Примеры решения заданий контрольной работы № 6

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Уравнения с разделяющимися переменными

Пример 25. Найти общее решение уравнения (см. М-1540, стр. 32–33). Имеем:

; ;.

Интегрируем последнее уравнение

— общее решение данного уравнения.

Однородные уравнения первого порядка

Пример 26. Решить уравнение (см. М-1540, стр. 34).

Решение. Находим ;;. Так как правая часть зависит от, то уравнение является однородным. Делаем подстановку:, тогдаи получаем,,,,, интегрируя, получим,,. Следовательно,— общее решение данного уравнения.

Линейные уравнения первого порядка

Пример 27. Найти общее решение уравнения (см. М-1540, стр. 34).

Решение. Сделаем подстановку , гдеи— неизвестные пока функции от. Тогда и уравнение принимает вид:

или . (9)

Выбираем так, чтобы. Решаем это уравнение ,;; интегрируя получим:;;. Подставляя это значение в равенство (9) получим:

; ;;.

Таким образом, — общее решение данного уравнения.

Замечание. Уравнение вида , при не является линейным. Оно называетсяуравнением Бернулли, но решается так же, как и линейное, подстановкой .

Дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнения, не содержащие у и у′

Пример 28. Решить дифференциальное уравнение второго порядка (см. М-1540, стр. 35).

Решение. ; ;;. Интегрируя, находим. Далее ;;, интегрируя, получаем

— общее решение.

Замечание. Аналогичным образом решаются уравнения указанного вида более высокого порядка.

Уравнения, явно не содержащие неизвестной функции :

Пример 29. Найти общее решение уравнения (см. М-1540, стр. 35)

Решение. Делаем подстановку . Тогда . Получим

, ;;.

Интегрируя последнее уравнение, найдем ;. Так как ,то;, откуда— это и есть общее решение данного уравнения.

Уравнения, явно не содержащие независимую переменную :

Пример 30. Найти общее решение уравнения (см. М-1540, стр. 36).

Решение. Делая подстановку ,, получим,. Интегрируем обе части уравнения:;;;. Так как, то;;;. Интегрируя, найдем:

2

.

Итак, общий интеграл данного уравнения .

Линейные уравнения второго порядка

Пример 31. Найти общее решение уравнения (см. М-1540, стр. 38).

Решение. Искомое решение будем искать в виде , где– общее решение уравнения , ау*− частное решение всего уравнения. Составим характеристическое уравнение ,. Следовательно, .

Найдем . Так как правая часть уравнения равна, то это случай 4 табл.4 и частное решение было бы , если бы числа не было среди корней характеристического уравнения. Но, так как числовстречается среди корней характеристического уравнения один раз (), то. Найдем ,, подставим эти значения в данное уравнение и потребуем, чтобы оно обратилось в тождество

; ,

откуда .

Таким образом, и общее решение уравнения будет.

Если в начальный момент времени известныи, то можно найти частное решение уравнения (10), удовлетворяющее этим условиям, то есть решить так называемуюзадачу Коши.

Пример 32. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям (см. М-1540, стр. 39).

Решение. Данное уравнение — это уравнение вида (10), при ,,,.

Найдем сначала общее решение данного уравнения.

Для этого решим соответствующее однородное уравнение:

. Следовательно .

Так как числа нет среди корней характеристического уравнения, то (случай 3, табл.2) частное решениеподбираем в таком же виде, как и правая часть,,. Подставляем эти значения в уравнение .

Следовательно, . Значит, – общее решение данного уравнения. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, найдем:

. Так как и , то получаем

Подставляя эти значения в общее решение, найдем частное решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Пример 33. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:(см. М-1540, стр. 39–40).

Решение. Данное уравнение — это уравнение вида (10), при ,,,.

Решаем уравнение . Составляем характеристическое уравнение .

Следовательно, – общее решение уравнения без правой части. По виду правой частинаходим число(случай 2, табл. 2). Такого числа среди корней характеристического уравнения нет, поэтому

( )

; ;. Подставим эти значения в данное уравнение

или . Сравнивая слагаемые, содержащие и, получим

Поэтому

, – общее решение данного уравнения. Найдем

Учитывая начальные условия, найдем: , ,откуда . Подставляя эти значения в общее решение, получим

— частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Физический смысл полученного решения (и предыдущих) в том, что это есть отклонение платформы от положения равновесия в любой момент времени. В частности, при получим

.