5.4. Свойства уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями первого порядка и являются линейными. Последнее качество непосредственно связано с принципом суперпозиции: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.

Другое свойство заключается в том, что уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета, т. е. являются релятивистки инвариантными. Это означает, что вид уравнений Максвелла не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, однако входящие в них величины преобразуются по определенным правилам.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе нет магнитных зарядов.

Из уравнений Максвелла следует вывод о существовании в природе электромагнитных волн. Такие волны являются проявлением следующего физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. В вакууме такие волны всегда распространяются со скоростью света с.

Примеры решения задач Задача 5.1.

Плоский заряженный воздушный конденсатор, пластины которого представляют собой металлические круги радиусом см, стали разряжать таким образом, что ток разряда поддерживался постоянным и равныммА. Найти индукцию магнитного поля внутри конденсатора на расстояниисм от его оси симметрии.

Дано:	Решение
смм; мАА; смм. –?	Выберем внутри конденсатора замкнутый контур в виде окружности радиусом, плоскость которой параллельна пластинам конденсатора, и выберем направление обхода контура, как показано на рис. 5.4.

Рис. 5.4

Запишем для данного контура уравнение Максвелла, приняв во внимание, что ток проводимости через конденсатор отсутствует:

. (1)

Поскольку система обладает аксиальной симметрией, проекция напряженности магнитного поля на элемент длины контураравна величине напряженности магнитного поляи постоянна вдоль всего контура. Таким образом, левая часть выражения (1):

, (2)

где – напряженность поля на расстоянииот оси.

Для нахождения (плотности тока смещения) используем выражение для электрического смещения поля в конденсаторе

,

где – поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора.

Поскольку конденсатор разряжается, величина , а следовательно, и электрическое смещение убывают со скоростью

,

причем вектор на рис. 5.4 будет направлен вниз. При выбранном обходе контураположительная единичная нормаль также будет направлена вниз по правилу правого винта, следовательно,

.

Таким образом, интеграл в правой части формулы (1)

. (3)

Приравнивая выражения (2) и (3) друг к другу, получим

.

Окончательный результат будет выглядеть следующим образом:

.

Произведем подстановку числовых значений и проведем вычисления:

Тл.

Ответ: Тл.

Задача 5.2.

Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили, а затем отключили от источника напряжения. Доказать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.

Для доказательства воспользуемся одним из уравнений Максвелла в интегральной форме:

где ‑ представляет собой циркуляцию вектора напряженности магнитного полявдоль замкнутого контура;– полный ток, проходящий через площадь, охватываемую контуром;– вектор плотности тока проводимости;– вектор плотности тока смещения.

В качестве контура интегрирования выберем окружность радиусас центром на оси конденсатора. Тогда вследствие симметрии задачи уравнение Максвелла примет вид:

(1)

По определению плотность тока

,

где – площадь пластин конденсатора;– заряд на пластинах конденсатора.

В то же время электрическая индукция внутри конденсатора определяется поверхностной плотностью заряда на обкладках:

(2)

Следовательно, для тока смещения запишем

. (3)

После подстановки (2) и (3) в (1) получим

Очевидно, выражение в круглых скобках равно нулю, следовательно

Ответ: