Таким образом, среднее квадратическое отклонение оценки медианы

равно				≈ 0,159, а среднее квадратическое отклонение оценки
	σ Q M

центра сгибов равно				= 0,0583, т.е незначительно превышает
	σ Q		с

стандартное отклонение среднего арифметического. Можно предположить, что, если бы моды были более островершинные, то более эффективной была бы оценка центра сгибов. Таким образом, используем в дальнейшем в качестве оценки характеристики положения среднее арифметическое и его стандартное отклонение.

Но прежде чем проводить дальнейший анализ, необходимо отметить следующее. С оценкой характеристики положения идентифицируется значение измеряемой величины. При этом измеряемая величина является неслучайной, а оценка характеристики положения, определенная как оценка любой из перечисленных выше числовых характристик, есть случайная величина, хотя может быть для данного закона распределения вероятности она имеет минимальное среднее квадратическое отклонение. Но какая случайная оценка числовой характеристики для заданного закона распределения вероятности может быть наиболее близкой к значению измеряемой неслучайной величины, однозначно не определено. Одни авторы считают, что в качестве оценки характеристики положения, с которой идентифицируется значение измеренной величины, должна быть оценка моды (так как она характризует максимальную плотность отсчетов), другие – оценка медианы (так как она делит площадь под кривой плотности распределения вероятности пополам), третьи – оценку, имеющую наименьшее рассеяние, и т.д. На практике чаще всего применяется в качестве характеристики положения среднее арифметическое. Поэтому не будут ошибочными действия студента, если после анализа, проведенного в соответствии с требованиями данного пункта, он выберет в качестве характеристики положения закона распределения вероятности среднее арифметическое.

2.7.3. Представление результата измерения

Ранее подчеркивалось, что для представления результата измерения необходимо знание оценки характеристики положения и доверительных интервалов, в которых может находиться значение характеристики положения с заданной вероятностью. Задача выбора числовой характеристики, которая должна быть в заданном массиве экспериментальных данных в качестве характеристики положения, решена в п. 2.6.1. Необходимо определить доверительные интервалы, в которых с

заданной вероятностью может находиться значение выбранной оценки характеристики положения.

А для этого должно быть определено среднее квадратическое отклонение оценки числовой характеристики, принятой в качестве характеристики положения (обозначим ее σхп), после чего следует рассчитать зависимость от заданной вероятности величины доверительных интервалов (т.е. зависимость P (tσхп) от t), построить эту зависимость

Р (t σхп) = f (t)

и записать для доверительных вероятностей P = 0,9 и Р = 0,95 доверительные границы, в которых может находиться значение оценки характеристики положения.

В том случае, если доверительные интервалы симметричны

относительно оценки характеристики положения Qхп , то результат

многократного измерения при конкретном значении доверительной вероятности записывается в виде

Qхп - t σхп ≤ Q ≤ Qхп + t σхп.

Если доверительные интервалы несимметричны относительно выбранной оценки характеристики положения, то результат многократного измерения при конкретном значении доверительной вероятности представляется в виде

Qхп – t1σхп ≤ Q ≤ Qхп + t2σхп,

где t1 – параметр, определяющий область значений вероятности слева от оценки характеристики положения, а t2 – справа от оценки характеристики положения.

При известных значениях Qхп и σхп последовательность

определения доверительных интервалов следующая.

Вводится обозначение

						Q2
	Q		−Q				−Q хп
t1 =		хп	1	; t2	=			.	(52)
							SQ
		SQ
Из этих выражений определяются						Q1	и Q2 :

	−t1 SQ ;
Q1 = Q хп				Q2 = Q хп + t2 SQ . (53)
Вероятность того, что значение отсчета будет в интервале Q1 ≤ Q ≤
Qхп , равна
Р Q1		≤ Q ≤ Q	хп	= F(Q хп ) − F(Q1 ) ,

а вероятность того, что отсчет будет находиться в интервале Qхп ≤ Q ≤ Q2,

≤ Q ≤ Q2

Р Q хп

= F(Q2 ) − F(Q хп ) .

Последние выражения позволяют найти F(Q1)

и

F(Q2) в зависимости

от значений вероятностей

≤ Q ≤ Q2

Р Q1 ≤ Q ≤ Q хп

, P Q

хп

и F(Qхп ):

(54)

F(Q1 ) = F(Q

хп ) − Р Q1

≤ Q ≤ Q

хп ;

F(Q2 ) =

≤ Q ≤ Q2

(55)

F(Q хп ) + Р Q

хп

.

≤ Q ≤ Q

≤

Q

≤

P Q

хп

2

, можно

Задаваясь значениями Р Q1

Q

хп и

определитьF(Q1 ) иF(Q2 ) , после чего с помощью исходного выражения

функции распределения вероятности определяются Q1, Q2			и значения
параметров t1	и t2 в зависимости от заданных значений
		Р Q1	≤ Q ≤ Q	хп и
P Q хп ≤ Q ≤ Q2	. Если в явном виде не удается определить Q1 и Q2 через

функцию распределения вероятности, то целесообразно использовать последовательный подбор, вычисляя в явном виде функцию распределения вероятности в зависимости от различных значений Q1 или Q2.

Результаты расчетов значений t1							и	t2 в зависимости от заданных
			и			≤ Q ≤ Q2		необходимо представить в
Р Q1	≤ Q ≤ Q	хп		P Q	хп

графическом и табличном виде.

ПРИМЕР. В примере характеристикой положения является среднее

арифметическое Q = 4,2 (см. пример в п. 2.6.1), стандартное отклонение среднего арифметического S = 0,0544.

Q

Для определения доверительных интервалов можно использовать расчеты, полученные ранее в разделе проверки аналитического выражения закона распределения вероятности с помощью критерия согласия Мозеса. В графе 6 табл. 13 приведены рассчитанные значения функции распределения вероятности для различных интервалов.

Построим вспомогательную табл. 19, в которой сведены результаты промежуточных расчетов. Значения F21 (Qi ) получаются обычным интегрированием плотности распределения вероятности:

Q

Q

F21 (Qi ) = A11 ∫i

e−α11

Q−Q1

dQ + A21 ∫i

e−α12

Q−Qi

dQ

−∞

−∞

Так, например, для Q=3

F 1 (Q = 3) =

A11

e−α11 (3,492−Q) +

A21

e−α12 (4,908−Q) = 0,0678 + 0,0016 = 0,0694

,

2

α

1

α

1

1

2

если Q = 4,

3,492

4

4

F21(Q =4) = A11

∫ e−α11(Q−3,492)dQ+ A11

∫ e−α11(Q−3,492)dQ+ A21 ∫e−α12 (4,908−Q)dQ=

−∞

3,492

−∞

=0,25+0,18494+0,02254=0,45748.

Если же Q = 5, т.е больше 4,908, то

3,492

5

4,908

F21 (Q = 5) = A11 ∫ e−α11 (Q−3,492)dQ + A11 ∫ e−α11 (Q−3,492) dQ + A21

∫e−α12 (4,908−Q) dQ +

−∞

3,492

−∞

+ A21

∫5 e−α12 (Q−4,908) dQ = 0,25 +0,2454+0,25 +0,05409 = 0,79949

4,908

Полученные таким образом значения функции распределения вероятности записываем в колонку 3 табл. 19, после чего вычисляем абсолютное

значение вероятности попадания отсчетов в интервал Qi ≤ Q ≤ 4,2 и заполняем 4 - ю колонку

				Таблица 19
	Значения			P{Qi ≤Q≤4,2}=
	членов
№		F21 (Qi )						Qi −Q
	вариац.			F(Q=4,2)−F(Qi )			ti =
п/п								SQ
	ряда
	(Qi)
1	2	3	4				5
1	2,5	0,018465	0,48154				-2,016607
2	2,6	0,024067	0,47593				-1,897983
3	2,7	0,03137	0,46863				-1,779359
4	2,8	0,040889	0,45911				-1,660735
5	2,9	0,053295	0,44671				-1,542112
6	3	0,069467	0,43053				-1,423488
7	3,1	0,090545	0,40946				-1,304864
8	3,2	0,11802	0,38198				-1,18624
9	3,3	0,15383	0,34617				-1,067616
10	3,4	0,200507	0,29949				-0,948992
11	3,5	0,261235	0,23877				-0,830368
12	3,6	0,320031	0,17997				-0,711744
13	3,7	0,366114	0,13389				-0,59312
14	3,8	0,40274	0,09726				-0,474496
15	3,9	0,432495	0,06751				-0,355872
16	4	0,457482	0,04252				-0,237248
17	4,1	0,479466	0,02053				-0,118624
18	4,2	0,5	0				0
19	4,3	0,520534	0,02053				0,118624
20	4,4	0,542518	0,04252				0,237248
21	4,5	0,567505	0,06751				0,355872
22	4,6	0,59726	0,09726				0,474496
23	4,7	0,633886	0,13389				0,59312
24	4,8	0,679969	0,17997				0,711744
25	4,9	0,738765	0,23877				0,830368
26	5	0,799493	0,29949				0,948992
27	5,1	0,84617	0,34617				1,067616
28	5,2	0,88198	0,38198				1,18624
29	5,3	0,909455	0,40946				1,304864
30	5,4	0,930533	0,43053				1,423488

				Окончание табл. 19
1	2	3	4		5
31	5,5	0,946705	0,44671		1,542112
32	5,6	0,959111	0,45911		1,660735
33	5,7	0,96863	0,46863		1,779359
34	5,8	0,975933	0,47593		1,897983

Теперь можно произвести расчет зависимости доверительной вероятности от параметра t, при этом учитываем, что закон распределения вероятности симметричный, поэтому вероятность для одного и того же доверительного интервала удваиваем. Так, например,

для интервала {-0,1 ≤ Q ≤ 0,1}, т.е. Qi - Q = 0,1, значение параметра t = 0,118624 (17-ая и 19-ая строки табл. 19), а вероятность попадания в этот интервал равна 0,02053 × 2 = 0,04106. Если же интервал {-0,5 ≤ Q ≤ 0,5},

т.е. Qi - Q = 0,5, то параметр t = 0,59312 (13-ая и 23-я строки табл.

19), а вероятность попадания в этот интервал равна 0,13389 × 2 = 0,26778. Значения параметра t и соответствующей вероятности записываем в табл. 20 в порядке возрастания параметра t. В эту же таблицу (колонки 4 и 5) записываем для сравнения значения вероятностей в зависимости от параметра t для нормального закона распределения

вероятности			и предельный случай,			расчитанный	по неравенству
Чебышева (см. формулу 13 ).
						Таблица 20
						Вероятность	Вероятность
	№		Пара-	Вероятность		по	по
	п/п		метр t			нормальному	неравенству
						закону	Чебышева
	1		2	3		4	5
	1		0	0		0	-
	2	0,118624		0,041067		0,0955	-
	3	0,237248		0,085035		0,190	-
	4	0,355872		0,13501		0,281	-
	5	0,474496		0,194521		0,364	-
	6	0,59312		0,267772		0,452	-
	7	0,711744		0,359938		0,522	-
	8	0,830368		0,47753		0,594	-
	9	0,948992		0,598985		0,658	-
	10	1,067616		0,692339		0,715	0,123

				Окончание табл. 20
1	2	3	4		5
11	1,18624	0,763961	0,763		0,289
12	1,304864	0,818909	0,807		0,413
13	1,423488	0,861066	0,845		0,506
14	1,542112	0,893409	0,877		0,579
15	1,660735	0,918223	0,903		0,637
16	1,779359	0,93726	0,925		0,684
17	1,897983	0,951866	0,943		0,722
18	2,016607	0,963071	0,956		0,754
19	2,135231	0,971668	0,967		0,781
20	2,253855	0,978263	0,976		0,803
21	2,372479	0,983324	0,982		0,822
22	2,491103	0,987206	0,987		0,839
23	2,609727	0,990184	0,9907		0,853
24	2,728351	0,992469	0,9935		0,866
25	2,846975	0,994222	0,9955		0,877
26	2,965599	0,995567	0,9969		0,886
27	3,084223	0,996599	0,9973		0,895
28	3,202847	0,997391	0,9986		0,902
29	3,321471	0,997998	0,9986		0,909
30	3,440095	0,998464	0,999		0,915

Для получения более полной информации о зависимости доверительной вероятности от параметра t табл. 20 продолжена за пределы тех значений отсчетов, которые имеются в исходном задании (выделено жирным шрифтом, для студентов выполнение этих дополнительных расчетов необязательно). Так 25-ая строка соответствует значениям Q = 6,6 и Q = 1,8, а 30-ая строка соответствует значениям Q = 7,1 и Q = 1,3 (этих отсчетов в исходном массиве нет).

Графическая зависимость вероятности от параметра t представлена на рис. 5.

Теперь можно представить доверительные интервалы, в которых находится значение среднего арифметического, принятого в качестве оценки характеристики положения, с заданной доверительной вероятностью

		- t S				≤		+ t S		.
	Q			≤	Q		Q
		Q						Q

									Вер экс										Вер норм										Вер по Чебышеву
	1
	0,9
	0,8
Вероятность	0,7
	0,6
	0,5
	0,4
	0,3
	0,2
	0,1
	0
	0		725			45			174			899			624			349			074			798		4				1			8			56			3	4
																									5				9			2						0		,4
					7																				,2			,4			,7				6			,2		3
		3			,4			1			4			8			2			6			9		2		2			2				,9			3
	,2			0			,7			,9			,1			,4			,6			,8											2
	0					0				0			1			1			1			1
																			параметр t

Рис. 5. Зависимость доверительной вероятности от параметра t для различных ЗРВ

Для доверительной вероятности Р ≈ 0,9					t ≈ 1,54 среднее
арифметическое находится в интервале
4,2 - 1,54 × 0,0544 ≤	Q		≤ 4,2 + 1,54 × 0,0544			или
4,116 ≤			Q	≤ 4,284.
Для доверительной вероятности Р = 0,95					t ≈ 1,9,	результат
измерения находится в интервале

4,2 – 1,9 × 0,0544 ≤ Q ≤ 4,2 + 1,9 × 0,0544 или

4,0966 ≤ Q ≤ 4,3034.

Для нахождения интервала неопределенности, в котором находится результат измерения, без каких-либо предположений об уровне доверительной вероятности необходимо использовать оценку

энтропийного коэффициента, определяемого по формуле (11) k = 1,709

		- k S			≤ х ≤	Q	+ k S
	Q									или
		Q					Q

4,107 ≤ Q ≤ 4,293

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Основной список

1.Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. Для технических приложений. – М.: Наука, 1969.- 512 с.

2.Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. – Л.: «Энергоатомиздат», 1991.- 304 с.

3.Вентцель Е.С. Теория вероятностей.: Учебник для вузов. - М.: «Высшая школа», 2001.- 575 с.

4.Левин С.Ф. Погрешности измерений и вычислений как причина «Катастрофического феномена 1985-1986 годов в авиационной и ракетнокосмической технике».// Контрольно-измерительные приборы и системы. 2000, 6, С. 21-24.

5.Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология.: Учебник для вузов.- М.: Изд. Стандартов, 1991.- 492 с.

6.Романов В.Н., Комаров В.В. Теория измерений. Анализ и обработка экспериментальных данных.: Учеб. пособие. – СПб: СЗПИ, 1999. – 112 с.

7.Фрумкин В.Д., Рубичев Н.А. Теория вероятностей и статистика в метрологии и измерительной технике. – М.: Машиностроение, 1987. – 168 с.

8.Карасев А.И. Основы математической статистики.: Учеб. пособие. - М.: Росвузиздат, 1962. – 412 с.

Дополнительный список

9. Митропольский Л.К. Техника статистических вычислений. – М.:

Физматлит, 1961. – 479 с.

10.Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 288 с. 11.Теоретическая метрология: Методические указания к курсовой работе/ Составитель Романов В.Н. – Л.: СЗПИ, 1990. – 24 с.

12.Артемьев Б.Г., Голубев С.М. Справочное пособие для работников метрологических служб. Кн. 1. – М.: Изд. Стандартов, 1990. - 652 с.