* Массивы экспериментальных данных приведены в приложении А. Каждый массив имеет 240 отсчетов (24 строки по 10 отсчетов в каждой строке).

Чтобы получить необходимый объем экспериментальных данных, студент должен из массива данных выбрать значения отсчетов, записанные в первых no строках, где no равно двум первым значащим цифрам объема экспериментальных данных. Например, если шифр студента 19-268, то ему следует выполнять работу со следующими исходными данными: объем экспериментальных данных (восьмой) - 210 отсчетов, а конкретные значения отсчетов расположены в первых 21 строках массива данных Х6

(no = 21).

1.2.РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

Расчетно - пояснительная записка выполняется на белой бумаге формата 210 x 297 мм2 на одной стороне листа с полями: слева – 30 мм, справа – 10 мм (таблицы разрешается выполнять на листах большого формата).

В конце работы приводится перечень использованной литературы с указанием авторов, названия издательства и года издания, а для периодических изданий – также номера тома или выпуска.

Титульный лист расчетно – пояснительной записки оформляется по установленным правилам. Записка выполняется аккуратно, листы нумеруются и сшиваются.

Кроме данных, приведенных в задании, используются статистические таблицы.

Структура расчетно - пояснительной записки должна включать

-постановку задачи с исходными экспериментальными данными из соответствующего задания;

-алгоритм решения поставленной задачи с необходимыми обоснованиями результатов (выводов) после выполнения каждого пункта;

-полученные результаты и выводы.

2.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТОВ

2.1. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Из курса «Теоретической метрологии» известно, что результат многократного измерения, являясь случайной величиной, представляется в виде некоторой оценки характеристики положения закона распределения

вероятности (далее - характеристика положения), значение которой определено в доверительных интервалах с заданной вероятностью. А так как размеры доверительных интервалов зависят от закона распределения вероятности, то для повышения точности целесообразно найти закон распределения вероятности и только после этого рассчитать границы, в которых может находиться оценка характеристики положения с выбранной заданной доверительной вероятностью. С оценкой характеристики положения идентифицируется значение измеряемой величины.

Методика определения закона распределения вероятности случайной величины (далее – ЗРВ), который полностью описывается плотностью распределения вероятности и (или) функцией распределения вероятности, базируется на использовании совокупности аналитических и графических методов.

Аналитические методы определения формы ЗРВ основаны на вычислении оценок показателей формы распределения: асимметрии,

эксцесса, коэффициента формы кривой распределения, контрэксцесса, энтропийного коэффициента. При этом найденные оценки сравниваются с известными табличными значениями показателей, рассчитанными для различных теоретических функций распределения. Опыт показывает, что определить с высокой достоверностью ЗРВ по оценкам показателей формы кривой сложно, так как очень часто одинаковые значения оценок могут принадлежать различным ЗРВ. По этой причине определение возможных форм ЗРВ по оценкам показателей формы кривой следует рассматривать в качестве предварительной оценки формы ЗРВ (одной или нескольких возможных вариантов).

Гипотезу о форме ЗРВ, которую следует подвергнуть дальнейшему

анализу, можно выдвинуть после построения		гистограммы и
кумулятивной кривой.	А так как гистограмма	является более

информативной, чем кумулятивная кривая, то при выполнении курсовой работы ее построение обязательно. Необходимо отметить, что форма гистограммы очень часто зависит от количества интервалов, на которые разбивается весь массив выборки, от расположения интервалов относительно характеристики положения (среднего арифметического, медианы и т.д.). Поэтому целесообразно привести в работе несколько (не менее двух) гистограмм, которые могут отличаться друг от друга количеством интервалов или (и) другими параметрами. Студент при выполнении работы должен обосновать необходимость дальнейшего анализа нескольких гистограмм или возможность определения результата измерения по одной гистограмме.

Окончательный вывод о том, какая гипотеза о форме ЗРВ должна быть подвергнута дальнейшему анализу, может быть сделан после сравнения

формы ЗРВ, полученной по гистограмме, с возможными формами, определенными по оценкам показателей формы распределения (асимметрия, эксцесс, коэффициент формы кривой распределения, контрэксцесс, энтропийный коэффициент).

Если предварительный вывод о возможных формах ЗРВ, полученный по оценкам показателей формы, соответствует выводу о форме ЗРВ, полученному на основании построенной гистограммы, то можно гипотезу о форме ЗРВ принять к дальнейшему анализу. Если же этого соответствия не получается, то необходимо внести изменения в параметры гистограммы (изменить длину интервалов, их количество, сдвинуть середину интервалов), построить новую гистограмму и выдвинуть по ней другую гипотезу о форме ЗРВ. Провести очередное сравнение и добиться соответствия формы гистограммы выводу, сделанному на основании сравнения оценок показателей формы распределения с показателями формы известных теоретических ЗРВ (табличных).

После того как гипотеза о форме ЗРВ будет выдвинута, с помощью гистограммы и кумулятивной кривой определяются аналитическое выражение ЗРВ и числовые значения параметров, входящих в аналитическое выражение ЗРВ. Целесообразно гистограммы, полигоны и кумулятивные кривые (экспериментальные кривые), функции плотности и функции распределения вероятности (аппроксимирующие функции) строить в линейном масштабе.

Рассчитанные числовые значения параметров, входящих в аналитические выражения аппроксимирующих функций ЗРВ, могут не соответствовать действительному ЗРВ, так как числовые значения, входящие в аналитические выражения, тоже случайны. Поэтому для определения соответствия аналитического выражения ЗРВ экспериментальным данным применяются критерии согласия, которые в общем случае позволяют оценить степень расхождения экспериментальных функций и аппроксимирующих. Следует учесть, что ни один из критериев согласия не дает абсолютно достоверный вывод о степени соответствия экспериментальных и аппроксимирующих функций, описывающих конкретный ЗРВ. Для повышения достоверности при проверке соответствия экспериментальных и аппроксимирующих функций необходимо применить несколько (как минимум два) критериев согласия и только после этого сделать вывод о ЗРВ.

В качестве примера в данном пособии степень расхождения экспериментальных и аппроксимирующих функций ЗРВ определяется с использованием критериев согласия Пирсона (χ2), Мозеса (ω2), А.Н. Коломогорова. Студент имеет право применять и иные критерии согласия, описанные в справочной и научной литературе.

После определения ЗРВ необходимо определить результат многократного измерения физической величины, представив его в виде характеристики положения, доверительные интервалы значений которой определены с заданной вероятностью. При этом зависимость параметра t, с помощью которого определяются доверительные границы, от доверительной вероятности для каждого ЗРВ будет разная и располагаться между зависимостью, определенной для нормального ЗРВ, и зависимостью, определенной по неравенству Чебышева (рис. 22 И.Ф. Шишкин “Теоретическая метрология” - М.: Изд. “Стандартов”, 1991). При выполнении работы студент для полученного ЗРВ должен построить зависимость параметра t от доверительной вероятности и определить по этой зависимости пределы, в которых может находиться характеристика положения для двух значений доверительной вероятности: Р = 0,9 и Р = 0,95.

Ниже приведено описание этапов расчета.

2.2. ПОСТРОЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЯДА

При большом количестве экспериментальных данных их простая совокупность является громоздкой, мало наглядной и неудобной для дальнейшей обработки. Для придания ему большей наглядности весь полученный экспериментальный материал целесообразно построить в виде ряда

Q1 ≤Q2≤ Q3…….≤ Qn,

(1)

при этом одновременно определяется количество каждого значения отсчета. Полученный ряд может быть представлен в виде таблицы, а также в виде линейчатой диаграммы. Линейчатая диаграмма определяет зависимость количества каждого значения отсчета от его непосредственного значения [2].

2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

1.Для того чтобы получить информацию о среднем значении массива экспериментальных данных, необходимо определить среднее

арифметическое Q по формуле [5]

				1	n
			=		∑Qi ,
		Q				(2)
				n i=1

где n – количество отсчетов в массиве экспериментальных данных.

2. Для того чтобы оценить рассеяние массива экспериментальных данных относительно среднего арифметического, определяется несмещенная

	2
оценка дисперсии S Q		и стандартное отклонение SQ (СТО) по формулам
[5]
2	1	n				2	2
							SQ = + S Q .
S Q =								(3)
		∑ Qi −Q ;
	n −1 i=1

Известно, что дисперсия выражает мощность рассеяния относительно постоянной составляющей, а стандартное отклонение, имеющее размерность случайной величины, является действующим значением рассеяния случайной величины.

3. Для того чтобы оценить ассиметрию ЗРВ, определяется оценка третьего

центрального момента	µ3 , характеризующая несимметричность

распределения. Оценка третьего центрального момента определяется по формуле [5]

		1	n			3
µ3	=						(4)
			∑ Qi −Q .
		n i=1

Третий центральный момент и его оценка имеют размерность куба случайной величины, поэтому для относительной характеристики

асимметрии применяют безразмерный коэффициент асимметрии s [5]

	s =	µ3
		SQ3 .		(5)

Для симметричных распределений ЗРВ относительно математического

ожидания µ3 = 0. Однако в реальности может быть определена только

оценка третьего центрального момента µ3 , которая, являясь случайной величиной, может приближаться к нулю, но не быть равной ему. В каких

случаях можно считать симметричным ЗРВ, если µ3 ≈ 0? Для ответа на

этот вопрос определяется параметр, характеризующий рассеяние оценки коэффициента асимметрии [6]

=

6(n −1)

σ s

(n +1)(n + 3)

.

(6)

Если выполняется условие

s

≤ 1,5

, то можно считать, что ЗРВ

σ s

симметричный, если

же

s

>

1,5 σ

,

то

несимметричностью ЗРВ

s

пренебрегать нельзя.

4. Для того чтобы

оценить

степень

заостренности ЗРВ, определяется

оценка четвертого центрального момента

µ4 ,

характеризующая, с одной

стороны, заостренность плотности распределения вероятности, а с другой, - протяженность распределения. Оценка четвертого центрального момента определяется по формуле [5]

		1	n			4
µ4	=						(7)
			∑ Qi −Q .
		n i=1

Четвертый центральный момент и его оценка имеют размерность четвертой степени случайной величины, поэтому для удобства чаще применяют

относительную величину, которая называется эксцессом ε и определяется по формуле

ε = µ4 , (8)

D2

Q

где DQ - второй центральный момент случайной величины (дисперсия).

Эксцесс распределения для разных законов может иметь значение от ε = 1 для дискретного двузначного и до бесконечности (для распределения Коши). Так как для нормального закона ε = 3, то в некоторых случаях вводится понятие коэффициента эксцесса γ = ε - 3, который для менее протяженных распределений (треугольного, равномерного и т.д.) отрицательный, а для распределений, более протяженных, чем нормальный, γ > 0 и может изменяться до бесконечности. Последнее в расчетах не всегда удобно, поэтому

применяют в расчетах чаще оценку контрэксцесса k , изменяющуюся от 0 до 1 и определяемую по формуле

	1	SQ2
k =	=	.	(9)
	ε	µ4

5.Для того чтобы оценить интервал неопределенности, в котором находится результат многократного измерения без каких-либо предположений об уровне доверительной вероятности, определяется энтропийный коэффициент [2]

						kэ =	∆Э	,	(10)
							D
							Q
	где	∆Э =	1	eH (Q)	,	H (Q) = − ∞∫ p(Q) ln p(Q)dQ . К. Шеннон показал, что из
			2
							−∞

наиболее часто встречающихся распределений максимально возможное

значение энтропийного коэффициента kэ = 2,066 у нормального закона

распределения	вероятности, минимальное	kэ	= 1,11	–	у
арксинусоидального. Умножив оценку энтропийного коэффициента				k э	на
SQ , можно	определить оценку энтропийного		значения интервала

неопределенности результата измерения.

Оценка энтропийного коэффициента является еще одной числовой характеристикой формы распределения вероятности . По гистограмме эта оценка вычисляется по формуле

1

m

dn

−

∑ n j lg n j

k э =

10

n

j =1

,

(11)

2 S Q

где d – ширина столбца гистограммы, n – количество отсчетов в массиве

исходных данных, m – число столбцов в гистограмме, nj – число отсчетов в

j – м столбце гистограммы (j = 1…….m).

В табл. 2 и 3 приведены числовые значения эксцесса, контрэксцесса и

энтропийного коэффициента для некоторых ЗРВ [2].

Таблица 2

№

п

Вид

∆m /

DQ

ε

κ

kэ

распределения

/

п

1

2

3

4

5

6

P (Q)

1

Q

3 ≈1,73

1,8

0,745

1,743

- ∆m

0

∆m

c

P (Q)

2

3/2 c

Q

4,15=2,04

1,9

0,728

1,83

- ∆m

0

∆m

c

P (Q)

3	2c	Q			2,016	0,704	1,94
- ∆m	0	∆m
	c	P (Q)
4	3c	Q	2, 5≈	2,32	2,184	0,677	2,00
- ∆m	0	∆m

Окончание табл. 2

	1				2													3		4			5			6
	5					P (Q)											6 ≈ 2,45			2,4			0,645			2,02
											Q
			- ∆m		0						∆m
						P (Q)																			2π	2 ≈1,11
	6										Q						2 ≈1,41			1,5			0,816
				- ∆m	0						∆m
						P (Q)
	7										Q					4		≈1,79		1,72			0,752			1,76
																	5
				- ∆m	0						∆m
						P (Q)
	8										Q							2		2,25			0,667			1,88
				- ∆m	0					∆m
																						Таблица 3
№				Вид распределения														ε					κ			kэ
п/п
1					2													3				4				5
1				P(x) =			1				e−4				Q			458				0,0467			0,085
							48
2				P(x) =			1				e−3				Q			107,25				0,0966			0,424
							12
3				P(x) =				1	e−						Q			25,2				0,199			1,35
							4