52	2. Электрические цепи постоянного тока

Ucd = I2345R2345.

Элементы R2 и R2345 соединены параллельно, следовательно на них будет одинаковое напряжение, равное Ucd (рис. 2.2, в), отсюда токи, протекающие в этих ветвях будут равны:

I2	=	Ucd	,	I345 =	Ucd
					R345
		R2

Элемент с сопротивлением R345 является эквивалентным для последовательного соединения R3 и R45 (рис. 2.2, б), следовательно

I3 = I45 = I345.

Элементы R4 и R5 включены параллельно, их эквивалентное сопротивление равно R45,

Для расчёта токов в двух оставшихся ветвях найдём напряжение Uab (рис. 2.2, а):

		Uab = I45R45,
	а затем и сами токи:		Uab				Uab
	I4	=		,	I5	=		.
			R4				R5

2.3.2. Методы, основанные на законах Кирхгофа

2.3.2.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа основан на фундаментальных законах электротехники, позволяет расширить и закрепить их понимание и навыки применения.

Идея метода

Идея метода заключается в составлении системы линейных уравнений (СЛУ) по первому и второму законам Кирхгофа, в которой неизвестными являются токи в ветвях.

2.3. Методы расчета электрических цепей постоянного тока

53

Порядок расчёта

1.Преобразовать источники тока в источники напряжения.

2.Составить СЛУ по первому и второму законам Кирхгофа, для чего необходимо:

а.Определить количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

Вобщем случае, для цепи содержащей «В» ветвей и «У» узлов, получим:

•всего уравнений в СЛУ: В;

•уравнений по первому закону Кирхгофа: У − 1;

•уравнений по второму закону Кирхгофа: В − (У − 1).

б.Задать условно–положительные направления токов и направления обхода контуров.

в.Составить СЛУ по законам Кирхгофа.

3.Решить полученную систему любым известным методом.

4.Результаты расчёта проверить составив баланс мощностей.

Пример расчёта

Найдём токи в электрической цепи, приведённой на рис. 2.4, сопротивления резисторов, ЭДС источников напряжения и ток в источниках тока известны.

Преобразуем источники тока в источники напряжения (§ 1.4.3 на стр. 36):

	Rвн1 =	1	, E1 =	J1		Рис. 2.3. К определению
				Gвн1
		Gвн1				количества уравнений по первому
	По условию необходимо найти
						закону Кирхгофа
	токи ветвях, следовательно количе-					для узла a: −I1 − I2 − I3 = 0 для
	ство неизвестных будет равно коли-					узла b: I1 + I2 + I3 = 0

честву токов, которое, по определению ветви (см. § 1.1.3, на стр. 12), равно количеству ветвей в цепи.

Количество уравнений по первому закону Кирхгофа будет на единицу меньше количества узлов (одно уравнение будет вырожденным,

54	2. Электрические цепи постоянного тока

т. к. его можно выразить через остальные уравнения, например, в схеме на рис. 2.3 уравнения для узлов a и b можно преобразовать одно в другое умножением правой и левой части на «−1»).

Определим количество уравнений, для анализируемой цепи:

•всего уравнений в СЛУ (равно количеству ветвей в цепи): В = 6;

•всего узлов в цепи: У = 4;

•уравнений по первому закону Кирхгофа: У − 1 = 4 − 1 = 3;

•уравнений по второму закону Кирхгофа: В−У−1 = 6 −4 −1 = 3.

Затем зададим условно–положительные направления токов в ветвях, выберем в цепи три узла и три контура для составления уравнений. Для выбранных контуров зададим направления обхода.

После проведённых преобразований и построений схема примет вид, приведённый на рис. 2.5.

Составим уравнения по первому и второму законам Кирхгофа: Уравнения по первому закону Кирхгофа

−I1 + I2 − I4 = 0 (узел «a») I2 + I3 + I5 = 0 (узел «b»)

−I1 − I3 − I6 = 0 (узел «с») Уравнения по второму закону Кирхгофа

Rвн1I1 − R3I3	+ R2I2	=	E1	(контур «1»)
−R2I2 + R5I5 − (R4 + Rвн4)I4 = −E4				(контур «2»)
R3I3 − (R6 + Rвн6)I6	− R5I5	=	E6	(контур «3»)

Подставив в полученные уравнения значения ЭДС и сопротивлений получим СЛУ из шести уравнений с шестью неизвестными:

	I1 + I2					I4 = 0
	−I2 + I3				−+ I5 = 0
	I1		I3			I6 = 0
	− −				−
	R		I	1		R I	+ R I		2	= E
		вн1				3 3		2		1
					−
	R2I2 + R5I2 − RΣ4I4 = −E4
	−R3I3				RΣ6I6			R5I5 = E6
			−				−
где RΣ4 = R4 + Rвн4, RΣ6 = R6 + Rвн6.

Полученная система решатся любым удобным методом.

2.3. Методы расчета электрических цепей постоянного тока

55

Рис. 2.4. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Рис. 2.5. Схема для расчёта по методу непосредственного применения законов Кирхгофа после преобразований