1.4. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток вектора напряженности электрического поля (Φ). Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Фактически поток вектора пропорционален числу линий напряженности, пронизывающих элементарную площадкуΔS (рис. 1.6).

Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS:

,

где – проекция вектора на нормальк площадке;‑ единичный вектор, перпендикулярный площадке.

Рис. 1.6. К определению элементарного потока ΔΦ

Полный поток вектора напряженности сквозь поверхностьв общем случае равен:

,

где . (Выбор нормалиусловен, но в случае замкнутых поверхностейпринято брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль). Единица измерения потока ‑ В·м.

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔS_i, определить элементарные потоки поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.7):

.

Рис. 1.7. Поток Ф через произвольную замкнутую поверхность S

Теорема Гаусса: поток вектора через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на, т. е.:

.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов и полей, создаваемых заряженными телами различной формы, можно проводить с помощью принципа суперпозиции. Однако, во многих случаях эту задачу можно значительно упростить, используя теорему Гаусса.

Модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом на расстоянииот него (рис. 1.8),

.

Рис. 1.8 Поток электрического поля точечного заряда

через произвольную поверхность S, окружающую заряд

Модуль напряженности поля диполя в точке, находящейся на расстоянии от диполя (‑ плечо диполя),

,

где ‑ электрический момент диполя,‑ угол между осью диполя и радиус-вектором, проведенным из центра диполя в данную точку.

Вращающий момент сил, действующих на диполь во внешнем электрическом поле,

; ,

где ‑ напряженность электрического поля;‑ угол между векторамии.

Сила, действующая на диполь во внешнем электрическом поле,

,

где производная берется по направлению вектора . Направление векторав общем случае не совпадает с направлением вектора, ни с направлением вектора. Направление вектора силы совпадает лишь с направлением элементарного приращения вектора, взятого в направлении.

Выражения для модулей напряженности электрических полей симметричных объектов имеют вид:

1. Напряженность поля равномерно заряженной сферической поверхности в точках, лежащих вне и внутри сферы на расстоянии от ее центра

; .

2. Напряженность поля бесконечно длинной равномерно заряженной нити или бесконечно длинной равномерно заряженной цилиндрической поверхности в точках, расположенных вне ее,

,

где ‑ расстояние точки от нити (оси цилиндра),‑ линейная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины нити или цилиндра:

.

Рис. 1.9. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра.

OO' – ось симметрии цилиндра

3. Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости (рис. 1.10)

,

где ‑ поверхностная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади заряженной поверхности:

.

Рис. 1.10 Поле равномерно заряженной плоскости

4. Напряженность поля двух бесконечных, параллельных плоскостей, равномерно заряженных с поверхностной плотностью заряда и(поле плоского конденсатора) в точках, расположенных между плоскостями и вне их, соответственно равны

, .