделке) продольное перемещение поперечного сечения стержня равно 0. В конце 1-го участка поперечное сечение перемещается на величину, равную удлинению этого участка:

δ1к	= −	1		Pl	.
	3			EF

По длине 1-го участка продольное перемещение изменяется по линейному закону, т.к. продольная сила N на участке постоянная. В начале 2-го участка продольное перемещение равно перемещению в конце 1-го участка:

44

		Длина	Площадь	Продольная	Удлинение
	Участок	участка	сечения	ñèëà	участка
		l	F	N				l
	1	l	3F	–P		1 Pl
					−
						3 EF
	2	2l	0,5F	–P			Pl
					4
						EF
	3	2l	F	–P				Pl
					−2
							EF

δ2н = δ1к	= −	1		Pl	.
	3			EF
В конце 2-го участка поперечное сечение перемещается на

величину, равную сумме перемещения в начале δ2í и удлинения этого участка:

δ2к	= −	1		Pl	+ 4	Pl	=	11		Pl	.
	3			EF		EF		3 EF

По длине 2-го участка продольное перемещение также изменяется по линейному закону. В начале 3-го участка продольное перемещение равно перемещению в конце 2-го участка:

δ3н = δ2к	=	11		Pl	.
		3 EF

В конце 3-го участка поперечное сечение перемещается на величину, равную сумме перемещения в начале δ3í и удлинения этого участка:

δ3к	=	11		Pl	− 2	Pl	=	5		Pl	.
		3 EF				EF	3			EF

45