Часть III Определение параметров кинетических моделей с помощью программы ReactOp

3.1. Постановка задачи моделирования

Уравнения математических моделей, полученных в интегральных реакторах, имеют следующий вид:

а) для аппарата периодического действия:

(1)

б) для аппарата проточного типа:

(2)

где - переменные концентрации компонентов;- параметры математической модели;

- вид функции, определяемый структурой кинетической модели;

- время прохождения процесса в аппарате периодического действия;

- длина проточного аппарата.

Для определения параметров кинетической модели обычно используют условие метода наименьших квадратов:

,

(3)

где – расчетное значение q-й переменной состояния в i-й точке измерения, полученное из решения системы уравнений модели (1) или (2) при некоторых значениях параметров модели и условиях, соответствующих условиям эксперимента.

Если уравнения модели допускают аналитическое решение и искомые параметры модели входят в решение линейно, необходимое условие минимума функции рассогласования получают из решения системы линейных уравнений, получаемых приравниванием нулю частных производных функциипо искомым параметрам:

(4)

где m – число параметров модели.

Но такой подход применим только к модели, составленной из линейных уравнений.

Для нахождения минимума функции рассогласования (3), необходимо найти расчетные значения переменных состояния в каждой точке измерения. Это можно сделать с применением численных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений математической модели объекта. Задавшись некоторым набором параметров модели, называемым начальным приближением , численно решают уравнения математической модели, например, с использованием метода Рунге-Кутта, или иного численного метода. При этом в качестве начальных условий принимаются условия проведения соответствующих экспериментов (состав исходной смеси, температура, давление и продолжительность процесса).

Для каждой точки измерения (по времени или по длине аппарата) вычисляют разность между экспериментальным значением переменной состояния и ее расчетным значением в данной точке измерения. Далее вычисляют разности значений по всем точкам, возводятся в квадрат и формируют функцию рассогласования. Сформировав значение функции рассогласования для начального приближения параметров модели, следует таким образом изменять начальные значения параметров модели, чтобы минимизировать рассогласование. Для этого обычно применяют различные методы поиска экстремума функции многих переменных.

При использовании градиентного метода поиска экстремума параметры модели изменяют на каждом шаге поиска минимума в соответствии со следующим алгоритмом:

(5)

где i - номер шага поиска;

М – коэффициент пропорциональности изменения параметра в направлении градиента минимизируемой функции.

При градиентном методе параметры изменяют на каждом шаге поиска в направлении градиента, однако этот метод требует большого объема вычислений значений градиента функции в каждой точке поиска. Для сокращения объема вычислений применяют обычно так называемый метод наискорейшего спуска.

В методе наискорейшего спуска после каждого шага в направлении к экстремуму проверяется, удачным ли был этот шаг, по условию:

(6)

Если условие (6) выполняется, то следующий (i+1)-й шаг делают в этом же направлении, если же условие (6) не выполняется, то делают возврат в предыдущую точку, вычисляются новое значение градиента и делаются шаг с новым значением градиента.

Подобные методы называются линейными градиентными методами, потому что при вычислении производной функции рассогласования по формуле (5), производную заменяют ее конечно-разностным выражением. Это эквивалентно разложению неизвестной функции в ряд Тейлора по искомым параметрам модели и исключением всех членов разложения, за исключением содержащих параметры в первой степени.

Существуют различные модификации линейных градиентных методов, ускоряющих сходимость. Например, для выбора коэффициента пропорциональности М в формуле (5) используют методы поиска экстремума функции одной переменной – метод «золотого сечения» или метод чисел Фибоначчи. Такие методы позволяют быстро достичь минимума на определенном направлении градиента. Однако часто некоторые параметры модели оказывают очень большое влияние на функцию рассогласование. В подобных случаях используют так называемые методы квадратичного программирования. При использовании этих методов частные производные минимизируемой функции вычисляют из выражения разложения функции в ряд Тейлора с учетом квадратичных членов:

(7)

В этом случае получаются более точные значения производных, что позволяет локализовать положение экстремума.

Вообще, эффективность метода поиска экстремума и точность его нахождения зависят от свойств оптимизируемой функции и меняются по мере движения к экстремуму. Поэтому целесообразно использовать набор различных методов и применять их последовательно по мере продвижения к экстремуму. Именно такой подход реализован в программном комплексе ReactOp для идентификации моделей объектов.