Примеры решения заданий для выполнения

контрольной работы № 5

Таблица 1

Основные правила и формулы интегрирования

1.	;	10.	;
2.	;	11.	;
3.	;	12.	;
4.	;	13.	;
5.	, ;	14.	;
6.	;	15.	;
7.	;	16.	;
8.	;	17.	;
9.	;	18.	;
		19.	.

В формулах 3 – 19 переменная u может быть как независимой переменной, так и некоторой функцией аргумента x.

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Пример 1. Найти интеграл (см. М-1540, стр. 12–13).

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение и воспользуемся формулами 1, 2, 4. Получим

.

Здесь мы применили известные формулы и. Следовательно,

.

Проверим найденный результат дифференцированием. Найдем

,

что совпадает с подынтегральным выражением, и, следовательно, интегрирование проведено правильно.

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ ИЛИ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Пример 2. Вычислить интеграл (см. М-1540, стр. 14).

Решение. Сделаем подстановку , тогдаи. Поэтому интеграл преобразуется к виду

.

Из подстановки найдеми. Тогда.

Таким образом, мы получили табличный интеграл

.

Пример 3. Вычислить интеграл (см. М-1540, стр. 14).

Решение. Сделаем подстановку . Тогда. Переходя под интегралом к переменной, получим

.

Возвращаясь к переменной , найдем окончательно.

Сделаем проверку , что совпадает с подынтегральным выражением.

Аналогичным образом вычислим еще несколько интегралов, не делая подробных объяснений.

Пример 4.

Пример 5. .

Пример 6. .

Пример 8.

Метод интегрирования по частям

Пример 9. Вычислить интеграл (см. М-1540, стр. 15).

Решение. Обозначим . Тогда, а(см. пример 7), по формуле (3) получим

Пример 10. Вычислить интеграл (см. М-1540, стр. 15).

Решение.

(см. пример 4).

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Пример 11. Вычислить интеграл (см. М-1540, стр. 16–18).

Решение. Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. Так как квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, то

Отсюда получаем

,

или ,

или .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим:

Таким образом,

.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Пример 12. Вычислить интеграл (см. М-1540, стр. 18–19).

Решение. Так как , сделаем подстановку. Тогдаи.

Разделив на, получим

, где .

Следовательно,

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Пример 13. Вычислить интеграл (см. М-1540, стр. 19).

Решение.

Пример 14. Вычислить интеграл (см. М-1540, стр. 19).

Решение.

.

Пример 15. Вычислить интеграл (см. М-1540, стр. 19).

Решение.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пример 16. Вычислить определенный интеграл

(см. М-1540, стр. 20–21).

Решение.

При вычислении этого интеграла были применены формулы

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку

Пример 17. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость (см. М-1540, стр. 23).

Решение.

Таким образом, несобственный интеграл равен , т. е. он сходится.

Несобственные интегралы второго рода

Пример 18. Вычислить интеграл или доказать его расходимость. (см. М-1540, стр.23–24).

Решение.

Так как оба предела стремятся к бесконечности, то они не существуют и поэтому, несобственный интеграл расходится (рис. 1).

рис. 1

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Пример 19. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,(см. М-1540, стр.24–25).

Решение. Первое уравнение определяет на плоскости прямую линию, второе – гиперболу (рис. 2).

рис. 2

Найдем их точки пересечения

Пример 20. Вычислить площадь области, ограниченной кривой, уравнение которой в полярной системе координат имеет вид ,(см. М-1540, стр.26).

Решение.

Для построения кривой составим таблицу значений функции.

Таблица 2

	0	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180
	3	2,55	1,5	0	-	-	-	-	-	0	1,5	2,55	3

Для значениябудут повторяться в силу периодичности функции. Строим кривую по точкам (нижняя часть кривой симметрично достраивается) (рис. 3).

рис. 3

Заметим, что построенная фигура состоит из четырех равных частей, поэтому

(кв.ед.)