Обратное Z-преобразование

	x n	1	ÑX z zn 1dz
		2 j
			c

Способы вычисления:

1.Деление числителя на знаменатель

2.Разложение на простые дроби

3.Использование теоремы о вычетах

4.Таблица Z-преобразований

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 32

Одностороннее Z-преобразование

Предназначено для анализа физически реализуемых систем

X (z) x(n) z n

n 0

Основное отличие – в свойстве задержки

X z z n0 X1 z x1 n0 x1 n0 1 z 1 K x1 1 z n 1 ,

где x1 n0 , x1 n0 1 , K , x1 1 - начальные условия

При нулевых начальных условиях:

X z X 1 z z n0 - аналогично двустороннему Z-преобразованию

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 33

Решение РУ с помощью Z-преобразования

Пример: решить РУ

y

n x n

ay n 1

, y( 1)

K, x n e j nu 1 n

Решение:

Y z

X z

a Y z z

K

1

- Z-преобразование от обеих частей

Y

z

X

z

aK

,

x n

e

j n

X z

1

1 e j z 1

1 az 1

Y z

aK

1

aK

a

a ej

ej

a ej

1 az 1

1 ej z 1 1 az 1

1 az 1

1 az 1

1 ej z 1

n 1

y

n

¢ 1

Y(z)

an 1K

a

e

j

n 1

u

n

a

ej

a ej

1

Общий случай решения РУ порядка L

L

L

n i , x(n) 0 при n 0

y n ai x n i

bi y

i 0

i 1

Y

z

L

i

L

1

z

1

...

ai z

X z bi z

Y z Y i Y 1 i

i 0

i 1

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 34

Пример вычисления обратного Z-преобразования

X z	30z2
	6z2 z 1

1. Деление числителя на знаменатель:

	30 z 2											6 z 2				z 1
								5		5 z 1							35 z 2 ...
										6							36
						n													1			5
	x		n		z				x			0						z		...	5		...
														x			1
n																						6
														5	,	35
					x n 5,									6		36		,...

2. Разложение на простые дроби:
	Z 1						i
																pn
													1
																				i i
				1 pi z
	p1 1/ 2, p2 1/ 3
X z						30z2																						5
	6		z 1 2								z 1 3														1	z	1			1	z	1
																			1										1
																									2					3
X			z											3											2
														1		z 1									1		z 1
							1														1
														2											3
							1			2				n		2			1 3					n	, при n 0
x	n				3
					0,																					при n<0

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 35

Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье размерностью N:

N 1	2
Xp k xp n e j	N kn, k 0, 1... N 1
n 0

Xp(k) – периодическая последовательность с периодом N

Обратное дискретное преобразование Фурье:

		1	N 1		2
	xp n		k 0	Xp k ej	N kn,	n 0, 1 ... N 1
		N

xp(n) – периодическая последовательность с периодом N

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 36

Связь Z-преобразования и ДПФ

		n N1
Пусть x n	xp n ,при 0
	0,при других n	– конечная последовательность

	X	z				N 1
Тогда			x n z n			x n		z n
						n 0
		2
Полагая	zk e j N		k , k= 0,1..N -1
						N 1	2
		X p (k) X z		j	2 k	x n e j	N		nk
				z e	N	n 0

Im(Z)

N=8

Re(Z)

0

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 37

Связь ДПФ и ПФ

	N 1	N 1	1	N 1	2
	X z x n z n			X p k e j	N	kn z n
			N
	n 0	n 0	1 4 44 2 4 4 43
				k 0

x(n)

N 1	1	N 1		j	2 k
		X p k	e		N	z 1
	N
k 0		n 0

n	N 1
	k 0

X p	k			1 z N
N				z 1e	j	2 k
		1
						N

j

N 1

p

2 k

X

e

X ( z)

j

X

k

N

,

z e

k 0

sin

N

N 1

Ф(0)=1

:

2

2

где:

j

( ) @

e

,

X(ej2 k/N)=X(k)

N sin

2

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 38

Связь ПФ и ДПФ (пример)

x (n)

xp(n)

0	N	2N	n
	|X (ej )|	|Xp(k)|
0	2	4
	N	2N	(k)
	arg[X (ej )]	arg[Xp(k)]
0	2	4
			(k)
	N	2N

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 39

Дополнение нулями

x(n) – конечная последовательность длины N,

X (e j ) x(n) e j n

N 1

X (e j )

l

X e j(2 / L)l x(n) e j(2 / L)ln ,

l

2 l / L, l

0,1..L 1

n 0

x(n)

x(n), 0 n N 1,

L 1

N 1

ˆ

ˆ

ˆ

x(n) e

j(2 / L)kn

j (2 / L)kn

0,

N n L 1,

X k

x(n) e

n 0

n 0

X k

X e

ˆ

j(2 / L)k

X(ej ), X9(k), X16(k)

­0.5

0

­0.5

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 40

Основные свойства ДПФ

Свойство

1. Линейность

2.Задержка

3.Частотный сдвиг

4. Свертка

5. Произведение

Последовательности с периодом N

xN(n), yN(n)

a xN(n)+b yN(n)

xN(n-n0)

2 xN k e- N n0k

xN(n) yN(n)

xN(n) yN(n)

N-точечное ДПФ

XN(k) YN(k)

a XN(k)+ b YN (k)

2 XN k e- N n0k

XN(k-n0)

XN(k) YN(k)

1 N-1 XN(m)YN(k -m)

N m=0

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 41