Частотная характеристика ЛПП

Пусть x(n)=ej n – дискретный комплексный гармонический сигнал. Тогда при прохождении его через ЛПП с ИХ h(n)

				{
			j (n m)			j m
y(n)		h(m) e		e		h(m) e
	m				1 4 42 4 43
				x(n)	m

H (e j )

Частотная характеристика ЛПП:

H (e j ) H (e j 2 k ) h(n) e j n , k 0, 1, 2,K

n

Преобразование Фурье для дискретных сигналов

Для непрерывных сигналов:

Xн ( j ) xн (t) e j t dt

xн (t) 1 Xн ( j ) e j t d

2

Для дискретных сигналов:

	X (e j ) x(n) e j n
		1
	x(n)		X (e j ) e j nd
		2

т.к. X(ej )=X(ej +2 k), k=0, 1, 2…

X(ej ) непрерывная и периодичная (период 2 )

Свойства ПФ для дискретных сигналов

Свойство

1. Линейность

2.Задержка

3.Частотный сдвиг

4.Свертка

5.Произведение

Последовательность x(n) y(n)

a x(n)+b y(n)

x(n-n0)

ej 0n x(n)

x(n) y(n)

x(n) y(n)

Преобразование Фурье X(ej ) Y(ej )

a X(ej )+ b Y(ej )

ej n0 X(ej )

X(ej( - 0))

X(ej ) Y(ej )

	1
		X (e j ) Y (e j( ) )d
	2

Соотношение между ПФ дискретных и непрерывных сигналов
	|X (j )|, |X(ej T)|		Re[x (t)]=x (t)
	н		н	н
- /T	0 0	/T 2 /T- 0 2 /T 0+2 /T3 /T			4 /T
-fд/2		fд/2	fд	3fд/2	2fд

X		e	j T			1		2	m
						’
						x		T
						T m
x(n, 0) , x(n, 0+2 /T), x(n, 2 /T- 0), x(nT, 0)
1
0.5
0						2T			3T	t
T										4T
­0.5
­1

Эффект наложения спектров (aliasing)
	|X (j )|, |X(ej T)|		max= д – без наложения
	н
	д/2	д	3 д/2	2 д	5 д/2
0						6 д
	|X (j )|, |X(ej T)|		max > д – наложения
	н
	ФНЧ

	д/2	д	3 д/2	2 д	5 д/2
0						6 д

	|X (j )|, |X(ej T)|		max = д – без наложения
	н
	д/2	д	3 д/2	2 д	5 д/2
0						6 д

Z-преобразование

Применяется для описания, синтеза и анализа ЛПП

Преобразование Лапласа

X (s) x(t) e st dt

s j

X ( , ) x(t) e t e j t dt

Z-преобразование

X ( , ) x(n) e n	e j n
n
e n r n , ln(r)
X (r, ) x(n) r n	e j n

n

X (z) x(n) z n , z re j

n

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 27

Z-плоскость
X (z) x(n) z n ,	z re j ,	r-радиус, -угол, ej - единичная окружность
n
1	Im(Z)
	r			ЛПП устойчива, если все
			Re(Z)	полюса находятся внутри
0		1		единичной окружности:
				rp<1
Для любой ЛПП X(z) можно представить в виде:

	M			M
X z A	1 zi z 1			ai z i	,	где zi – нули;
	i 1			i 0		pi – полюса.
	N			N
	1 pi z 1		1 bi z i
	i 1			i 1

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 28

Примеры Z-преобразования

x(n)	Z[x(n)]
u0(n)	1
u-1(n)	1/(1-z-1)
(-1)n	1/(1+z-1)
n	z-1/(1+z-1)2
n2	(z-1-z-2)/(1+z-1)3
an	1/(1-az-1)

x(n)

ej n

nan-1

ansin(n )

ancos(n )

Z[x(n)]

1/(1-ej z-1)

z-1/(1-az-1)2

az 1 sin

1 2az 1 cos a2 z 2

1 az 1 cos

1 2az 1 cos a2 z 2

Связь Z-преобразования и преобразования Фурье

X z		z ej X ej x n e j n
		n

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 29

Пример

Z1=e j /4 = 0.707 + j 0.707 Z2=e -j /4 = 0.707 ­ j 0.707 p1=0.9 e j /4 = 0.636 + j 0.636 p2=0.9 e -j /4 = 0.636 ­ j 0.636

|H(z)| |H(ej )|

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 30

Основные свойства Z-преобразования

	Свойство	Последовательность	Z-преобразование
		x(n) y(n)	X(z) Y(z)

1.	Линейность	a x(n)+b y(n)
2.	Задержка	x(n-n0)
3.	Частотный сдвиг	an x(n)
4.	Свертка	x(n) y(n)

5. Произведение

x(n) y(n)

a X(z)+ b Y(z)

z-n0 X(z)

X(z/a)

X(z) Y(z)

	1	ÑX v Y z / v	1
			v dv
	2 j
		c

Теоретические основы цифровой обработки сигналов. Слайд 31