I. Множественный корреляционно-регрессионный анализ.

Множественный корреляционно-регрессионный анализ

Парная корреляция и парная регрессия

1. Парная корреляция

2. Частная корреляция

3. Регрессионная зависимость и её выбор

Уравнение в натуральном масштабе ŷ =XB

Уравнение в стандартизованном виде

4. Частные и множественные коэффициенты детерминации

Пример моделей приведён в табл.1.

Таблица 1

Наиболее распространенные нелинейные модели

	Нелинейная модель	Преобразование исходных данных для перехода к линейному виду	Описываемые процессы
1.	Полиномиальная ŷ=a0+a1x1+a2x2^2+…+amxm^m	x11x12^2… x1m^m y*=y; x*= x12x22^2… x2m^m	Процессы, меняющие направление
2.	Линейно-логарифмическая ŷ=ax1^a1.x2^a2…xm^am	y*=lg(y); x*=||ajlgxij||
3.	Экспоненциальная ŷ=e ^a0+a1x1+…+amxm	y*=ln(y); x*=x
4.	Сложная экспоненциальная ŷ=1/(1+e ^a0+a1x1+…+amxm)	y*=ln(y^-1-e); x*=x
5.	Обратная ŷ=1/(a0+a1x1+a2x2^2+…+amxm^m)	y*=y^-1; x*=x

5. Оценка достоверности полученной модели и её параметрических характеристик.

А. Статистические оценки надежности регрессионной модели в целом:

• коэффициент множественной детерминации и корреляции;

• средний квадрат модельной ошибки;

• коэффициент аппроксимации;

• F-критерий Фишера.

В. Статистическая оценка надежности коэффициентов регрессии:

• t - критерий Стьюдента

С. Статистические оценки достоверности коэффициентов корреляции:

• t - критерий Стьюдента для частных и парных коэффициентов корреляции;

• F-критерий Снедекора для коэффициентов множественной детерминации.

Анализ проводить по принципу: от простого к более сложному:

а) рассматривать простейший случай линейной зависимости двух переменных Y и X, где Y ‑ зависимая переменная, Х ‑ факторная переменная;

b) произвести статистическое оценивание неизвестных параметров регрессионного уравнения b₀ и b₁ (Y= b₀ + b₁Х+U) и дисперсионной ошибки ²;

с) оценить качество регрессионной модели и параметрические значения: b₀, b_1, ²;

d) перейти к случаю с любым числом факторных переменных Х;

е) перейти на нелинейные регрессионные модели.

Исходные данные регрессионного анализа могут быть центрированы:

где ‑ средние значения.

Два особых случая регрессионной модели:

1) регрессионная модель не содержит параметра b₀;

2) регрессионная модель содержит один коэффициент регрессии:

Первый случай: Y_i= b₁Х_i+U_i , U_i N(0, ²);

Второй случай: Y_i= b₀ + U_i, U_i N(0, ²);

Авторегрессионая модель

y=Xb+Uy_i= bХ_i+U_i

U_i=  U_i-1 +_i

Авторегрессионая модель представляет случай коррелированности наблюдений, например, во времени (последующее событие часто зависит от совершения предыдущего).

34. Метод корреляционно-регрессионного анализа.

Термин «регрессия» ввел английский психолог и антрополог Ф.Гальтон.

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать закон распределения результативного показателя у. В статистической практике обычно приходится ограничиваться поиском подходящих аппроксимаций для неизвестной истинной функции регрессии Д(х), так как исследователь не располагает точным знанием условного закона распределения вероятностей анализируемого результатирующего показателя у при заданных значениях аргумента х.

Рассмотрим взаимоотношение между истинной f(х) = М(у/х). модельной регрессией у и оценкой у регрессии. Пусть результа–тив–ный показатель у связан с аргументом х соотношением:

у=2х^1,5 +?_i, 

где E_i – случайная величина, имеющая нормальный закон распределения, причем M_? = 0 и d_? – ?².

 Истинная функция регрессии в этом случае имеет вид:

f(х) = М(у/х) = 2х₁^1,5 1,5+?_i

Для наилучшего восстановления по исходным статистическим данным условного значения результативного показателя f(х) и неизвестной функции регрессии /(х) = М(у/х) наиболее часто используют следующие критерии адекватности (функции потерь).

Согласно методу наименьших квадратов минимизируется квадрат отклонения наблюдаемых значений результативного показателя yi(i= 1, 2, ..., п) от модельных значений yi = f(хi), где хi значение вектора аргументов в i – м наблюдении:

?(yi – f(хi)2 > min,

Получаемая регрессия называется среднеквадратической.

Согласно методу наименьших модулей, минимизируется сумма абсолютных отклонений наблюдаемых значений результативного показателя от модульных значений:

y_i = f (х_i)

И получаем среднеабсолютную медианнуюрегрессию:

Регрессионный анализ – это метод статистического анализа зависимости случайной величины у от переменных х_j-(j=1, 2, ...,k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины, независимо от истинного закона распределения х_j.