16. Метод конечных разностей

Метод конечных разностей исторически начал развиваться раньше МКЭ и является старейшим методом решения краевых задач.

Алгоритм МКР состоит из этапов, традиционных для метода сеток:

Этап 1. Построение сетки в заданной области. В МКР используется сетка, задаваемая конечным множеством узлов. В узлах сетки определяются приближенные значения φ_h искомой функции φ. Совокупность узловых значений φ_h называют сеточной функцией.

Этап 2. Замена дифференциального оператора в исходном дифференциальном уравнении разностным аналогом L_h , построенным по одной из схем рассмотренных ниже. При этом непрерывная функция φ аппроксимируется сеточной функцией φ_h.

Этап 3. Решение полученной системы алгебраиче­ских уравнений.

При кажущейся простоте алгоритма МКР его прак­тическая реализация наталкивается на ряд трудностей. Для выяснения их природы целесообразно рассмотреть основные этапы МКР более подробно.

Построение сетки в заданной области. В МКР используются, как правило, регулярные сетки, шаг которых либо постоянен, либо меняется по несложному закону. Примеры построения сеток в МКР даны на рис. 1.15. Для одномерных областей построение сетки мало чем отличается от аналогичной процедуры в МКЭ. Отрезок длиной L разбивается на N частей (рис. 1.15, а). Расстояние между двумя соседними узлами называется шагом сетки при i=l, 2, ..., N.

При регулярной сетке шаг h_i — постоянная вели­чина, равная 1/(N—1), где N — количество узлов сетки.

17. Метод граничных элементов

Метод Граничных Элементов  - это вычислительный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных, которые формулируются в виде интегральных уравнениях (граничных интегральных уравнений). Он применяется во многих областях инженерии и науки, включая механику жидкости и газа, акустику, электромагнетизм. МГЭ в определенных случаях оказывается более эффективным в смысле вычислительных ресурсов, чем другие методы, включая Метод Конечных Элементов (МКЭ). В МГЭ рассматривают систему уравнений, включающую только значения переменных на границах области. Схема дискретизации требует разбиения лишь поверхности, а не всей области (отсюда и название метода), так что область становится одним сложным большим “элементом” (в смысле МКЭ). Очевидно, что дискретизация границы порождает меньшую систему общих уравнений задачи, чем дискретизация всего тела. Таким образом, МГЭ уменьшает размерность исходной задачи на единицу, т. е. для трехмерных задач получаются двумерные граничные элементы на поверхности. Применение МГЭ обычно приводит к плотно заполненным матрицам. Это означает, что требования к ресурсам памяти и время вычисления будут расти пропорционально квадрату размера задачи. В то время как, матрицы в МКЭ более разряжены, так как элементы соединены только локально, и требования к ресурсам памяти растут линейно с ростом размера задач. Техники компрессии, например мультипольное разложение (Быстрый Метод Мультиполей, БММ) могут быть использованы для решения этой проблемы, правда ценой повышения сложности программирования. В Центре МГЭ применяется для развития эффективных вычислительных методов и средств для прямого математического моделирования дисперсных систем. Ускорение вычислений МГЭ достигается применением БММ и использованием графических процессоров. Развиваемые программные продукты способны производить прямое моделирование десятков тысяч капель в потоке эмульсии.