Вычисление двойных интегралов

Пример 21. Вычислить двойной интеграл двумя способами, изменяя порядок интегрирования: , гдеD — область, ограниченная линиями ,,(см. М-1540, стр.52–55).

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4)

рис. 4

Выбирая внутреннее интегрирование по переменной , а внешнее по, получим:

.

Здесь внешний интеграл берется по переменной . Граничными точками этой переменной будут точкии, которые и определяют внешние пределы интегрирования. Внутренний интеграл берется по переменной. Пределы интегрирования для него будут являться функциями от, которые определяются из уравнений линий, ограничивающих областьD снизу () и сверху (). Следовательно,

Изменяя порядок интегрирования, разобьем область D на две части: пусть D₁ — часть, лежащая ниже оси , аD₂ — часть, лежащая выше оси . Тогда

.

Совпадение результатов подтверждает правильность вычислений.

.

Вычисление криволинейных интегралов

Пример 22. Вычислить криволинейный интеграл ,если кривая АВ задана уравнением и(см. М-1540, стр. 57–58).

Решение. Так как кривая задана явным уравнением , где, то вычисляем интеграл по формуле (16). Находим и

Пример 23. Вычислить криволинейный интеграл от точкиМ(1,1) до точки N(4,2) вдоль кривой .

Решение. Этот интеграл вычисляем по формуле (17)

Пример 24. Вычислить криволинейный интеграл , если криваяАВ задана параметрическими уравнениями: ,,.

Решение. Кривая АВ есть часть эллипса с полуосями 3 и 2, находящаяся в первой четверти. Так как кривая АВ задана параметрически, то этот интеграл будем вычислять по формуле (18). Имеем

Замечание. Если в криволинейном интеграле путь интегрирования L разбит на несколько участков, например, на L₁ и L₂, то

=+.

Контрольная работа № 6 Дифференциальные уравнения

7. Найдите общее решение дифференциальных уравнений

7.1.	a) ; b) ; c) .	7.2.	a) ; b) ; c) .
7.3.	a) ; b) ; c) .	7.4.	a) ; b) ; c) .
7.5.	a) ; b) ; c) .	7.6.	a) ; b) ; c) .
7.7.	a) ; b) ; c) .	7.8.	a) ; b) ; c) .
7.9.	a) ; b) ; c) .	7.10.	a) ; b) ; c) .
7.11.	a) ; b) ; c) .	7.12.	a) ; b) ; c) .
7.13.	a) ; b) ; c) .	7.14.	a) ; b) ; c)
7.15.	a) ; b) ; c) .	7.16.	a) ; b) ; c) .
7.17.	a) ; b) ; c) .	7.18.	a) ; b) ; c) .
7.19.	a) ; b) ; c) .	7.20.	a) ; b) ; c) .
7.21.	a) ; b) ; c) .	7.22.	a) ; b) ; c) .
7.23.	a) ; b) ; c) .	7.24.	a) ; b) ; c) .
7.25.	a) ; b) ; c) .	7.26.	a) ; b) ; c) .
7.27.	a) ; b) ; c) .	7.28.	a) ; b) ; c) .
7.29.	a) ; b) ; c) .	7.30.	a) ; b) ; c) .

8. Найдите общее решение однородных дифференциальных уравнений.

8.1	a) ; b) ; c) .	8.2.	a) ; b) ; c) .
8.3.	a) ; b) ; c) .	8.4.	a) ; b) ; c) .
8.5.	a) ; b) ; c) .	8.6.	a) ; b) ; c) .
8.7.	a) ; b) ; c) .	8.8.	a) ; b) ; c) .
8.9.	a) ; b) ; c) .	8.10.	a) ; b) ; c) .
8.11.	a) ; b) ; c) .	8.12.	a) ; b) ; c) .
8.13.	a) ; b) ; c) .	8.14.	a) ; b) ; c) .
8.15.	a) ; b) ; c) .	8.16.	a) ; b) ; c) .
8.17.	a) ; b) ; c) .	8.18.	a) ; b) ; c) .
8.19.	a) ; b) ; c) .	8.20.	a) ; b) ; c) .
8.21.	a) ; b) ; c) .	8.22.	a) ; b) ; c) .
8.23.	a) ; b) ; c) .	8.24.	a) ; b) ; c) .
8.25.	a) ; b) ; c) .	8.26.	a) ; b) y″−12y′−36y=0; c) .
8.27.	a) ; b) ; c) .	8.28.	a) ; b) ; c) .
8.29.	a) ; b) ; c) .	8.30.	a) ; b) ; c) .

9. Железнодорожная платформа массой m, выведенная из положения равновесия, совершает колебания в вертикальной плоскости под действием вынуждающей силы , гдех — время. Найдите зависимость отклонения платформы от положения равновесия от времени, если сопротивление среды пропорционально скорости, с коэффициентом пропорциональности, а восстанавливающая сила рессоры, стремящаяся вернуть платформу в положение равновесия, пропорциональна величине отклонения, с коэффициентом пропорциональности. Считается, что в момент времени,,.

Таблица 3

№	m
9.1	1	-2	2
9.2	1	-6	9		1
9.3	1	-1	0		0	0
9.4	1	2	-3		-0,3	1
9.5	1	4	5		1	-1
9.6	1	0	-4		0	0
9.7	1	2	1		0	0
9.8	1	-3	-4		4	0
9.9	1	0	-9		-2	2
9.10	1	5	0		1	0
9.11	1	-2	1		0	0
9.12	1	0	4		0	0
9.13	1	6	-16		1	1
9.14	1	3	0		0	-1
9.15	1	-3	4		1	1
9.16	1	-6	13		0	0
9.17	1	4	20		0	0
9.18	1	1	0		-2	1
9.19	1	0	-16		0	0
9.20	1	-4	5		0	0
9.21	1	5	-6		1	-1
9.22	1	3	-4		0	0
9.23	1	9	0		0	0
9.24	1	0	1		0	0
9.25	1	7	-8		1	-1
9.26	1	-6	5		2	3
9.27	1	-25	0		3	-1
9.28	1	0	16		0	0
9.29	1	-5	4		0	0
9.30	1	0	4		4	0

8. Дана система дифференциальных уравнений

С помощью характеристического уравнения найти ее общее решение.

Таблица 4

№	a	b	c	d	№	a	b	c	d
10.1	-1	5	1	3	10.2	-2	1	-3	2
10.3	6	3	-8	-5	10.4	2	1	-6	3
10.5	2	5	1	2	10.6	6	-1	3	2
10.7	-7	5	4	-8	10.8	-1	2	-3	4
10.9	-1	1	2	-2	10.10	-1	-2	3	4
10.11	-1	-2	1	4	10.12	-2	1	4	1
10.13	3	-2	1	0	10.14	4	2	4	6
10.15	-5	-8	-3	-3	10.16	8	-3	2	1
10.17	-4	2	4	-2	10.18	3	1	1	3
10.19	-3	6	2	8	10.20	2	3	5	4
10.21	2	1	3	4	10.22	1	2	3	6
10.23	1	-1	-4	1	10.24	5	4	4	5
10.25	-1	8	1	1	10.26	1	-2	-4	3
10.27	-2	-3	-1	0	10.28	1	-2	-1	0
10.29	1	-1	-4	4	10.30	3	-2	2	8