2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СООТВЕТСТВИЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ ЗРВЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

2.6.1. Основные теоретические положения применения критериев согласия при проверке гипотез

Задача проверки правдоподобия гипотез тесно связана с задачей определения закона распределения вероятности случайной величины. При решении такого рода задач исследователь обычно не располагает настолько большим статистическим материалом, чтобы выявляющиеся в нем статистические закономерности были свободны от элементов случайности. Статистический материал может с большей или меньшей степенью согласия подтверждать или не подтверждать справедливость той или иной гипотезы. По этой причине разработаны различные методы определения согласованности экспериментального и теоретического распределений, так как как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между нею и экспериментальным распределением неизбежны некоторые расхождения. Необходимо решить вопрос, объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что подобранное теоретическое распределение не соответствует (или плохо соответствует) экспериментальному распределению. Для этого существуют критерии согласия, идея применения которых следующая [8].

Допустим, что следует проверить гипотезу H, состоящую в том, что случайная экспериментально определенная величина Х подчиняется некоторому известному закону распределения (т.е. величина Х имеет известную функцию и (или) плотность распределения вероятности). Для того, чтобы принять или опровергнуть гипотезу Н, рассмотрим некоторую величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и статистического (экспериментального) распределений. Величина U

может быть подобрана различными способами: это может быть сумма квадратов отклонений теоретических вероятностей от соответствующих частостей, или сумма тех же квадратов отклонений, но с некоторыми коэффициентами, или же максимальное отклонение экспериментальной функции распределения от теоретической и т.д. При любом способе определения величины U она будет величиной случайной, закон распределения которой зависит от закона распределения Х и от объема выборки. И если гипотеза Н верна, то закон распределения величины U определяется законом распределения величины Х и объемом выборки. Если в конкретном случае величина U приняла определенное значение u, то необходимо определить, можно ли объяснить это случайными причинами

или же это расхождение слишком велико и указывает на наличие существенной разницы между теоретическим и экспериментальным распределениями, что указывает на непригодность гипотезы Н. Сделаем предположение, что гипотеза Н верна, при этом определим теоретически критическую вероятность того, что за счет случайных причин, связанных с недостаточным объемом выборки, мера расхождения U оказывается не

меньше (больше или равной), чем наблюденное в эксперименте значение u, т.е. вычислим вероятность события U ≥ u. Если эта

вероятность мала, то гипотезу Н следует отвергнуть как малоправдоподобную, если же эта вероятность значительна, следует признать, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе

Н.

При некоторых способах выбора меры расхождения U закон ее распределения обладает простыми свойствами и при достаточно большом объеме выборки практически не зависит от теоретической функции распределения вероятности величины Х. Именно такие меры расхождения и применяют в математической статистике в качестве критериев согласия.

Такими критериями могут быть критерий Колмогорова, К. Пирсона, Мозеса и т.д. (критерий Пирсона применялся студентами в контрольной работе для проверки нормальности закона распределения вероятности).

Прежде, чем переходить к рассмотрению вопроса применения критериев согласия, необходимо пояснить некоторые термины, которые используются при статистической проверке гипотез, в частности «уровень значимости» и «число степеней свободы».

Уровень значимости определяет критическую вероятность того, что выдвигаемая гипотеза о соответствии экспериментального ЗРВ теоретическому может быть принята. Если вероятность того, что выдвигаемая гипотеза о соответствии экспериментального ЗРВ теоретическому будет больше уровня значимости, то можно считать, что выдвигаемая гипотеза не противоречит экспериментальным данным и может быть использована для определения результата многократного измерения. Если же вероятность того, что выдвигаемая гипотеза о соответствии экспериментального ЗРВ теоретическому будет мала, то гипотеза отвергается, после чего должна быть выдвинута другая гипотеза и проведена проверка ее соотвествия экспериментальным данным.

Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность забраковать проверяемую гипотезу, когда она верна (т.е. совершить «ошибку первого рода»), но с уменьшением уровня значимости понижается чувствительность критерия, так как расширяется область допустимых значений и увеличивается вероятность совершения «ошибки второго рода», т.е. принятия проверяемой гипотезы, когда она не верна.

Среди уровней значимости широкое применение имеют 5%-ный уровень, при котором величина вероятности q = 0,05. Иногда применяют 1%-ный уровень значимости (q = 0,01), очень редко 0,1%-ный (q = 0,001). Основанием для выбора уровня значимости служит допустимая вероятность совершения ошибки второго рода (т.е. принятия неверной гипотезы). Если известна вероятность того, что выдвигаемая гипотеза о соответствии экспериментального ЗРВ теоретическому может быть отвергнута (Р(х)), то уровень значимости может быть определен по формуле

q(x) = 1 – P(x) .

(23)

Число степеней свободы распределения должно быть определено при проверке гипотезы о соответствии экспериментального ЗРВ теоретическому по критерию согласия К. Пирсона. Число степеней свободы ( r ) определяет число независимых связей, наложенных на вероятность попадания отсчетов в интервалы, на которые разбита вся экспериментальная совокупность. Примерами таких условий могут быть

			l
		1)	∑pi =1,		(24)
		l	i=1
	где		– количество интервалов, pi	- вероятность попадания отсчета в i –й
	интервал; это требование (суммарная				вероятность равна единице)
	накладывается во всех случаях;
		2)	l ~	= mx ,	(25)
			∑xi pi
		~	i=1
	где		- среднее значение отсчета	в i-м	интервале, mx - теоретическое
		xi

среднее значение; это равенство регламентирует условие, при котором должны совпадать средние теоретические и экспериментальные значения;

3)	l ~	2	= Dx ,	(26)
	∑(xi − mx )

i=1

где Dx – теоретическая дисперсия, т.е. здесь регламентируется совпадение теоретической и экспериментальной дисперсии.

Могут существовать и другие условия, которые налагают ограничения на аппроксимирующие функции. Если применяются эти ограничения, то

число степеней свободы равно разности между количеством интервалов, на которые разбита вся совокупность отсчетов, и

количеством ограничительных условий. Если ограничительных условий три, то число степеней свободы

		r = l −3.	(27)
Теперь	рассмотрим	основные правила	применения некоторых
критериев согласия.
	2.6.2. Критерий согласия Мозеса (ω2 – критерий)
Этот критерий согласия, получивший название ω2 (омега-квадрат)
основывается	на	непосредственно	экспериментальных

(несгруппированных) значениях рассматриваемой величины Q [8].

Пусть гипотеза заключается в том, что величина Q распределена согласно непрерывному закону распределения F(Q), который считается известным. Функция распределения, определенная экспериментально - F*(Q), при больших объемах данных и правильной гипотезе, будет

равномерно близка к теоретическому закону распределения вероятности
F(Q), а отклонение [F * (Q) − F(Q)]	будет равномерно мало. В качестве

меры, определяющей степень расхождения экспериментальной и теоретической зависимости, рассматривается средний квадрат отклонений по всем возможным значениям аргумента:

ω2 = ∞∫[F * (Q) − F (Q)]2 dF (Q) ,	(28)
−∞

при этом dF (Q) = F ′(Q)dQ , т.е. предполагается, что функция F(Q) имеет

производную при всех значениях аргумента (т.е. плотность распределения вероятности не имеет разрывов и является плавной кривой).

Если считать, что экспериментальная совокупность значений величины Q имеет n членов вариационного ряда, функцию F*(Q) представим в виде

	Fn(Q) = 0		при	Q < Q1,
	Fn(Q) =	k	при	Qk ≤ Q ≤ Qk+1 (k = 1, 2, ….., n – 1), (29)
		n
	Fn(Q) = k		при	Q ≥ Qn.

После промежуточных преобразований получаем выражение для вычисления ω2

	1			1	k =n		2k −1		2
ω2 =			+		∑ F (Qk ) −			.		(30)
	12n	2					2n
				n k =1

Это равенство показывает, каким образом ω2 зависит от членов вариационного ряда. Точное распределение ω2 очень сложное, но исследования показали, что уже при n > 40 распределение произведения nω2 близко к некоторому предельному распределению, для которого вычислены таблицы. По этим таблицам определены критические значения для величины nω2, которое определяется выражением

			k =n		2k −1		2
	nω2 =	1	+ ∑ F (Qk ) −			.		(31)
		12n			2n
			k =1

Уровни значимости и критические точки приведены в табл. 10.

Таблица 10

	Уровни	50	40	30	20	10
	значимости
	q=P(nω2>zq)100%
	Критические	0,1184	0,1467	0,1843	0,2412	0,3473
	точки zq
	Уровни
	значимости	5	3	2	1	0,1
	q=P(nω2>zq)100%
	Критические	0,4614	0,5489	0,6198	0,7435	1,1679
	точки zq

В том случае если полученное значение nω2 меньше критического значения для определенного уровня значимости (как правило, 5%), то выдвинутая гипотеза о законе распределения не противоречит экспериментальным данным. При значениях nω2 > zq выдвинутая гипотеза о законе распределения экспериментальных данных должна быть отвергнута.

ПРИМЕР. Рассмотрим примеры применения критерия согласия Мозеса для определения правильности выдвинутой гипотезы распределения вероятности для трех функций, аналитические выражения плотности распределения вероятности которых описываются выражениями (20) – (22). Необходимо обратить внимание на то, что

суммирование должно производиться по всем членам статистического ряда, которых в нашем примере 34 (см. табл. 5).

Расчеты производились следующим образом. Экспериментальная функция распределения вероятности определялась суммированием

	2k −1		k -
накопленных частостей и расчетом отношения		, где
	2n

суммарное количество отсчетов, равных или меньше данного значения отсчета. Теоретические значения функций распределения вероятности определялись интегрированием аналитических выражений плотностей распределения вероятности (20) – (22).

1. Для трапецеидального закона функция распределения вероятности определялась по следующей формуле:

Q	Q	Q	Q
F1 (Q)= ∫P1	(Q)dQ = ∫(aQ −b)dQ + ∫cdQ + ∫(−aQ +g)dQ,
−∞	−∞	Q2	Q3
при этом в диапазоне значений отсчетов от Q = - ∞ до Q=3,375
	Q	Q
F1' (Q)= ∫P1 (Q)dQ = ∫(aQ −b)dQ ,
	−∞	−∞
в диапазоне значений отсчетов от		Q=3,375 до Q=5,025
	Q	3,375	Q
F1'' (Q)= ∫P1 (Q)dQ =		∫(aQ −b)dQ + ∫cdQ ,
	−∞	−∞	3,375
в диапазоне значений отсчетов от		Q=5,025 до Q= +∞
Q	3,375	5,025	∞
F1''' (Q)= ∫P1 (Q)dQ = ∫(aQ −b)dQ + ∫cdQ +			∫(−aQ +g)dQ.
−∞	−∞	3,375	5,025

Результаты вычислений сведены в табл. 11. В колонке 5 записаны значения экспериментальной функции распределения вероятности, а в колонке 6 – теоретической, вычисленной по вышеприведенным формулам для различных значений экспериментального ряда, записанного в графе 1 табл. 5.

							Таблица 11
		Кол-
	Значени	во	Сумм.
№	я членов	член-	кол-во		2k −1		F1 (Qi )				2k −1		2
	вариац.	ов ва-	отсче-						F1	(Qi )−			×N
п/п											2n
	ряда	риац.	тов		2n
	(Qi)	ряда	k
		N
1	2	3	4	5			6			7
1	2,5	1	1	0,002083			0,002775			4,78403E-07
2	2,6	1	2	0,00625			0,009089			8,06106E-06
3	2,7	3	5	0,01875			0,019026			2,28197E-07
4	2,8	4	9	0,035417			0,032585			3,20779E-05
5	2,9	5	14	0,05625			0,049766			0,000210198
6	3	4	18	0,072917			0,07057			2,20274E-05
7	3,1	7	25	0,102083			0,094996			0,000351592
8	3,2	11	36	0,147917			0,123045			0,006804707
9	3,3	12	48	0,197917			0,154716			0,022395779
10	3,375	0	48	0,197917			0,180846			0
11	3,4	13	61	0,252083			0,189896			0,050274438
12	3,5	13	74	0,30625			0,226096			0,083520628
13	3,6	10	84	0,347917			0,262296			0,073308986
14	3,7	8	92	0,38125			0,298496			0,054785796
15	3,8	9	101	0,41875			0,334696			0,063585674
16	3,9	8	109	0,452083			0,370896			0,052731065
17	4	8	117	0,485417			0,407096			0,049073015
18	4,1	2	119	0,49375			0,443296			0,005091212
19	4,2	4	123	0,510417			0,479496			0,003824351
20	4,3	5	128	0,53125			0,515696			0,001209635
21	4,4	6	134	0,55625			0,551896			0,000113744
22	4,5	4	138	0,572917			0,588096			0,000921649
23	4,6	7	145	0,602083			0,624296			0,003453818
24	4,7	10	155	0,64375			0,660496			0,002804285
25	4,8	12	167	0,69375			0,696696			0,000104147
26	4,9	13	180	0,747917			0,732896			0,002933066
27	5	14	194	0,80625			0,769096			0,019325876
28	5,025	0	194	0,80625			0,778146			0
29	5,1	10	204	0,847917			0,804141			0,019163265
30	5,2	8	212	0,88125			0,835813			0,016516022

Окончание табл. 11

1	2	3	4	5	6	7
31	5,3	9	221	0,91875	0,863863	0,027113047
32	5,4	8	229	0,952083	0,888291	0,032555898
33	5,5	6	235	0,977083	0,909096	0,027733665
34	5,6	2	237	0,985417	0,926279	0,006994575
35	5,7	2	239	0,99375	0,939839	0,005812749
36	5,8	1	240	0,997917	0,949777	0,002317408

						n		2k −1			2
					∑(		F1 (Qi ) −				× N ) = 0,6362 .
								2n
					k =1
		1	k =n	2k −1		2
	Параметр nω2 =		+ ∑ F1 (Qk ) −			= 0,63652, что соответствует
		12n		2n
			k =1
	уровню значимости менее 0,02 (см. табл. 10).

Проверка соответствия экспериментальных данных двум другим гипотезам о законе распределения вероятности по критерию Мозеса

производится аналогично и приведена ниже.

2.

Для

удобства

вычислений

функции распределения

вероятности

F2(Q)

ее

целесообразно

выразить через

интеграл

вероятности

1

t

t 2

Ф(t)=

∫e−

dt , значения которого можно найти практически в любом

2

2π

0

справочнике по математической статистике:

Q

Q

F2 (Q)= ∫P2 (Q)dQ = ∫ (А1е−α1 (Q−Q1 )2 + А2е−α2 (Q−Q2 )2 )dQ =

−∞

−∞

π

t1

−t12

π

1

t21

−

t22

= A1 α1

21π ∫0 e

2

dt1 + A2 α2

2π

∫0 e

2 dt2 ,

где t1=

2α1 (Q −Q1 ) ,

t2=

2α2 (Q −Q2 ) , dt1

= dQ

2α1 ,

dt2 = dQ 2α2 ,

при этом

интеграл вероятности для значений -∞ < Q ≤ 3,492 в первом

слагаемом

и -∞ < Q

≤ 4,908-

во втором (отрицательные значения

параметров t1 и t2 ) определяется по формуле Ф(-t)=0,5

-

Фт(t), а для

значений 3,492≤ Q < ∞ в первом слагаемом и

4,908≤ Q < ∞ - во втором

(положительные значения параметров t1 и t2 ) -

по формуле Ф(t)=0,5 +

Фт(t), где Фт(t) – табличное значение интеграла вероятности.

Во время

расчетов

необходимо

учитывать, что

данная функция

распределения вероятности состоит из суммы двух интегралов, каждый из которых имеет максимальное значение ≈ 0,5, а половина каждого

интеграла имеет максимальное значение ≈ 0,25. По этой причине рассчитанные значения функции распределения вероятности необходимо делить на 2.

Например, при Q =3,3 (т.е интервал значений Q < Q1) t1 ≈ -0,66, t2 ≈ -5,34.

Фт(t1) = 0,2455 , Фт(t2) ≈ 0,5, тогда Ф(-t1) =0,5 - 0,2455 = 0,2545 , Ф(-t2) =

0,5 - 0,5 = 0. Таким образом, теоретическое значение вероятности для данного двухмодального закона распределения при Q = 3,3 будет равно

[Ф(-t1) + Ф(-t2)]/2 = 0,12725.

Если Q = 4,4, (т.е интервал значений Q > Q1), то t1 ≈ 3, t2 ≈ -1,69. Фт(t1) ≈

0,49865 , Фт(t2) ≈ 0,4545, тогда Ф(t1) =0,5 + 0,49865 = 0,99865, Ф(-t2) = 0,5

- 0,4545 = 0,0455, а [Ф(t1) + Ф(t2)]/2 = 0,522075.												Аналогично проводятся
расчеты F2(Qi)		для других значений экспериментального ряда (табл.																5,
						2k −1
графа 1). Расчет значений									не представляет					сложности.
						2n
Результаты всех расчетов сведены в табл. 12.
														Таблица 12
	Значения		Кол-во	Суммар.
№	членов		членов	кол-во
	вариац.		вариац.	отсчет					2k −1			F2(Qi )			−		2
п/п					ов									F2(Qi )−	2k 1			×N
	ряда		ряда						2n
															2n
	(Qi)		N		k
1	2		3		4		5					6			7
1	2,5		1		1		0,002083					0,00035		3,00444E-06
2	2,6		1		2		0,00625					0,000725		3,05256E-05
3	2,7		3		5		0,01875					0,002075		0,000834167
4	2,8		4		9		0,035417					0,005075		0,003682467
5	2,9		5		14		0,05625					0,01165		0,0099458
6	3		4		18		0,072917					0,024725		0,009289747
7	3,1		7		25		0,102083					0,0467		0,021471195
8	3,2		11		36		0,147917					0,08055		0,049920946
9	3,3		12		48		0,197917					0,12725		0,059798201
10	3,375		0		48		0,197917					0,17045			0
11	3,4		13		61		0,252083					0,18625		0,056342361
12	3,5		13		74		0,30625					0,251275		0,039289258
13	3,6		10		84		0,347917					0,31665		0,009776044
14	3,7		8		92		0,38125					0,374525		0,000361805
15	3,8		9		101		0,41875					0,420925		4,25756E-05
16	3,9		8		109		0,452083					0,45475		5,68889E-05

Окончание табл.12

1	2	3		4			5					6					7
17	4	8		117			0,485417			0,476675							0,000611334
18	4,1	2		119			0,49375			0,490475							2,14512E-05
19	4,2	4		123			0,510417			0,49975							0,000455111
20	4,3	5		128			0,53125			0,5089							0,002497613
21	4,4	6		134			0,55625			0,522075							0,007007584
22	4,5	4		138			0,572917			0,54345							0,003473138
23	4,6	7		145			0,602083			0,576875							0,00444822
24	4,7	10		155			0,64375			0,622525							0,004505006
25	4,8	12		167			0,69375			0,679675							0,002377267
26	4,9	13		180			0,747917			0,744725							0,000132428
27	5	14		194			0,80625			0,809998							0,000196613
28	5,025	0		194			0,80625			0,825875							0
29	5,1	10		204			0,847917			0,86945							0,004636844
30	5,2	8		212			0,88125			0,917							0,0102245
31	5,3	9		221			0,91875			0,9516							0,009712103
32	5,4	8		229			0,952083			0,974225							0,003922027
33	5,5	6		235			0,977083			0,9878							0,000689082
34	5,6	2		237			0,985417			0,99465							0,000170509
35	5,7	2		239			0,99375			0,9978							0,000032805
36	5,8	1		240			0,997917			0,999225							1,71174E-06
							n				2k −1					2
							∑(	F2 (Qi ) −							× N) = 0,3171.
							k =1					2n
			1			k =n			2k −1					2
Параметр		nω2 =			+	∑ F1 (Qk ) −								=			0,31745, что
										2n
			12n			k =1

соответствует уровню значимости около 0,1 (табл. 9). Можно сделать первый вывод о том, что по критерию согласия Мозеса распределение по квадратичной экспоненте ближе к экспериментальному распределению, чем трапецеидальное.

3. Теперь рассмотрим распределение вероятности, плотность которого описывается суммой двух экспонент. Функция распределения вероятности в этом случае определяется формулой

Q	Q
F21 (Q)= ∫P21	(Q)dQ = ∫ (А11е−α11		Q−Q1		+ А21е−α12		Q−Q2		)dQ
−∞	−∞

Интегрирование суммы двух экспонент с математической точки зрения не представляет сложностей. Особенностью является только

необходимость учета абсолютности разностей |Q - Q1| и |Q – Q2|. Результаты вычислений приведены в табл. 13.

							Таблица 13
	Значения	Кол-во	Суммар.
№	членов	членов	кол-во				1
			отсчет		2k −1						2
п/п	вариац.	вариац.					F2 (Qi )		F21(Qi )−	2k−1		×N
			ов
	ряда	ряда			2n					2n
	(Qi)	N	k
1	2	3	4	5			6	7
1	2,5	1	1	0,002083			0,018465	0,000268
2	2,6	1	2	0,00625			0,024067	0,000317
3	2,7	3	5	0,01875			0,03137	0,000478
4	2,8	4	9	0,035417			0,040889	0,00012
5	2,9	5	14	0,05625			0,053295		4,36E-05
6	3	4	18	0,072917			0,069467		4,76E-05
7	3,1	7	25	0,102083			0,090545	0,000932
8	3,2	11	36	0,147917			0,11802	0,009832
9	3,3	12	48	0,197917			0,15383	0,023323
10	3,375	0	48	0,197917			0,187654	0
11	3,4	13	61	0,252083			0,200507	0,034581
12	3,5	13	74	0,30625			0,261235	0,026342
13	3,6	10	84	0,347917			0,320031	0,007776
14	3,7	8	92	0,38125			0,366114	0,001833
15	3,8	9	101	0,41875			0,40274	0,002307
16	3,9	8	109	0,452083			0,432495	0,00307
17	4	8	117	0,485417			0,457482	0,006243
18	4,1	2	119	0,49375			0,479466	0,000408
19	4,2	4	123	0,510417			0,5	0,000434
20	4,3	5	128	0,53125			0,520534	0,000574
21	4,4	6	134	0,55625			0,542518	0,001131
22	4,5	4	138	0,572917			0,567505	0,000117
23	4,6	7	145	0,602083			0,59726	0,000163
24	4,7	10	155	0,64375			0,633886	0,000973
25	4,8	12	167	0,69375			0,679969	0,002279
26	4,9	13	180	0,747917			0,738765	0,001089
27	5	14	194	0,80625			0,799493	0,000639
28	5,025	0	194	0,80625			0,812346	0
29	5,1	10	204	0,847917			0,84617		3,05E-05
30	5,2	8	212	0,88125			0,88198		4,27E-06