9. Мм на микроуровне

Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне — дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрических потенциалов, давлений, температур и т. п. Возможности применения ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.

.10. ММ на макроуровне

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10³, то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям на метауровне.

12. Общие сведения о моделировании на макроуровне

Использование ММ объекта в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных воз­можно только для очень простых технических систем, и даже в этом случае порядок аппроксимирующей алгеб­раической системы уравнений при моделировании в трех­мерном пространстве может достигать 10⁶ и более. Поэтому при моделировании на макроуровне в технической системе выделяются достаточно крупные элементы, кото­рые в дальнейшем рассматриваются в виде неделимой единицы. Непрерывной независимой переменной остает­ся (в сравнении с моделированием на микроуровне) только время. Математической моделью технической си­стемы на макроуровне будет система ОДУ.

Поведение большинства технических подсистем мож­но охарактеризовать с помощью фазовых переменных. Фазовые переменные образуют вектор неизвестных в ММ технической системы. Так, в электрической подсистеме фазовыми переменными являются токи и напряжения, в механической поступательной подсистеме - силы и ско­рости.

Математическую модель системы получают объеди­нением компонентных и топологических уравнений.

Законы функционирования элемента подсистемы (в дальнейшем - просто элемента) задаются компонентны­ми уравнениями, связывающими, как правило, разнород­ные фазовые переменные, относящиеся к данному эле­менту, т. е. компонентные уравнения связывают перемен­ные типа потока с переменными типа потенциала.

Компонентные уравнения могут быть линейными или нелинейными, алгебраическими, обыкновенными диффе­ренциальными или интегральными. Эти уравнения по­лучаются на основе знаний о конкретной предметной об­ласти. Для каждого элемента моделируемого техническо­го объекта должны быть получены компонентные урав­нения. Это может оказаться длительной и трудоемкой процедурой. Но эта процедура выполняется однократно с одновременным накоплением библиотеки подпрограмм моделей элементов.

Компонентные уравнения получают либо теоретиче­ски, либо физическим макетированием, либо математиче­ским моделированием на микроуровне.

Связь между однородными фазовыми переменными, относящимися к разным элементам подсистемы, задает­ся топологическими уравнениями, получаемыми на осно­ве сведений о структуре подсистемы. Для формирования топологических уравнений разработаны формальные ме­тоды. Очевидно, что процедура получения то­пологических уравнений выполняется для каждого моде­лируемого объекта, так как структуры объектов раз­личны.

В САПР целесообразно использовать математические и программные средства, обеспечивающие моделирова­ние всей номенклатуры проектируемых объектов и спо­собные адаптироваться к изменяющимся условиям экс­плуатации. Эти свойства достигаются, если применяемые средства имеют высокую степень универсальности. По­лучению универсальных средств способствует использо­вание аналогий между подсистемами различной физиче­ской природы и между моделирующими их компонент­ными и топологическими уравнениями.