Окончание табл. 13
1 |
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
7 |
||
31 |
5,3 |
|
9 |
|
|
221 |
|
0,91875 |
|
0,909455 |
|
|
0,000778 |
||||
32 |
5,4 |
|
8 |
|
|
229 |
|
0,952083 |
|
0,930533 |
|
|
0,003715 |
||||
33 |
5,5 |
|
6 |
|
|
235 |
|
0,977083 |
|
0,946705 |
|
|
0,005537 |
||||
34 |
5,6 |
|
2 |
|
|
237 |
|
0,985417 |
|
0,959111 |
|
|
0,001384 |
||||
35 |
5,7 |
|
2 |
|
|
239 |
|
0,99375 |
|
0,96863 |
|
|
0,001262 |
||||
36 |
5,8 |
|
1 |
|
|
240 |
|
0,997917 |
|
0,975933 |
|
|
0,000483 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2k −1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑( |
F2 |
(Qi ) − |
|
|
×N) = 0,13866 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
k =n |
|
2k −1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Параметр nω2 = |
1 |
+ ∑ F1 (Qk ) − |
= 0,139, что соответствует |
||||||||||||||
12n |
|
||||||||||||||||
|
|
|
k =1 |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уровню значимости около 0,4 (табл. 9). Таким образом, применение критерия согласия Мозеса показало, что наибольшую сходимость с экспериментальными данными дает плотность распределения вероятности, определяемая по формуле (22), а гипотезу о трапецеидальном распределении плотности вероятности (формула 20) целесообразно отвергнуть.
2.6.3.Критерий согласия А.Н. Колмогорова
Вкачестве меры расхождения между теоретическим и экспериментальным распределениями А.Н. Колмогоров рассматривает
максимальное значение модуля разности между экспериментальной функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения вероятности [3]
Dmax = max |
F * (x) − F (x) |
(32) |
при этом, какова бы не была функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений n вероятность неравенства
D n ≥ λ |
(33) |
стремится к пределу
∞
Р (λ) = 1 - ∑(−1)k e−2k 2λ2 .
k =−∞
∞ |
|
Необходимо отметить, что выражение ∑(−1)k e−2k 2λ2 |
определяет |
k =−∞ |
|
вероятность того, что максимальное значение Dmax, умноженное на 
n , не будет превосходить заданного числа λ.
Значения P (λ), определяющие вероятность того, что Dmax, умноженное на 
n , будет превосходить заданное число λ, подсчитаны и приведены в табл. 14.
|
|
|
|
|
Таблица 14 |
|
λ |
P (λ) |
λ |
P (λ) |
λ |
|
P (λ) |
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
1,000 |
0,7 |
0,711 |
1,4 |
|
0,040 |
0,1 |
1,000 |
0,8 |
0,544 |
1,5 |
|
0,022 |
0,2 |
1,000 |
0,9 |
0,393 |
1,6 |
|
0,012 |
0,3 |
1,000 |
1,0 |
0,270 |
1,7 |
|
0,006 |
0,4 |
0,997 |
1,1 |
0,178 |
1,8 |
|
0,003 |
0,5 |
0,964 |
1,2 |
0,112 |
1,9 |
|
0,002 |
0,6 |
0,864 |
1,3 |
0,068 |
2,0 |
|
0,001 |
Схема применения критерия А.Н. Колмогорова следующая [3]: строятся или рассчитываются экспериментальная F*(x) и предполагаемая теоретическая F(x) функции распределения и определяется максимум модуля D разности между ними. Целесообразно представить все расчеты в табличном виде. Далее определяется величина
λ = D n |
(34) |
и по табл. 14 находится вероятность P (λ). Значение P (λ) является вероятностью того, что (если величина X действительно распределена по закону F(x)) за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между F*(x) и F(x), будет не меньше, чем фактически наблюденное. При выводах обычно пользуются 5%-ным уровнем значимости, при котором величина вероятности равна P (λ) = 0,05. Если вероятность P(λ) весьма мала, т.е. не более 0,05, то это показывает, что осуществилось маловероятное событие, следовательно, расхождение между наблюденным рядом и гипотетическим распределением надо признать существенным, так как расхождение практически нельзя объяснить чисто случайными отклонениями экспериментальной совокупности от теоретической. Гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную. При сравнительно
больших P (λ) гипотезу можно с оговоркой считать совместимой с экспериментальными данными.
Критерий А.Н. Колмогорова своей простотой выгодно отличается от других, поэтому его часто применяют на практике. Однако этот критерий применяется только тогда, когда теоретическое распределение известно полностью, т.е. известен не только вид функции F(x), но и все входящие в нее параметры. Обычно входящие в нее параметры определяются из экспериментальных данных, а не из каких-либо теоретических соображений, поэтому критерий согласия А.Н. Колмогорова дает заведомо завышенные значения вероятности P (λ) . Это может привести к тому, что принимается как правдоподобная гипотеза, в действительности плохо согласующаяся с экспериментальными данными. По этой причине критерий А.Н. Колмогорова рекомендуется дополнять проверкой другими критериями.
ПРИМЕР. В качестве примера рассмотрим применение критерия А.Н. Колмогорова для проверки выдвинутых ранее в п. 2.4 трех гипотез о теоретических законах распределения плотности вероятности. Интегральные кривые (функции распределения вероятности) для всех гипотез описываются следующими выражениями:
|
Q |
Q |
|
|
|
Q |
Q |
|
|
|
|
|
||
1) |
F1 (Q)= ∫P1 |
(Q)dQ = ∫2 |
(aQ −b)dQ + ∫3 cdQ + ∫4 |
(−aQ + g)dQ, |
||||||||||
|
−∞ |
Q1 |
|
|
|
Q2 |
Q3 |
|
|
|
|
|
||
|
Q |
Q |
|
(Q−Q1 )2 + А2е−α2 (Q−Q2 )2 )dQ , |
||||||||||
2) |
F2 (Q)= ∫P2 |
(Q)dQ = ∫ (А1е−α1 |
||||||||||||
|
−∞ |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) F21 (Q)= ∫P21 (Q)dQ = ∫ (А11е−α11 |
|
Q−Q1 |
|
+ А21е−α12 |
|
Q−Q2 |
|
)dQ . |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
−∞ |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения этих функций определены при анализе соответствия теоретических законов распределения вероятности экспериментальным данным по критерию согласия Мозеса, поэтому в этом пункте подробного расчета значений теоретических функций распределения вероятности делать не будем. Значения экспериментальной функции распределения вероятности определяются просто: F*(Q) = k/n. Результаты представлены в виде табл. 15.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 15 |
|
|
Значе- |
Кол. |
Сум. |
Экспер. |
Аппроксимирующие |
|
||
№ |
ния |
кол-во |
функции распределения |
|
||||
чле- |
член. |
от- |
ф-ция |
вероятности |
Dmax |
|||
п/ |
нов |
вар. |
сче- |
распр. |
|
|
|
|
п |
вар. |
ряда |
тов |
вер-ти |
F1(Q) |
F (Q) |
1 |
|
|
ряда |
N |
* |
F2 (Q) |
|
|||
|
k |
F (Q) |
|
2 |
|
|
||
|
(Qi) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
2,5 |
1 |
1 |
0,00417 |
0,002775 |
0,00035 |
0,018465 |
|
2 |
2,6 |
1 |
2 |
0,00833 |
0,009089 |
0,000725 |
0,024067 |
|
3 |
2,7 |
3 |
5 |
0,02083 |
0,019026 |
0,002075 |
0,03137 |
|
4 |
2,8 |
4 |
9 |
0,03750 |
0,032585 |
0,005075 |
0,040889 |
|
5 |
2,9 |
5 |
14 |
0,05833 |
0,049766 |
0,01165 |
0,053295 |
|
6 |
3 |
4 |
18 |
0,07500 |
0,07057 |
0,024725 |
0,069467 |
|
7 |
3,1 |
7 |
25 |
0,10467 |
0,094996 |
0,0467 |
0,090545 |
|
8 |
3,2 |
11 |
36 |
0,15000 |
0,123045 |
0,08055 |
0,11802 |
|
9 |
3,3 |
12 |
48 |
0,20000 |
0,154716 |
0,127325 |
0,15383 |
0,07267 |
10 |
3,4 |
13 |
61 |
0,25417 |
0,252083 |
0,18625 |
0,200507 |
0,05366 |
11 |
3,5 |
13 |
74 |
0,30833 |
0,30625 |
0,251275 |
0,261235 |
|
12 |
3,6 |
10 |
84 |
0,35000 |
0,347917 |
0,31665 |
0,320031 |
|
13 |
3,7 |
8 |
92 |
0,38333 |
0,38125 |
0,374525 |
0,366114 |
|
14 |
3,8 |
9 |
101 |
0,42083 |
0,41875 |
0,420925 |
0,40274 |
|
15 |
3,9 |
8 |
109 |
0,45417 |
0,370896 |
0,45475 |
0,432495 |
0,08327 |
16 |
4 |
8 |
117 |
0,48750 |
0,407096 |
0,476675 |
0,457482 |
|
17 |
4,1 |
2 |
119 |
0,49583 |
0,443296 |
0,490475 |
0,479466 |
|
18 |
4,2 |
4 |
123 |
0,51250 |
0,479496 |
0,49975 |
0,5 |
|
19 |
4,3 |
5 |
128 |
0,53333 |
0,515696 |
0,5089 |
0,520534 |
|
20 |
4,4 |
6 |
134 |
0,55833 |
0,551896 |
0,522075 |
0,542518 |
|
21 |
4,5 |
4 |
138 |
0,57500 |
0,588096 |
0,54345 |
0,567505 |
|
22 |
4,6 |
7 |
145 |
0,60417 |
0,624296 |
0,576875 |
0,59726 |
|
23 |
4,7 |
10 |
155 |
0,64583 |
0,660496 |
0,622525 |
0,633886 |
|
24 |
4,8 |
12 |
167 |
0,69583 |
0,696696 |
0,679675 |
0,679969 |
|
25 |
4,9 |
13 |
180 |
0,75000 |
0,732896 |
0,744725 |
0,738765 |
|
26 |
5 |
14 |
194 |
0,80833 |
0,769096 |
0,809998 |
0,799493 |
|
27 |
5,1 |
10 |
204 |
0,85000 |
0,804141 |
0,86945 |
0,84617 |
|
28 |
5,2 |
8 |
212 |
0,88333 |
0,835813 |
0,917 |
0,88198 |
|
29 |
5,3 |
9 |
221 |
0,92083 |
0,863863 |
0,9516 |
0,909455 |
|
30 |
5,4 |
8 |
229 |
0,95417 |
0,888291 |
0,974225 |
0,930533 |
|
31 |
5,5 |
6 |
235 |
0,97917 |
0,909096 |
0,9878 |
0,946705 |
|