Окончание табл. 15

1	2	3	4	5	6	7	8	9
32	5,6	2	237	0,9875	0,926279	0,99465	0,959111
33	5,7	2	239	0,99583	0,939839	0,9978	0,96863
34	5,8	1	240	1,00000	0,949777	0,999225	0,975933

В 9-ой колонке табл. 15 представлены три значения Dmax, полученные как модуль максимальной разности между значениями экспериментальной функции распределения вероятности (5-ая колонка) и соответствующей аппроксимирующей функции (используемые значения функций распределения вероятности выделены жирным шрифтом).

По формуле (34) определяем значение λ = D n . Для первой аппроксимирующей функции (трапецеидальный закон) λ1 = 1,2901, для второй (сумма двух квадратичных экспонент) - λ2 = 1,1259, а для третьей

(сумма двух экспонент) - λ12 = 0,8313.

По табл. 14 находим, что P(λ1) ≈ 0,068, P(λ2) ≈ 0,178, P( λ12 ) ≈ 0,5,

таким образом все три гипотезы аппроксимирующих функций можно признать совместимыми с экспериментальными данными по критерию согласия А.Н. Колмогорова.

В данном примере наглядно подтверждается тезис о том, что критерий А.Н. Колмогорова дает завышенные результаты. Но и из полученных данных можно сделать вывод о том, что наиболее совместимым с экспериментальными данными является третья

аппроксимирующая функция распределения вероятности F21 (x) .

2.6.4. Критерий согласия К. Пирсона (критерий χ2)

Критерий согласия К. Пирсона (хи – квадрат) основан на выборе определенной меры расхождения между теоретическим и экспериментальным распределением значений [1].

Допустим,что вся область изменения величины разбита на l интервалов или групп (∆1, ∆2,…∆i……∆l), которые оформлены в виде ряда. При этом считаем, что pi есть вероятность того, что величина принимает значение, принадлежащее i-му множеству ∆i (теоретическая вероятность), а

mi – число значений величины i из общего числа n , попавших в ∆i (получено в результате эксперимента). Тогда должно выполняться условие

p1 + p2 +………..+ pi + ………..+ pl = 1 m1 + m2 + ………+ mi + ……….+ml = n.

Если проверяемая гипотеза верна, то mi представляет частоту появления события, имеющего в каждом из n произведенных испытаний вероятность Рi. Следовательно, можно рассматривать mi как случайную величину, подчиняющуюся биномиальному закону распределения с центром в точке

npi и средним квадратическим отклонением σi = npi (1 − pi ) . Когда n

велико, можно считать, что частота распределена асимптотически нормально с теми же параметрами. При правильности выбранной гипотезы можно ожидать, что будут асимптотически нормально распределены также величины

ξi	= mi − npi	i =1,2,.......l ,
	npi

а в качестве меры расхождения данных выборки m1,m2, … mi …ml с теоретическими данными np1,np2,…..,npi,…..,npl рассматривается величина

	l	l	− npi )	2
	χ2 = ∑ξi2 = ∑(mi			.		(35)
	i=1	i=1	npi
Если проверяемая простая гипотеза верна,						то критерийχ2 имеет
распределение,	стремящееся	при	n →		∞	к распределениюχ2 .
Распределение	χ2 зависит от числа степеней свободы, которое в данном
случае определяется как разность			между		количеством интервалов l и

числом независимых условий r (наложенных связей).

При проверке гипотезы о законе распределения величины выбирается в уровень значимости q % (обычно от 5 до 10). Пусть χq2 обозначает q% предел для закона χ2 с (l - r) степенями свободы, определяемый по таблицам (см. приложение Б). Если гипотеза верна, то при достаточно большом n приближенно будем иметь

	P ( χ2 > χq2 ) =		q	.	(36)
		100

Определив значение χ2 по данным выборки, получают одно из двух: илиχ2 >χq2 , т.е. критерий попадает в критическую область и тогда

расхождение экспериментальных данных с теоретическим законом распределения существенно, или имеет место неравенство χ2 ≤χq2 , т.е.

расхождение несущественно, а поэтому гипотеза о теоретическом законе распределения вероятности может быть принята. Это правило указывает

на то, что только в q% всех случаев проверки отбрасывается верная гипотеза о теоретическом законе распределения.

Для обоснованного применения критерия согласия χ 2 необходимо

иметь в виду, что при выводе формулы (35) предполагается, что биномиальное распределение частостей в каждом интервале или группе может быть сведено к нормальному. Но соответствующий предельный переход осуществляется достаточно быстро, только если ни одна из вероятностей pi и q не будут малыми. Отсюда следует, что применение критерия согласия будет обоснованным, если ни одна из частостей в любом интервале не будет мала. Поэтому рекомендуется при применении

критерия согласия χ 2 частости крайних интервалов, которые обычно представляют малые значения, объединять между собой, чтобы, как условились, частость объединенного интервала была не меньше 5.

Таблица значений χ 2 , соответствующих определенным вероятностям P(χ2 ) и различным числам степеней свободы (l - r) для критерия К. Пирсона, дана в приложении Б.

ПРИМЕР. Применим критерий К. Пирсона для проверки гипотез о законах распределения в нашем примере для всех трех аппроксимирующих функций. Результаты расчетов будут представлены в виде таблиц. Необходимо учесть, что при применении критерия согласия К. Пирсона под теоретической вероятностью pi понимается вероятность попадания отсчета в заданный интервал, рассчитанная с помощью аппроксимирующей функции. Т.е. при строгом подходе необходимо интегрировать аппроксимирующую функцию плотности распределения вероятности в каждом интервале, на которые разделен весь массив при построении гистограммы:

Qпр	Qлев		Qпр
Р(Qлев≤ Q ≤ Qпр ) = ∫P(Q)dQ − ∫		P(Q)dQ =	∫P(Q)dQ
−∞	−∞		Qлев

где Qлев и Qпр – соответственно левая и правая границы интервала. К этому следует добавить, если аппроксимирующая функция плотности распределения вероятности имеет точку (несколько точек), в которой производной не существует, то необходимо учитывать особый характер этой точки (этих точек) и расчеты вероятности попадания в данный интервал целесообразно проводить в несколько этапов: рассчитывать вероятности попадания отсчетов в подынтервалы до особой точки и после нее. Сумма вероятностей в подынтервалах будет равна вероятности попадания отсчетов в интервал с особой точкой.

Прежде чем переходить к расчетам, определим число степеней свободы. В гистограмме 1 число интервалов 5, а связей, накладывающих ограничения, две (средние значения полигона распределения и аппроксимирующей функции должны быть равны; суммарная вероятность должна быть равна единице); в гистограмме 3 количество интервалов 15 и накладывалось три ограничения (суммарная вероятность равна единице; средние значения полигона распределения и аппроксимирующей функции должны быть равны; экстремальные значения полигона распределения и аппроксимирующей функции должны быть при одинаковых значениях отсчетов). Таким образом, в первом случае число степеней свободы должно быть r = 3, а во втором - r = 12.

1. Распределение, аппроксимирующая функция которого описывается трапецеидальным законом

Если учесть, что аппроксимирующая функция пересекает ось абсцисс при Qн ≈ 2,3757 и Qк ≈ 6,02435 (что определяется довольно просто), то теоретическую вероятность попадания в каждый из пяти интервалов рассчитываем по формулам

2,9625					3,375			3,7875				4,6125
P1 =		∫(aQ −b)dQ ;			P2 = ∫(aQ −b)dQ +			∫cdQ ;			P3	= ∫cdQ ;
2,3757					2,9625			3,375				3,7875
		5,025		5,4375				6,02435
			P4 = ∫cdQ + ∫(−aQ +b)dQ ; P5 =					∫(−aQ +b)dQ
		4,6125		5,025				5,4375
Результаты вычислений сведены в табл. 16.
											Таблица 16
			Значения			Теорети-	Кол-во
	№		границ			ческая	отсчетов						(mi −npi )	2
			интервалов				в интер-
	п/п					вероят-	вале			npi			np
			Qлев	Qпр		ность	mi						i
						pi
	1		2	3		4	5			6		7
	1		-∞	2,9625		0,062368	14			14,96832		0,062639
	2		2,9625	3,7875		0,267827	78			64,2785		2,929112
	3		3,7875	4,6125		0,29865	53			71,676		4,866245
	4		4,6125	5,4375		0,267833	84			64,2785		6,049822
	5		5,4375	∞		0,062376	11			14,96832		1,052957
				+
			χ 2 = 14,96077 , число степеней свободы 5 – 2 = 3.

Из таблицы для распределения χ2 (приложение Б)	находим,	что для
уровня значимости q = 5% при числе степеней свободы 3	χq2= 7,8,	χ 2 >χq2,

т.е. гипотеза о законе распределения вероятности не подтверждается по критерию согласия Пирсона.

2. Распределение, состоящее из суммы двух квадратичных экспонент Здесь расчет вероятностей попадания отсчетов в интервал производится по разности функций распределения вероятности, которые определяются аналогично расчетам, приведенным в разделе 2.5.1

(применение критерия согласия Мозеса):

Qiпп

Р2i = ∫ (А1е−α1 (Q−Q1 )2 + А2 е−α2 (Q−Q2 )2 )dQ =

Qiлле

t

2

t2iпп

t2

π

1

1iпп

−

t1

1

∫0

−

2

∫0

= A1 α1

(

2π

e

2 dt1 +

2π

e

2 dt2 )-

- A1 α1

(

t

∫0

e

t2

21π

t

∫0

e

t2

21π

2 dt1 +

2 dt2 ),

π

1iлле

−

1

2iлле

−

2

где t1i= 2α1 (Q −3,492)

,

t2i=

2α2 (Q − 4,908)

, при этом интеграл

вероятности определяется в соответствии с рекомендациями, перечисленными в п. 2.5.1. В соответствии с этими рекомендациями (количество отсчетов в интервале должно быть не менее пяти) число интервалов уменьшено до тринадцати за счет объединения двух первых и двух последних интервалов (в первом интервале было два отсчета, а в последнем – один). Соответственно уменьшилось до 10 и число степеней свободы. Результаты расчетов приведены в табл. 17.

Таблица 17

	Значения		Теорети	Кол-во
	границ		-	отсчет			(m −np)2
№	интервалов		ческая	ов
				в интер-	npi		i	i
п/п	Qлев	Qпр	вероят-					np
			ность	вале				i
			pi	mi
1	2	3	4	5	6			7
1	- ∞	2,902	0,0125	14	3	40,33333
2	2,902	3,138	0,0475	11	11,4	0,014035
3	3,138	3,374	0,11225	23	26,94	0,576229
4	3,374	3,61	0,155505	36	37,32	0,046772
5	3,61	3,846	0,112345	17	26,96	3,681271
6	3,846	4,082	0,04915	16	11,8	1,498272

Окончание табл. 17

1	2	3	4	5	6	7
7	4,082	4,318	0,0215	11	5,16	6,609612
8	4,318	4,554	0,04915	10	11,8	0,27345
9	4,554	4,79	0,112345	17	26,96	3,681271
10	4,79	5,026	0,155505	39	37,32	0,075517
11	5,026	5,262	0,11225	18	26,94	2,966726
12	5,262	5,498	0,0475	17	11,4	2,750877
13	5,498	+ ∞	0,0125	11	3	21,33333

Суммируя последнюю графу табл. 17,	получаем значение	χ 2 =
83,8407, Из таблицы для распределения	χ2 (приложение Б) находим, что

для уровня значимости q = 5% при числе степеней свободы 10 (13-3) χq2 = 18,3, χ 2 > χq2, т.е. гипотеза о законе распределения вероятности не подтверждается по критерию согласия Пирсона.

3. Распределение, состоящее из суммы двух экспонент Расчет вероятностей попадания отсчетов в интервал производится

по разности функций распределения вероятности, которые определяются аналогично расчетам, приведенным в разделе 2.5.1 ( применение критерия согласия Мозеса):

хпр

P21i = ∫ (А11е−α11 х−х1 + А21е−α12 х−х2 )dx

xлев

Вдиапазоне от -∞ до Q =3,492 значение Р21i определяется по формуле

			A1				e		−α1		(Q −Q)		+			A1			e	−α1	(Q −Q)				Qпр
Р21i =					1					1		1					2			2	2				,
		α			1									α			1
					1												2								Qлев
в диапазоне от Q =3,492 до Q = 4,908 - по формуле
1				A1						−α1		(Q−Q )				A1				−α1 (Q −Q )			Qпр
Р2i	=					1		e			1	1	+				2		e	2	2		,
				α		1									α		1
						1											2						Qлев

в диапазоне от х = 4,908 до +∞ - по формуле

		1				1			Qпр
Р21i =	A1		e−α11	(Q−Q1 ) +	A2		e−α12 (Q−Q2 )		.
	1				1
	α	1			α	2			Qлев

В расчетах учитываем, что при Q1 = 3,492 и Q2 = 4,908 интеграл меняет знак на противоположный, поэтому интегрирование в интервалах, в которые попадают эти значения, целесообразно осуществлять в три этапа:

а) определяется вероятность попадания отсчета в подынтервал от

Qлев доQ1 = 3,492 (или Q2 = 4,908 ),

б) определяется вероятность попадания отсчета в подынтервал от

Q1 = 3,492 до Qпр, (или от Q2 = 4,908 до хпр),

в) определяется вероятность попадания отсчета в интервал, как

сумма вероятностей попадания отсчета в подынтервалы.
Результаты расчетов приведены в табл. 18.						Таблица		18
		Значения		Теорети	Кол-во
		границ		-	отсчет			(mi −npi )2
	№	интервалов		ческая	ов
	п/п			вероят-	в интер-	npi
								npi
		Qлев	Qпр	ность	вале
				pi	mi
	1	2	3	4	5	6		7
	1	- ∞	2,902	0,053578	14	12,86		0,101295
	2	2,902	3,138	0,04656	11	11,174		0,002718
	3	3,138	3,374	0,087019	23	20,885		0,214255
	4	3,374	3,61	0,137988	36	33,12		0,250946
	5	3,61	3,846	0,091993	17	22,08		1,168058
	6	3,846	4,082	0,058516	16	14,044		0,272506
	7	4,082	4,318	0,048681	11	11,68		0,039978
	8	4,318	4,554	0,058516	10	14,044		1,164344
	9	4,554	4,79	0,091993	17	22,08		1,168058
	10	4,79	5,026	0,137988	39	33,12		1,045003
	11	5,026	5,262	0,087019	18	20,885		0,398441
	12	5,262	5,498	0,04656	17	11,174		3,037237
	13	5,498	+ ∞	0,053579	11	12,86		0,268721

Суммируя последнюю графу табл.	18, получаем значение χ2	=	9,13156.
Из таблицы для распределения	χ 2 (приложение Б) находим, что для
уровня значимости q = 5% при числе степеней свободы 10,		χq2	= 18,3,