13. Методика получения функциональных моделей

Получение моделей элементов (моделирование элементов) в общем случае — процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает проектировщик. В то же время такие операции, как расчет численных значений параметров модели, определение областей адекватности и др., алгоритмизированы и решаются на ЭВМ. Поэтому моделирование элементов обычно выполняется специалистами конкретных технических областей с помощью традиционных средств экспериментальных исследований и средств САПР.

Методы получения функциональных моделей элементов делят на теоретические и экспериментальные. Теоретические методы основаны на изучении физических закономерностей, протекающих в объекте процессов. Далее происходит определение соответствующего этим закономерностям математического описания, обоснование и принятие упрощающих предположений, выполнение необходимых выкладок и приведение результата к принятой форме представления модели. Экспериментальные методы основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов.

Несмотря на эвристический характер многих операций моделирования, имеется ряд положений и приемов, общих для получения моделей различных объектов. Достаточно общий характер имеют методика макромоделирования, математические методы планирования экспериментов, а также алгоритмы формализуемых операций расчета численных значений параметров и определения областей адекватности.

14. Метод получения топологических уравнений

Метод, основанный на использовании информации, заключенной в М-матрице (в матрице контуров и сече­ний),— наиболее удобный и общий метод получения то­пологических уравнений.

М-матрица строится на основании ориентированного графа эквивалентной схемы и выбранного для этого графа дерева. Количество столбцов матрицы соответст­вует числу ветвей дерева, а количество строк - числу хорд.

Процедура формирования М-матрицы заключается в следующем: каждая хорда графа поочередно вклю­чается в дерево, при этом образуется замкнутый контур; выполняется обход этого контура в направлении, задан­ном направлением хорды; в строке матрицы, соответст­вующей данной хорде, ставится +1, если направление ветви дерева совпадает с направлением обхода контура, -1, если направление ветви дерева противоположно, О, если ветвь не входит в данный контур.

Сечения дерева специально выбирать не надо. Уравнения для сечений получаются из М-матрицы, для построе­ния которой сечения не привлекаются.

Количество топологических уравнений равно количеству вет­вей эквивалентной схемы.

15. Метод конечных элементов

В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР. В математическом от­ношении метод относится к группе вариационно-разност­ных. Строгое доказательство таких важных свойств, как устойчивость, сходимость и точность метода, проводится в соответствующих разделах математики и часто пред­ставляет собой непростую проблему.

Тем не менее МКЭ активно развивается, с его помощью без строгого математиче­ского обоснования используемых приемов успешно решаются слож­ные технические проблемы. Пра­вильность же работы созданных алгоритмов и программ, реализу­ющих МКЭ, проверяют на извест­ных точных решениях. Начав раз­виваться как метод решения задач строительной механики, МКЭ быстро завоевал такие сферы ин­женерной деятельности, как про­ектирование самолетов и автомобилей, космических ракет, тепловых и электродвигате­лем, турбин, теплообменных аппаратов и др.

К основным преимуществам МКЭ относят доступ­ность и простоту его понимания и применимость метода для задач с произвольной формой области решения, возможность создания на основе метода высококаче­ственных универсальных программ для ЭВМ.

В МКЭ исходная область определения функции разбивается с помощью сетки, в общем случае неравно­мерной, на отдельные подобласти — конечные элементы. Искомая непрерывная функция аппроксимируется ку­сочно-непрерывной, определенной на множестве конеч­ных элементов. Аппроксимация может задаваться произвольным образом, но чаще всего для этих целей ис­пользуются полиномы, которые подбираются так, чтобы Обеспечить непрерывность искомой функции в узлах на границах элементов.