Алгоритм БПФ по основанию 4 размерности 16

0

4

8

12

1

5

9

13

2

6

10

14

3

7

11

15

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

		0
		1
		2
		3
	0	4
	1	5
	2	6
	3	7
	0	8
	2
		9
	4
	6	10
	0	11
	3	12
	6	13
	9	14
		15

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 132

Принцип построения алгоритма БПФ с

произвольным основанием

Если N – составное число, то одномерный массив отсчетов можно записать в виде матрицы размерности N=MxL.

Алгоритм вычисления ДПФ размерности N:

Преобразовать одномерный массив в матрицу (заполнение по

строкам!) n m L l, n 0..N 1,	m 0..M№столбца1(			l),		L 0.. №строки1(		).
		M 1
Вычислить ДПФ каждого столбца		Xc k,l x m,l WMmk ,				k 0..M 1,	l 0..L 1
		m 0
Умножить элементы матрицы	%			kl	k	0..M 1,	l 0..L 1
	Xc k,l Xc		k,l WN ,
Вычислить ДПФ каждой строки		L 1	%	li	,	k 0..M 1,	i 0..L 1
		Xr k,i Xc k,l WL

Преобразовать матрицу в одномерный массивl 0 (считывание по строкам!).

Если размерность строки или столбца - составное число, разбиение можно повторить.

Для произвольных составных N наиболее быстрый алгоритм со смешанным основанием – АВПФ (алгоритм Винограда преобразования Фурье).

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 133

Сравнение БПФ и гребенки фильтров.

X0 i

		+
			Z-1
		W0	X1	i
x i		+
	-		Z-1
	Z-N	W1		i
			Xk
		+
			Z-1
		Wk	X N 1 i
		+
			Z-1
		WN-1

Анализатор спектра в виде гребенки фильтров

Гребенка фильтров:

выдает N спектральных отсчетов в каждый момент времени;

Требует N операций умножения- накопления на 1 отсчет сигнала.

БПФ без перекрытия:

Выдает N спектральных отсчетов через N отсчетов сигнала;Требует 12 log2 N

операций умножения-накопления на 1 отсчет сигнала.

	БПФ с перекрытием:
	Выдает N отсчетов через N	K
	отсчетов сигнала;

Требует в K раз больше операций

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 134

Использование «окон» при спектральном анализе
Импульсная характеристика							2π k			0	n N - 1
одного из гребенки фильтров:					exp j			N	n ,
				h n =
						0,остальные					n
								N
Частотная характеристика						sin
				H e j			2			k= 0,1..N -1
(без фазового множителя):
									k
						sin	2
									N
Проблема: маскировка слабых спектральных компонент
сильными из-за высоких боковых лепестков АЧХ фильтра.
40 дБ										Амплитуды
30
											сигналов:
20
										А1 – 1 (0 дБ)
10
									А2 – 0.01 (-40 дБ)
0
									А3 –0.001(-60 дБ)
­10
­20
­30	300	400	500		600	700			800
200
	Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд									135

Использование «окон» при спектральном анализе

Во временной области – умножение сигнала на весовую функцию «окна».

Временные отсчеты

Умножение на весовую функцию

Анализатор спектра (БПФ)

Спектральные отсчеты

1 умножение на отсчет для всех видов окон

В спектральной области – свертка спектра сигнала с частотной характеристикой «окна».

Временные отсчеты

Анализатор спектра (БПФ)

Свертка с ЧХ «окна» (сглаживание спектра)

Спектральные отсчеты

Для окна Ханна порядок фильтра -3 ( окно Хэмминга – без умножений).

Для окна Блэкмана порядок фильтра - 5.

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 136

Использование «окон» при спектральном анализе
40		дБ
	rectangular			Hann		Амплитуды
30	window			window		сигналов:
	Chebyshev
20
	window					А1 – 1 (0 дБ)
10						А2 – 0.01 (-40 дБ)
0
						А3 –0.001(-60 дБ)
­10
­20
­30
­40
­50	300	400	500	600	700	800
200

Стратегия выбора «окна» по одному из параметров:

по скорости спадания БЛ – при большой разнице амплитуд и частот;

по максимальному уровню БЛ – при разных амплитудах и неизвестных (распределенных в большом диапазоне) частотах;

по ширине основного лепестка АЧХ – при сопоставимых амплитудах и близко расположенных частотах.

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 137

Классические методы спектрального оценивания

Задача: получить оценку спектральной плотности мощности сигнала с минимальной среднеквадратической ошибкой по зашумленной реализации конечной длительности.

Основные характеристики:

Диапазон анализируемых частот

Определяется частотой дискретизации Fs:

от 0 до ½ Fs для действительных сигналов;

от - ½ Fs до + ½ Fs для комплексных сигналов.

Разрешающая способность по частоте

N 1

Определяется эффективной шириной

B e

W

k

главного лепестка ЧХ окна B :

k 0

m a x

W k

e

Достоверность

k 0 , N 1

2

Определяется относительной

S k

S k

среднеквадратической ошибкой Q

2

,

k 0,1..N 1

оценки СПМ

Q k

S k

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 138

Классические методы спектрального оценивания

Особенность оценки СПМ при наличии шума:

При увеличении размерности БПФ ошибка оценки СПМ не уменьшается, так как определяется спектральной плотностью шума.

Для ее снижения необходимо усреднение спектральных оценок.

При ограниченной длине реализации случайного процесса:

Повышение достоверности оценки приводит к ухудшению разрешающей способности;

Повышение разрешающей способности приводит к потере достоверности оценки.

Если влияние шума пренебрежимо мало, то Be Te										1
T - эффективная длительность реализации.
e
Если необходимо усреднение оценок СПМ для повышения
достоверности, то			Q T B					1
					e	S
	N 1 W			k		2
									ширина
		- статистическая
полосы «окна»	k 0
B S	N 1
				k
		W				2

k 0

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 139

Периодограммный метод оценки СПМ

Последовательность операций:

1.Реализация процесса длиной L отсчетов разбивается на M сегментов размером N отсчетов каждый

n , n 0,1,..N 1, m 1,2..M .xm

2.Вычисляется БПФ от каждого сегмента

Xm k ,

k 0,1,..N 1,

m 1,2..M.

3.Усредняется оценка СПМ

M

PX k 1M Xm k Xm* k , k 0,1..N 1

m 1`

Для снижения потерь из-за взвешивания функцией «окна» применяется перекрытие сегментов на ½ или ¼.

Увеличение длины сегмента соответствует улучшению разрешающей способности и снижению достоверности (возрастанию ошибки), и наоборот.

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 140

Коррелограммный метод оценки СПМ

Основан на дискретном аналоге теоремы Винера-Хинчина.

Последовательность операций:

1.Вычислить АКФ реализации процесса в диапазоне [0,N-1] дискретных задержек:

L 1
RX m x n x* n m ,	m 0,1..N 1.

n0

2.Вычислить ДПФ размерности N от АКФ c использованием «окна»:

N 1			2
PX k RX m exp		j	N	k	m , k	0,1..	N 1.
m 0

Увеличение диапазона задержек АКФ соответствует улучшению разрешающей способности, и снижению достоверности

(возрастанию ошибки), и наоборот.

Рекомендуется: начинать оценку СПМ с высокой достоверности, продвигаясь в направлении более высокого разрешения по частоте.

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 141