18. Аналогии компонентных уравнений

В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших элементов:

A. Элемент типа R - элемент диссипации энергии. На этом элементе, как правило, происходит преобразование энергии в тепловую.

Б. Элемент типа С.

B. Элемент типа L.

На элементах типа С и L происходит накопление по­тенциальной или кинетической энергии.

Сочетанием этих простейших элементов, а также ис­точников фазовых переменных может быть получена ММ технического объекта практически любой сложности.

Рассмотрим основные физические подсистемы с точ­ки зрения аналогий компонентных уравнений.

Для каждой физической подсистемы характерны свои законы, однако для простейших элементов форма выра­жающих их уравнений оказывается одинаковой.

Электрическая подсистема. Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи I и напряже­ния U. Запишем уравнения трех типов простейших эле­ментов:

A. Уравнение сопротивления (закон Ома) I=U/R, где R - электрическое сопротивление.

Б. Уравнение емкости I=C(dU/dt), где С - электри­ческая емкость.

B. Уравнение индуктивности U=L(dI/dt), где L - электрическая индуктивность.

Механическая поступательная подсистема. Фазовые переменные механической поступательной подсистемы - силы F и скорости V - соответственно аналоги токов и напряжений.

Механическая вращательная подсистема. Фазовые переменные этой подсистемы - моменты сил М и угло­вые скорости ω- соответственно аналоги токов и на­пряжений.

Гидравлическая (пневматическая) подсистема. Фа­зовые переменные гидравлической подсистемы - массо­вые расходы Q_m и давления Р - соответственно аналоги токов и напряжений

Тепловая подсистема. Фазовые переменные этой под­системы - тепловые потоки Ф и температура Т - соот­ветственно аналоги токов и напряжений.

19. Аналогии топологических уравнений

Топологические уравнения в большинстве физиче­ских подсистем базируются на уравнениях равновесия и уравнениях непрерывности.

Рассмотрим аналогии топологических уравнений в различных физических подсистемах по отношению к электрической подсистеме.

Электрическая подсистема. Связи между отдельны­ми элементами этой подсистемы устанавливаются на ос­нове законов Кирхгофа.

Уравнение первого закона Кирхгофа устанавливает равенство нулю суммы токов в узлах схе­мы, т. е. = 0 (уравнение равновесия), гдеI_k – ток k-й ветви; р - множество номеров ветвей, инцидентных рассматриваемому узлу.

Из уравнения второго закона Кирхгофа видно, что сумма падений напряжений на элементах схемы при их обходе по произвольному контуру равна нулю, т. е. = 0 (уравнение непрерывности), гдеj - номер ветви; Uj - падение напряжения на j-й ветви схе­мы, входящей в контур; q здесь и далее - множество но­меров ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Механическая поступательная подсистема. Анало­гом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение принципа Даламбера: сумма сил, действующих на тело, включая инерционные, равна ну­лю, т. е. = 0, где F_k - сила, приложенная к телу.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа будет уравнение принципа сложения ско­ростей: абсолютная скорость является суммой относи­тельной и переносных скоростей, или же сумма этих трех скоростей равна нулю (переносных скоростей может быть несколько: с первого тела на второе, со второго на третье и т. д.), т. е.

Для механических плоскостных и пространственных систем рассмотренные принципы применимы, если Fk и Vj представить в виде векторных величин, когда приве­денные выше уравнения справедливы для каждой коор­динатной оси, например для пространственных систем

=0; =0;=0;=0;=0;=0;

где F_kx, F_ky, F_kz - соответственно проекции сил на оси х, у, z; V_jx, V_jy, V_jz - соответственно проекции скорости на оси х, у, z.

Механическая вращательная подсистема. Анало­гом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение принципа Даламбера для враща­тельных подсистем, т. е. = 0, где М_k - момент силы, действующий относительно оси вращения, включая момент, вызванный моментом инерции.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа является уравнение принципа сложения угловых скоростей вдоль оси вращения, т. е. = 0.

Гидравлическая (пневматическая) подсистема. Ана­логом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т. е. = 0, гдеQ_mk - поток, подтекающий или оттекающий от узла.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа является уравнение неразрывности под­системы, т. е. =0 - сумма падений давлений при обходе по контуру равна нулю; Р)-падение давления на ветви, входящей в контур.

Тепловая подсистема. Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т. е. = 0 - сумма тепловых потоков в узлах подсистем равна нулю, где Ф_k - тепловой поток, подтекающий или оттекающий от узла.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа является уравнение непрерывности, т. е= 0 - сумма разностей температур при обходе по замкнутому контуру равна нулю, гдеT_j - разность тем­ператур на участке, входящем в контур.

Таким образом, во всех рассмотренных подсистемах можно установить аналогии переменных типа потока и типа потенциала.