56 |
2. Электрические цепи постоянного тока |
2.3.2.2. Метод контурных токов
Метод контурных токов основан на втором законе Кирхгофа и позволяет упростить расчёт токов в цепи путём уменьшения количества уравнений в СЛУ.
Метод рекомендуется применять, когда число независимых контуров меньше числа узлов в цепи минус один.
Идея метода
Метод контурных токов основан на втором законе Кирхгофа и двух положениях:
•в каждом контуре электрической цепи протекают независимые,
расчётные токи, называемые контурными;
•токи в ветвях цепи равны алгебраической сумме контурных токов, замыкающихся через эти ветви.
Порядок расчёта
1.Преобразовать источники тока в источники напряжения.
2.Выделить в цепи независимые контуры (т. е. отличающиеся друг от друга хотя бы одной ветвью), так, чтобы они охватывали все ветви, и задать условно–положительные направления контурных токов. Выбранные контуры не должны пересекаться ветвями.
3.Составить уравнения по второму закону Кирхгофа, где токи в ветвях представляются в виде алгебраической суммы контурных токов, замыкающихся через рассматриваемую ветвь.
4.Полученные линейные уравнения объединить в СЛУ, которая решается относительно контурных токов любым известным методом.
5.Определить искомые значения токов в ветвях как алгебраическую сумму контурных токов, замыкающихся через данную ветвь. Направление тока в ветви совпадает с направлением большего´ контурного тока.
6.Результаты расчёта проверить составив баланс мощностей.
Примечание: Уравнения для СЛУ (пункт 3) можно составлять по обобщённой формуле, которая приведена на стр. 59.
2.3. Методы расчета электрических цепей постоянного тока |
57 |
Пример расчёта
Найдём токи в электрической цепи, приведённой на рис. 2.6. Сопротивления резисторов, ЭДС источников напряжения и ток в источниках тока известны.
Преобразуем источники тока в источники напряжения. Для этого воспользуемся выражениями, полученными в § 1.4.3 на стр. 36:
Rвн1 = |
1 |
, E1 = |
J1 |
. |
|
|
|||
|
Gвн1 |
Gвн1 |
||
Найдём эквивалентные сопротивления ветвей с последовательным соединением элементов:
RΣ4 = R4 + Rвн4, RΣ6 = R6 + Rвн6
.
Выберем в цепи независимые контуры и зададим для них услов- но–положительные направления контурных токов (рис. 2.7).
Составим уравнения по второму закону Кирхгофа:
Rвн1I11 + R3(I11 − I33) + R2(I11 − I22) = |
E1 |
(контур «11») |
||||
R2(I22 − I11) + R5(I22 − I33) + RΣ4I22 = −E4 |
(контур «22») |
|||||
R3(I33 − I11) + RΣ6I33 + R5(I33 − I22) = |
E6 |
(контур «33») |
||||
Проведя преобразования в полученных уравнениях и объединив |
||||||
их в СЛУ получим: |
|
+−R22I22 |
−R5I33 |
|
|
|
|
R2I11 |
= E4 |
||||
|
R11I11 |
|
R2I22 |
R3I33 |
= |
E1 |
−R1I11 |
− |
R5I22 |
+−R33I33 = −E6 |
|||
|
− |
|
|
|
|
|
где R11 = Rвн1 + R3 + R2, R22 = R2 + R5 + RΣ4, R33 = R4 + R5 + RΣ6.
Данная система решатся любым известным методом решения СЛУ относительно контурных токов I11, I22 и I33.
Используя полученные значения контурных токов, определим токи в ветвях:
58 |
2. Электрические цепи постоянного тока |
РисМетод. .29.контурных токов
2.3. Методы расчета электрических цепей постоянного тока |
59 |
||
I1 = I11, |
I3 = I11 − I33, |
I5 = I22 − I33, |
|
I2 = I11 − I22, |
I4 = I22, |
I6 = I33. |
|
Интересно отметить, что уравнения в СЛУ имеют общий вид:
|
|
n |
n |
m |
|
|
|
X |
X |
Xl |
|
|
|
Iрк |
Rk − RkIk = |
El, |
|
|
|
k=1 |
k=1 |
=1 |
|
где Iрк –– контурный ток контура, для которого строится уравнение |
|||||
|
по второму закону Кирхгофа (или расчётный контур); |
||||
kn=1 Rk –– сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в расчёт- |
|||||
Pn |
ный контур; |
|
произведений сопротивлений |
||
=1 RkIk –– алгебраическая сумма |
|||||
Pk |
ветвей, входящих в расчётный контур, на контурные токи (от- |
||||
m |
личные от расчётного) протекающие через эти ветви; |
||||
E –– алгебраическая сумма ЭДС от источников ЭДС, входя- |
|||||
Pl=1щихl |
в расчётный контур (при их отсутствии –– ноль). |
||||
Знак «−» в полученном выражении будет присутствовать, если направления контурных токов выбрать одинаковым (например по часовой стрелки.).
2.3.2.3. Метод узловых потенциалов и метод двух узлов
Метод узловых потенциалов основан на первом законе Кирхгофа и позволяет упростить расчёт токов в цепи путём уменьшения количества уравнений в СЛУ. В качестве неизвестных выступают потенциалы узлов цепи.
Метод рекомендуется применять, когда число узлов в цепи минус один меньше числа независимых контуров.
Метод узловых потенциалов
Идея метода
Идея метода состоит в определении электрических потенциалов всех узлов схемы на основе уравнений по первому закону Кирхгофа и последующего расчёта токов в ветвях с помощью закона Ома, исходя из известного сопротивления ветвей и разности рассчитанных потенциалов узлов.
60 |
2. Электрические цепи постоянного тока |
Порядок расчёта
1.Преобразовать все источники ЭДС в источники тока, а сопротивления в проводимости.
2.Выбрать узел, относительно которого будем определять потенциалы узлов и примем его потенциал равным нулю (это не влияет на результаты расчёта, т. к. в расчётах участвуют не величины потенциалов, а их разности).
3.Для остальных узлов схемы составить уравнения по первому закону Кирхгофа, выразив токи через потенциалы узлов по закону Ома.
4.Решить полученную СЛУ относительно потенциалов.
5.Найти напряжения между узлами, как разность ранее рассчитанных потенциалов, а затем рассчитать по закону Ома (см. § 1.3.1 на стр. 29) токи в ветвях.
6.Результаты расчёта проверить составив баланс мощностей.
Примечание: Уравнения для СЛУ (пункт 3) можно составлять по обобщённой формуле, которая приведена на стр. 63.
Пример расчёта
Найдём токи в электрической цепи, приведённой на рис. 2.8. Сопротивления резисторов, ЭДС источников напряжения и ток в источниках тока известны.
Сначала, с помощью выражений полученных в § 1.4.3 на стр. 36, преобразуем все источники ЭДС в источники тока (рис. 2.9):
J4 = |
E4 |
, GΣ4 |
= |
1 |
Rвн4 + R4 |
Rвн4 + R4 |
|||
J6 = |
E6 |
, GΣ6 |
= |
1 |
Rвн6 + R6 |
Rвн6 + R6 |
Проводимости остальных ветвей будут равны:
G2 = |
1 |
, G3 |
= |
1 |
, G5 |
= |
1 |
. |
|
|
|
||||||
R2 |
R3 |
R5 |
Примем потенциал точки d равным нулю (Vd = 0), а потенциалы других точек свяжем соотношением Vd = 0 < Va < Vb < Vc (выбор
2.3. Методы расчета электрических цепей постоянного тока |
61 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.8. Метод узловых потенциалов
Рис. 2.9. Схема для расчёта по методу узловых потенциалов после преобразований
62 |
2. Электрические цепи постоянного тока |
соотношений не влияет на расчёт и делается для несколько большей ясности расчёта) и составим для трёх узлов (всего узлов четыре, а потенциал одного из них мы приняли равным нулю) выражения по первому закону Кирхгофа:
узел a: − I1 − I2 + I4 = −J1 − J4
узел b: I2 + I3 + I5 = 0
узел c: I1 − I3 − I6 = J1 − J6
Выразим токи в ветвях через потенциалы узлов (с учётом того, что Vd = 0):
I1 = (Vc −Va)Gвн1 |
I2 = (Vb −Va)G2 |
I3 = (Vc −Vb)G3 |
I4 = VaGΣ4 |
I5 = VbG5 |
I6 = VcGΣ6 |
Подставим полученные выражения для токов в ранее полученные выражения по первому закону Кирхгофа:
−(Vc −Va)Gвн1 − (Vb −Va)G2 + VaGΣ4 = −J1 − J4
(Vb −Va)G2 + (Vc −Vb)G3 + VbG5 = 0 (Vc −Va)Gвн1 − (Vc −Vb)G3 −VcGΣ6 = J1 − J6
Проведя преобразования и объединив полученные выражения в систему линейных уравнений, получим:
GaVa − G2Vb − Gвн1Vc = −J1 − J4
G2Va − GbVb − G3Vc = 0
Gвн1Va − G3Vb − GcVc = J1 + J6
где Ga = Gвн1 + G2 + GΣ4, Gb = G2 + G3 + G5, Gc = Gвн1 + G3 + GΣ6 –– узловые проводимости.
Данная система решается любым известным методом решения СЛУ относительно потенциалов узлов, после чего рассчитанные потенциалы подставляются в полученные ранее выражения для токов.
Интересно отметить, что уравнения в СЛУ имеют общий вид:
2.3. Методы расчета электрических цепей постоянного тока |
63 |
||||||
|
|
|
n |
n |
m |
|
|
|
|
|
X |
X |
Xl |
|
|
|
|
|
Vр |
Gk − VkGk = |
Jl, |
|
|
|
|
|
k=1 |
k=1 |
=1 |
|
|
где Vр –– потенциал узла, для которого строится уравнение по пер- |
|
||||||
n |
вому закону Кирхгофа (или расчётный узел), |
|
|||||
|
G –– собственная проводимость k–го узла, равная сумме про- |
||||||
k=1 |
k |
|
|
|
|
|
|
Pn |
водимостей входящих в него ветвей, |
|
|
||||
=1 VkGk –– алгебраическая сумма произведений потенциалов уз- |
|||||||
Pk |
лов, соединённых с расчётным ветвями на проводимости этих |
||||||
|
ветвей, |
|
|
|
|
|
|
n –– количество входящих в узел пассивных ветвей, |
|
||||||
m |
|
J –– алгебраическая сумма токов от источников тока, присо- |
|||||
Pl=1единённыхl |
к расчётной ветви (при их отсутствии –– ноль), |
|
|||||
m –– количество входящих в узел активных ветвей.
Метод двух узлов
Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов и применяется для цепей, содержащих только два узла и неограниченное количество параллельных ветвей.
Идея метода
Идея метода состоит в расчёте напряжения между узлами схемы и последующего расчёта токов в ветвях по закону Ома (§ 1.3.1 на стр. 29).
Порядок расчёта
1.Преобразовать все источники тока в источники напряжения.
2.Рассчитать напряжение между узлами схемы (см. выражение на стр. 65).
3.Рассчитать токи в ветвях по закону Ома (§ 1.3.1 на стр. 29).
Пример расчёта
64 |
2. Электрические цепи постоянного тока |
Рис. 2.10. Метод узлового напряжения
Найдём токи в электрической цепи, приведённой на рис. 2.10. Сопротивления резисторов, ЭДС источников напряжения и ток в источниках тока известны.
Примем направление напряжения от узла a к узлу b. Направление токов в ветвях примем от узла b к узлу a.
Преобразуем сопротивления ветвей в проводимости:
G1 = |
1 |
|
, |
G2 = |
1 |
|
, |
G3 = |
1 |
3. |
|
|
|
|
|
||||||
R 1 |
R 2 |
R |
||||||||
Составим уравнение по первому закону Кирхгофа:
I1 + I2 + I3 = 0.
Токи в ветвях, по закону Ома (§ 1.3.1 на стр. 29) будут равны:
I1 = (E1 − Uab)G1
I2 = (−E2 − Uab)G2
I3 = (0 − Uab)G3 = −UabG3
Подставим полученные выражения для токов в уравнение по первому закону Кирхгофа:
(E1 − Uab)G1 + (−E1 − Uab)G2 − UabG3 = 0.
Проведём преобразования в полученном выражении:
E1G1 − UabG1 − E1G2 − UabG2 − UabG3 = 0
E1G1 − E1G2 = UabG1 + UabG2 + UabG3
E1G1 − E2G2 = Uab(G1 + G2 + G3)
Отсюда напряжение между узлами будет равно: