34	1. Основные положения

1.4.Эквивалентные преобразования в электрических цепях

Эквивалентные преобразования в электрических цепях основаны на законах Кирхгофа и позволяют проводить теоретически обоснованные замены элементов эквивалентными, не влияющие на режим работы других участков цепи.

Обычно эквивалентные преобразования используются для уменьшения количества элементов в цепи с целью упрощения расчётов.

1.4.1. Последовательное соединение

Составим выражение по II закону Кирхгофа для цепи, приведённой на рис. 1.23:

iR1 + iR2 + ... + iRn − u12 = e1 − e2 + ... + em

n	m
X	X
i Rk − u12 =	ek
k=1	k=1

где n –– количество пассивных элементов; m –– количество активных элементов;

u12 –– падение напряжения между точками 1 и 2. В итоге запишем:

iRэ − u12 = eэ,

где Rэ = Pnk=1Rk –– эквивалентное сопротивление цепи;

i

e	e	e
		Rн = Rвн

u

Рис. 1.23. Последовательное соединение

1.4. Эквивалентные преобразования в электрических цепях				35
eэ =	km=1ek –– эквивалентная ЭДС цепи.
	P	эквивалентное сопротивление	цепи при по-
Отсюда видно, что

следовательном соединении элементов будет равно сумме сопротивлений цепи, а эквивалентная ЭДС цепи равна алгебраической (т. е. с учётом знака) сумме всех ЭДС (знак ЭДС выбирается относительно направления тока).

1.4.2. Параллельное соединение

Составим выражение по первому закону Кирхгофа для цепи, приведённой на рис. 1.24 (за условно–положительное направление тока принято направление от узла):

i1 − J1 + i2 + J2 + . . . − in + Jm = i

		n	m
		X	X
		ik +	Jk = i,
		k=1	k=1
где	n –– количество пассивных ветвей;
	m—количество активных ветвей;
	i –– общий ток в цепи;
В	P	kn=1ik –– сумма токов в пассивных ветвях;
	Pkm=1Jk –– сума токов в активных ветвях.

итоге запишем:
i
i	i	Rн = Rвнi
u
		Rн = Rвн

Рис. 1.24. Параллельное соединение

36	1. Основные положения

iэ + Jэ = i,

где iэ = PPnk=1ik –– суммарный ток в пассивных ветвях; Jэ = mk=1Jk –– суммарный ток в активных ветвях.

По закону Ома получим:

u	=	Pku	Gэ = k=1Gk,
i		n i	n
э		=1 k	X

где Gэ –– эквивалентная проводимость цепи.

Отсюда видно, что эквивалентная проводимость цепи при параллельном соединении элементов будет равно сумме проводимостей

ветвей, а ток от эквивалентного источника тока, будет равен алгебраической (т. е. с учётом знака) сумме токов во всех ветвях, содержащих источники тока (знак тока выбирается в соответствии с первым законом Кирхгофа).

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений R1 и R2 используется следующие выражение:

Rэ = R1R2 . R1 + R2

Напряжение u на выводах источник ЭДС будет равно:

u = e − uвн = e − Rвнi

Напряжение на выводах источника тока будет равно:

u =	J	1		i
		−
	Gвн		Gвн

1.4.3. Взаимные преобразования источников ЭДС и тока

Исходя из условия равенства тока и напряжения на выводах эквивалентного источника и полученных выше выражений для напряжения, выражения для эквивалентного преобразования источников ЭДС и тока будут иметь следующий вид:

• для преобразования источника тока в источник напряжения–

1.4. Эквивалентные преобразования в электрических цепях

37

38			1. Основные положения

Рис. 1.26. Пример цепи, требующей преобразования треугольника сопротивлений (выделен толстыми линиями) в эквивалентную звезду (выделена тонкими пунктирными линиями)

В качестве примера рассмотрим мостовую схему, приведённую на рис. 1.26. Элементы исходной схемы Rab, Rbc и Rca образуют треугольник сопротивлений, который можно преобразовать в эквивалентную звезду, состоящую из элементов Ra, Rb и Rc. В результате этого преобразования мы получаем достаточно простую схему, состоящую из параллельно включённых элементов RaR1 и RbR2 к которым последовательно включён элемент Rc

По условию эквивалентности, токи и напряжения во внешней, по отношению к преобразуемому участку, цепи в результате преобразования должны остаться неизменными, следовательно токи ia, ib, ic и напряжения uab, ubc, uca при при взаимном преобразовании звезды и треугольника сопротивлений сохранят свои значения (рис. 1.27).

Составим выражение по второму закону Кирхгофа для соединения элементов треугольником:

Rabiab + Rbcibc + Rcaica = 0

Составим выражение по первому закону Кирхгофа для узлов a и b для соединения треугольник:

ica = iab − ia;

1.4. Эквивалентные преобразования в электрических цепях

39

Рис8 .527.