40	1. Основные положения
	Ra =		RabRca		;
		R	+ R	+ R
		ab	bc	ca
	Rb =		RbcRab		;
		Rab	+ Rbc + Rca

Rc =	RcaRbc
	Rab + Rbc + Rca.

Путём взаимных подстановок в полученных выражениях мы можем получить выражения для Rab, Rbc и Rca (т. е. выражения для преобразования звезды в треугольник):

Rab = Ra + Rb + RaRb ;

Rc

Rbc = Rb + Rc + RbRc ;

Ra

Rca = Rc + Ra + RcRa .

Rb

1.5. Нелинейные электрические цепи

1.5.1. Общие сведения

Нелинейная электрическая цепь это электрическая цепь, содержащая один или несколько нелинейных элементов [1] .

Нелинейный элемент это элемент электрической цепи, параметры которого зависят от определяющих их величин (сопротивление резистивного элемента от тока и напряжения, ёмкость емкостного элемента от заряда и напряжения, индуктивность индуктивного элемента от магнитного потока и электрического тока).

Таким образом, вольт–амперная u(i) характеристика резистивного элемента, вебер–амперная ψ(i) характеристика индуктивного элемента и кулон–вольтная q(u) характеристика емкостного элемента имеют вид не прямой линии (как в случае линейного элемента), а некой кривой, обычно определяемой экспериментально и не имеющей точного аналитического представления.

Нелинейная электрическая цепь обладает рядом существенных отличий от линейной и в ней могут возникать специфические явления

		1.5. Нелинейные электрические цепи						41

Рис. 1.28. УГО нелинейных резистивного, индуктивного и емкостного элементов

(например гистерезис), поэтому этого методы расчёта линейных цепей к нелинейным цепям неприменимы. Особо следует отметить неприменимость к нелинейным цепям метода наложения (суперпозиции).

Важно понимать, что характеристики реальных элементов никогда не бывают линейными, однако в большинстве инженерных расчётов они, с допустимой точностью, могут считаться линейными.

Все полупроводниковые элементы (диоды, транзисторы, тиристоры и т. д.) являются нелинейными элементами.

Условные графические обозначения нелинейных резистивного, индуктивного и емкостного элементов приведены на рис. 1.28. На выносной площадке мажет указываться параметр, вызывающий нелинейность (например температура для терморезистора)

1.5.2. Параметры нелинейных элементов

Нелинейные элементы характеризуются статическими (Rст, Lст, и Cст) и дифференциальными (Rд, Lд, и Cд) параметрами.

Статические параметры нелинейного элемента определяются как отношение ординаты выбранной точки характеристики к её абсциссе (рис. 1.29).

Статические параметры пропорциональны тангенсу угла наклона прямой, проведённой через начало координат и точку, для которой производится расчёт. Для примера на рис. 1.29 получим:

Fст = yA = my tg α, xA mx

где α–– угол наклона прямой, проведённой через начало координат и рабочую точку A;

my и mx –– масштабы по осям ординат и абсцисс соответственно.

42	1. Основные положения

β

α

Рис. 1.29. К определению статических и дифференциальных параметров

нелинейных элементов

Fст = yA , Fдиф = dy xA dx

Отсюда статические параметры резистивного, индуктивного и емкостного элементов будут иметь следующий вид:

Rст =	u		,	Lст =	ψ		,	Cст =	q		.
	i				i				u

Дифференциальные параметры нелинейного элемента определяются как отношение малого приращения ординаты выбранной точки характеристики к малому приращению её абсциссы (рис. 1.29).

Дифференциальные параметры пропорциональны тангенсу угла наклона касательной в рабочей точке характеристики и осью абсцисс. Для примера на рис. 1.29 получим:

Fдиф = dy = my tg β, dx mx

где β –– угол наклона касательной в рабочей точке B характеристики и осью абсцисс;

my и mx –– масштабы по осям ординат и абсцисс соответственно. Отсюда дифференциальные параметры резистивного, индуктив-

ного и емкостного элементов будут иметь следующий вид:

Rдиф =	du		,	Lдиф =	dψ		,	Cдиф =	dq
	di				di				du

1.5. Нелинейные электрические цепи

43

1.5.3. Методы расчёта нелинейных цепей

Нелинейность параметров элементов усложняет расчёт цепи, поэтому в качестве рабочего участка стараются выбрать либо линейный, либо близкий к нему участок характеристики и рассматривают, с допустимой точностью, элемент как линейный. Если же это невозможно или нелинейность характеристики является причиной выбора элемента (особенно это характерно для полупроводниковых элементов), то применяют специальные методы расчёта –– графический, аппроксимации

(аналитической и кусочно–линейной) и ряд других. Рассмотрим эти методы более подробно.

Графический метод

Идея метода состоит в построении характеристик элементов цепи (вольт–амперной u(i), вебер–амперной ψ(i) или кулон–вольтной q(u)), а затем, путём их графических преобразований (напр. сложения), получения соответствующей характеристики для всей цепи или её участка.

Графический метод расчёта является наиболее простым и наглядным в применении, обеспечивая в основной массе расчётов необходимую точность, однако он применим для небольшого количества нелинейных элементов в цепи и требует аккуратности при проведении графических построений.

Пример расчёта нелинейной цепи графическим методом для последовательного соединения линейного и нелинейного резистивных элементов приведён на рис. 1.30, а, для параллельного –– на рис. 1.30, б.

При расчёте последовательной цепи в одних осях строятся характеристики всех рассчитываемых элементов (для рассматриваемого примера это uнэ(i) для нелинейного резистора Rнэ и uлэ(i) для линейного Rлэ). Характер изменения общего напряжения в цепи u(i) определяется путём сложения характеристик нелинейного uнэ(i) и линейного uлэ(i) элементов u(i) = uнэ(i) + uлэ(i). Сложение производится при одинаковых значении тока (для i = i0: u0 = uнэ0 + uлэ0 , см. рис. 1.30, а.).

Расчёт параллельной цепи производится аналогично, только характеристика всей цепи строится путём сложения токов, при постоянном напряжении (для u = u0: i0 = iнэ0 + iлэ0 , см. рис. 1.30, б.).

44	1. Основные положения

i		u			u i
	u	u				u	i
u		u
	u	u				u	i
					i		i
i		u	u	i	u	i	u i
i	i	u
u

i i i i

Рис. 1.30. Графический метод расчёта нелинейных цепей. а –– последовательное соединение

u(i) = uнэ(i) + uлэ(i), для i = i0 : u0 = uнэ0 + uлэ0

б –– параллельное соединение.

u(i) = uнэ(i) + uлэ(i), для u = u0 : i0 = iнэ0 + iлэ0

Рис. 1.31. Активный линейный двухполюстник в качестве схемы замещения нелинейного элемента

1.5. Нелинейные электрические цепи

45

Метод аппроксимации

Идея метода состоит в замене экспериментально полученной характеристики нелинейного элемента аналитическим выражением.

Различают аналитическую аппроксимацию, при которой характеристика элемента заменяется аналитической функцией (например линейной y = ax + b, сте-

пенным полиномом y =	k=0 aixi, гипербо-
лическими синусом y =Pai sh βx и танген-

сом y = a th βx и другими) и кусочно–ли-

нейную, при которой характеристика элемента заменяется совокупностью прямоли-

нейных отрезков. Точность аналитической аппрокси-

мации определяется правильностью выбора аппроксимирующей функции и точностью подбора коэффициентов. Преимуществом кусочно–линейной аппроксимации является простота применения и возможность рассмотрения элемента как линейного.

Кроме того, в ограниченном диапазоне изменений сигнала, в котором его изменения можно считать линейным (т. е. в режиме малого сигнала), нелинейный элемент, с допустимой точностью, может быть заменён эквивалентным линейным активным двухполюстником (рис. 1.31, более подробно двухполюстник будет рассмотрен в § 2.3.4), где ток и напряжение связаны выражением:

U = E + RдифI ,

где Rдиф –– дифференциальное сопротивление нелинейного элемента на линеаризуемом участке.

Пример аналитической аппроксимации характеристики полупроводникового диода с помощью функции вида i = a(ebu − 1) приведён на рис. 1.32, б, кусочно–линейной аппроксимации –– на рис. 1.32, в, исходная характеристика диода приведена на рис. 1.32, а.

46	1. Основные положения
u	u	u
i	i	i

Рис. 1.32. Аппроксимации характеристики полупроводникового диода.

а–– исходная характеристика диода;

б–– аналитическая аппроксимация с помощью функции вида i = a(ebu − 1);

в–– кусочно–линейная аппроксимация.