algebra lecture 1stcourse 1st semester

отличаются на ненулевой множитель из Р. Наоборот, если т – наименьшее общее кратное для f и g , то а Р, а ≠ 0, ат - также наименьшее общее кратное для f и g, и значит, {am |а Р, а ≠ 0} – множество всех наименьших общих кратных для f и g.

Определения.

1.Многочлен D называется наибольшим общим делите-

лем многочленов f и g , если D имеет наибольшую степень среди всех общих делителей f и g.

2.Многочлены f и g называются взаимно простыми, если 1 является их наибольшим общим делителем.

Теорема. 1) Если т – наименьшее общее кратное для f и g, то D =(fg)/m – их наибольший общий делитель. 2) Если d -

общий делитель многочленов f и g, а D′ – их наибольший общий делитель, то d |D′.

Доказательство. Очевидно, D | f, так как f / D = m /g = =h P[x]. Аналогично, D | g. Следовательно, D - общий делитель для f и g. Если d – произвольный общий делитель для f и g , то M = (fg)/d – общее кратное для f и g , так как М / f = = g / d P[x] и аналогично М / g P[x]. По предыдущей тео-

реме т | M, то есть М = qm (fg)/d = q(fg) / D D =qd d |D ст.D ≥ ст.d D – наибольший общий делитель для f и g.

Теперь если D′ – произвольный наибольший общий делитель многочленов f и g, то ст.D′= ст.D, и D′|D D = aD′,

а Р d |D′.

Следствия.

1.Если D – наибольший общий делитель многочленов f

иg, то {aD | a P, a ≠ 0} – множество всех наибольших общих делителей многочленов f и g .

2.Если f и g – взаимно простые многочлены, то fg является их наименьшим общим кратным.

Определение. Пусть т, п N. Разделить т на п с ос-

татком – это найти такие q и r, что m = nq + r, 0 ≤ r < n .

91

Замечание. Для множества N натуральных чисел можно дать определения, аналогичные определениям из 10.3 и доказать теоремы, аналогичные теоремам из 10.2, 10.3.

Упражнение. Сформулировать и доказать теоремы, аналогичные теоремам из 10.2, 10.3, для N.

10.4. Алгоритм Евклида.

Пусть f, g P[x], g ≠ 0. Разделим f на g с остатком и обозначим остаток r1. Далее разделим g на r1 c остатком и обозначим остаток r2. Затем разделим r1 на r2 c остатком и обозначим остаток r3 и т.д. Описанная процедура называется алгоритмом Евклида. Запишем её в следующую таблицу:

f = gq1 + r1, ст.r1 < ст.g, g = r1q2 + r2, ст.r2 < ст.r1, r1= r2q3 + r3, ст.r3 < ст.r2,

……………………………… Так как ст.g > ст.r1 > ст.r2 >…≥ -∞,

то процедура закончится за конечное число шагов:

rk-3= rk-2qk-1 + rk-1, ст.rk-1 < ст.rk-2,

rk-2= rk-1qk + rk, ст.rk < ст.rk-1,

rk-1= rkqk+1, то есть rk+1 = 0.

Лемма. Множество делителей для f и g совпадает с множеством делителей для g и r1.

Доказательство. Очевидно, если многочлен d | f , d | g ,

то d | g , d | r1, так как r1= f – gq1. Наоборот, если d | g , d | r1, то d | f , d | g.

Следствия.

1. Множество делителей для f и g совпадает с множеством делителей для r1 и r2 , с множеством делителей для r2 и r3 , …, с множеством делителей для rk-1 и rk , с множеством делителей для rk .

2. Множество наибольших общих делителей для f и g совпадает с множеством наибольших общих делителей для rk, то есть rk - один из наибольших общих делителей для f и g.

Таким образом, алгоритм Евклида служит для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов.

92

Обозначим наибольший общий делитель rk для f и g через D, и выразим его из предпоследней строки алгоритма Евклида: D= rk= rk-2 – rk-1qk. Затем поднимемся на одну строку вверх, выразим rk-1 через rk-3 и rk-2 и подставим это выражение в нашу формулу для D. Получим D = и1rk-3+v1rk-2 для некоторых и1, v1 P[x]. Далее поднимемся ещё на одну строку вверх, выразим rk-2 через rk-4 и rk-3 и снова подставим это выражение в нашу формулу для D. Получим D= и2rk-4+v2rk-3 для некоторых и2, v2 P[x]. И так далее. В конце концов получим выражение D через f и g : D= uf + vg, где u, v P[x].

Таким образом, в качестве следствия из алгоритма Евклида доказано следующее

Утверждение 1. Если D - наибольший общий делитель для f, g P[x], то u, v P[x] такие, что D = uf + vg .

Утверждение 2. В выражении D = uf + vg можно выбрать u, v так, что ст.и < ст.g, ст.v < ст.f.

Доказательство. Разделим и на g c остатком: и= gq+ r1,

ст. r1< ст.g. Тогда

D = uf + vg = (gq + r1) f + vg =r1f + (qf+ v)g = r1f + v′g , где v′= (qf+ v), и ст.(v′g) ≤ ст.(r1f) ст.v′< ст.f.

Упражнение. Написать алгоритм Евклида для N, сформулировать и доказать для N утверждения, аналогичные лемме, следствиям и утверждениям из 10.4.

10.5. Однозначность разложения на простые множители в P[x] и в N.

Определение. Элемент р кольца K называется простым, если из разложения р = rs, r, s K, следует, что или r |1 или s |1. В кольце P[x] простые многочлены называют ещё неприводимыми многочленами.

Определение. Говорят, что в кольце К разложение на простые множители квазиоднозначно, если а K, а ≠ 0, из существования разложений на простые множители

93

а = р1р2…рk = q1q2…qs (где все		рi , qj	– простые элементы
кольца K) следует, что k = s,	и, может быть, после перенуме-
рации мы можем получить	рi =	q ic i	i, где c i | 1.

Теорема. В кольце P[x] разложение на простые многочлены существует.

Доказательство от противного. Пусть в P[x] разложение на простые многочлены не существует. Значит, f P[x], для которого не существует разложение на простые многочлены. Следовательно, f – не простой (иначе разложение на простые многочлены для f существует и состоит из одного множите-

ля). Если f – не простой, то f	= а1а2 , где	а1, а2 P[x],
ст.а1> 0, ст.а2 > 0, и либо для а1,	либо для а2	разложение на

простые множители не существует. Пусть не существует разложение на простые многочлены для а1. Очевидно,

ст.f > ст.а1, и а1 - не простой а1 = b1b2 , где b1, b2 P[x], ст.b1> 0, ст.b2 > 0, и либо для b1, либо для b2 разложение на простые множители не существует. Пусть не существует для

b1 ст.a1 > ст.b1, и b1 - не простой b1 = c1c2 и т.д. С одной стороны процесс никогда не закончится, а с другой

стороны ст.f > ст.а1> ст.b1>…, и процесс до бесконечности продолжаться не может. Получили противоречие.

Лемма. Пусть h и f - взаимно простые, и h | (fg). Тогда h | g.

Доказательство. Так как h и f - взаимно простые, то hf является их наименьшим общим кратным, а fg - их общее кратное по условию леммы. По теореме из 10.3 (hf) |(fg), то есть h | g.

Теорема. В кольце P[x] разложение на простые многочлены квазиоднозначно.

Доказательство. Пусть для некоторого f P[x] имеем разложения f = р1р2…рk = q1q2…qs (где все рi , qj – простые многочлены кольца P[x]). Очевидно, р1| q1(q2…qs), и если р1 и q1 – взаимно простые многочлены, то по лемме р1| (q2…qs).

94

Аналогично, если р1 и q2 – взаимно простые, то р1| (q3…qs), и т.д. В конце концов мы получим, что существует i такое, что р1 и qi – не взаимно простые, то есть qi = с1р1, с1 P. Сократив равенство р1р2…рk = q1q2…qs на р1, получим р2…рk = с1q1q2… qˆí …qs (крышка над qi означает, что множи-

тель qi отсутствует). Далее переходим к р2. Как и ранее, получим, что для р2 существует qj такой, что qj = с2р2, с2 P. Опять сокращаем равенство на р2 и переходим к р3, и т.д. После сокращения на все левые множители р1, р2,…, рk, получим, что k = s и 1 = с1с2…сk .

Упражнение. Сформулировать и доказать существование и однозначность разложения на простые множители в N.

Лекция 22.

10.6. Производная.

Пусть f(х) P[x], ст.f = n. Тогда f(х+у) P[x, у]. Рассмотрим F(x,y)= f(х+у) – f(х) = ап(х)у п+ ап-1(х)у п-1 +…+ а0(х).

Так как F(x,0)= f(х) – f(х) = 0, то а0(х)= 0Р[x] у | F(x,y) F(x,y) = yF1(x,y), где F1(x,y) P[x, у].

Определение. Производной многочлена f(х) называется многочлен f′(х)= F1(x,0).

	Очевидно, f′(х) = F1(x,у)|y=0 =	f (x + y) − f (x)		, и для
		y
				y=0

многочленов над полем R наше определение совпадает с оп-

ределением из математического анализа, так как lim F1 (x, y) =

y→0

= F1(x,0).

Свойства производной.

1.	Если f(х) = а, а P, то f′(х) = 0.
2.	Если f(х) = х, то f′(х) = 1.

Упражнение. Доказать очевидные свойства 1,2. 3. (f(х)+g(х))′= f(х)′+g(х)′.

95

Доказательство. Пусть h(x)= f(х)+g(х). Сложим два ра-

венства: f(х+у) – f(х) = yF1(x,y) и g(х+у) – g(х) = yG1(x,y). Получим: h(х+у) – h(х) = yH1(x,y), и h′(х) = H1(x,0)= F1(x,0)+ +G1(x,0), то есть (f(х)+g(х))′= f(х)′+g(х)′.

По индукции можно доказать эту формулу для любых п слагаемых.

4. (f(х)g(х))′= f(х)′g(х)+ f(х)g(х)′.

Доказательство. Пусть h(x)= f(х)g(х). Перемножим два равенства: f(х+у) = f(х) + yF1(x,y) и g(х+у) = g(х) + yG1(x,y).

Получим: f(х+у)g(х+у)=f(х)g(х)+yF1(x,y)g(х)+yG1(x,y)f(х)+ + y2F1(x,y)G1(x,y) H1(x,y) = (h(x+y) – h(x))⁄y = F1(x,y)g(х)+ +G1(x,y)f(х) + yF1(x,y)G1(x,y) h′(x) = F1(x,0)g(х)+ G1(x,0)f(х)

(f(х)g(х))′= f(х)′g(х)+ f(х)g(х)′.

5. k N (f(х)k)′= k f(х)k-1f(х)′.

Доказательство индукцией по k.

При k = 1 утверждение очевидно.

Пусть утверждение верно для k. Докажем его для k+1. (f(х)k+1)′= (f(x)f(х)k)′= f(x)′f(х)k + f(x)(f(х)k)′= f(x)′f(х)k +

+ f(x) k f(х)k-1f(х)′= (k+1) f(х)k f(х)′.

Следствия.

1.(хk)′= k хk-1

2.(апх п+ ап-1х

Замечания.

k N.

п-1+…+ а0)′= nапх п-1+(n – 1)ап-1х п-2+…+ а1.

1.Во всех наших формулах kb = b+b+…+b – сумма из k слагаемых.

2.Формулы для производных многочленов у нас получились такие же, как и в математическом анализе. Надо лишь

только учитывать, что если charP ≠ 0, то некоторые слагаемые могут быть равны 0. Так например, если charP = р, то

(хр)′= 0.

10.7. Кратные корни многочлена.

Далее в 10.7 будем считать, что charP = 0.

Определение. Пусть f(x)= p(x)kg(x), где p(x) - простой многочлен в P[x], и p(x) не делит g(x). Тогда k – называется кратностью множителя p(x) в разложении f(x). Если k ≥ 2,

96

то множитель p(x) называется кратным. Если р(х) = х – а,

то есть f(x)= (x – а)kg(x), и (х – а) не делит g(x), то k – назы-

вается кратностью корня а многочлена f(x). Если k ≥ 2, то корень а называется кратным, а если k = 1, то корень а называется простым.

Теорема. Если кратность простого множителя p(x) в разложении f(x) равна k, то кратность p(x) в разложении f′(x) равна k – 1.

Доказательство. Так как f′(x)=kp(x)k-1p(x)′g(x)+p(x)kg(x)′= = p(x)k-1(kp(x)′g(x)+p(x)g(x)′), то p(x)k-1| f′(x). Покажем, что p(x) не делит (kp(x)′g(x)+p(x)g(x)′). В самом деле, если мы предположим, что p(x)| (kp(x)′g(x)+p(x)g(x)′), то получим, что p(x)| (kp(x)′g(x)). Но p(x) и g(x) – взаимно простые p(x)| p(x)′- противоречие, так как ст.p(x)′= ст.p(x) – 1.

Теорема. У f(x) существуют кратные простые множители тогда и только тогда, когда f и f′ не взаимно простые.

Доказательство. Пусть f(x)= р1 k1 р2 k2 …рs ks - разложение f на простые множители. Тогда f′(x)= р1 k1 −1 р2 k2 −1 … рs ks −1 h(x), и h(x) не делится на рi i. Следовательно, D= р1 k1 −1 р2 k2 −1 …рs ks −1 является наибольшим общим делителем для f и f′. Таким образом, f и f′ не взаимно простые, то есть D ≠ 1 ki> 1.

Если необходимо решить уравнение f(x)= 0, и многочлен f(x) содержит кратные множители, то мы можем перейти к эквивалентному уравнению меньшей степени следующим образом. С помощью алгоритма Евклида найдем D – наибольший общий делитель для f и f′. Затем разделим f на D: f ⁄D = р1р2…рs . Очевидно, уравнение f ⁄D = 0 эквивалентно первоначальному уравнению, то есть имеет те же корни. Операция перехода к уравнению f ⁄D = 0 называется освобождением от кратных множителей или освобождением от кратных корней.

10.8. Основная теорема алгебры.

97

Определение. Поле K называется алгебраически замкну-

тым, если f(x) K[x], ст.f > 0, α K такой, что f(α )= 0.

Основная теорема алгебры. Поле комплексных чисел С алгебраически замкнуто.

Доказательство см., например, в §23 Курса высшей алгебры А.Г. Куроша.

Следствие. Если f(x) C[x], ст. f(x)= п > 0, то с1 С

такой, что f(с1)= 0, и по теореме Безу f(х)= (х – с1)g(x). Далее если ст.g(x)> 0, то с2 С такой, что g(с2)= 0, и

g(х)= (х – с2)h(x) f(х)= (х – с1)(х – с2)h(x) и т.д. В конце

концов мы получим, что f(х) = (х – с1)(х – с2)…(х – сп) а, где а= ап - коэффициент при старшей степени х многочлена f.

Следовательно, любой многочлен в C[x] степени п имеет п корней (с учетом кратностей) и раскладывается в произведение п множителей 1-й степени.

10.9. Формулы Виета. Пусть f(x) = х п + ап-1х п-1+…+ а0 –

многочлен из P[x], ст.f(x) = n, и с1, с2,…,сп – корни многочлена f(x) (такая ситуация будет иметь место всегда, если поле Р алгебраически замкнуто). Тогда

f(x) = (х – с1)(х – с2)…(х – сп). Раскрывая скобки в правой час-

ти и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х
слева и справа, получим, что ап-1 = – с1 – с2 –…– сп = - σ1,
ап-2 = ∑cicj	= σ2, ап-3= - ∑cicjck = -σ3,…, а0 = (-1)пс1с2…сп =
i, j	i, j,k

=(-1)пσп, где σ1= с1+ с2+…+ сп , σ2= ∑cicj	, σ3 = ∑cicjck ,…,
i, j	i, j,k

σп = с1с2…сп - так называемые элементарные симметрические многочлены от с1, с2,…, сп. Полученные формулы называются формулами Виета.

10.10.Разложение многочлена на простые множители

вС[x] и в R[x].

1. Пусть f(x) C[x], ст. f(x)= п. Тогда по следствию к основной теореме алгебры f(x) можно разложить в произведение п множителей 1-й степени, и значит, при п>1 f(x) – не простой многочлен. Следовательно, в С[x] простыми

98

многочленами являются лишь многочлены 1-й степени, и наоборот, любой многочлен 1-й степени является простым.

2. Для f(x)= апхп+ ап-1хп-1+…+ а0 С[x] пусть по опреде-

лению		(x) =	a	хп+	a	хп-1+…+	a	, где все	a		- комплексные
	f									s
			n		n−1	0

числа, сопряженные к аs . Очевидно, f (x) = f(x) f(x) R[x],

и z C f (z) = f (z) .

Пусть f(x) R[x] С[x], ст. f(x)> 0, и f(z) = 0, z C. То-

гда f (z) = f (z) = f( z )= 0 = 0 если z – корень многочлена

f, то z - также корень f. Таким образом, множество комплексных недействительных корней многочлена разбивается

на пары взаимно сопряженных. Если z = α + iβ, z =α - iβ, то f(x)= (х – z)(x – z )g(x), и (х – z)(x – z )= х2 – 2αх + (α2 +β2) –

простой многочлен в R[x], дискриминант которого (– 4β2)< 0. Следовательно, если ст. f(x)> 2, то f(x) – не простой многочлен, так как либо он имеет действительный корень и, соответственно, множитель 1-й степени, либо пару комплексно сопряженных недействительных корней и, соответственно, множитель 2-й степени. Значит, простые многочлены в R[x]

– это либо многочлены 1-й степени, либо 2-й степени с отрицательным дискриминантом.

Замечание. Если f(x) R[x], ст.f(x)= п, и с1,c2,…,ck – все

действительные корни, z1, z1 ,…,zm, zm - все комплексные кор-

ни многочлена f(x), то k+2m = n, и значит, 1) если п – нечетное число, то k > 0, и действительные корни у f(x) существуют; 2) k ≡ n (mod2), то есть числа k и n имеют одинаковую четность.

Лекция 23.

11. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

11.1. Построение поля отношений.

Пусть А – произвольное АКУ-кольцо без делителей нуля.

99

Рассмотрим множество М = {(a, b)| a, b A, b ≠ 0 }. Введем на М отношение π следующим образом: пусть по определе-

нию (a, b)π (с, d) (ad = bc).

Упражнение. Проверить, что π - отношение эквивалентности на М.

Пусть K= M ⁄π . Элементами множества K являются всевозможные классы clπ(a, b), где (a, b) М. Будем обозначать

clπ(a, b) в виде	a	. Очевидно, a	и с ≠ 0	ac	=	a	, так
	b	b		bc		b
как (ac,bc)π(а,b)		и bc ≠ 0.

I. Введем на множестве K операции сложения и умноже-

ния. Пусть по определению clπ(a, b) + clπ(с, d)= clπ(ad+bc,bd),

то есть			a		+		c		=	ad + bc	, и clπ(a, b) clπ(с, d)= clπ(ac, bd), то
			b				d			bd
								ac
есть	a			c		=				. Очевидно, bd ≠ 0, то есть пары (ad+bc,bd),
	b			d				bd

(ac, bd) М, и значит, классы clπ(ad+bc,bd) и clπ(ac, bd) оп-

ределены.

Упражнение. Проверить корректность определения операций, то есть независимость определения от выбора представителей в классах. Иначе, если (a,b)π(a1,b1), (c,d)π(c1,d1), то необходимо проверить, что (ad+bc,bd)π (a1d1+b1c1,b1d1) и

(ac, bd)π (a1c1, b1d1).

II. Проверим, что на множестве K выполняются 9 свойств из определения поля.

2.

Очевидно, b ≠ 0

(0, b)π (0, 1), и

0

= 0K

– нейтрал

1

по сложению в K (проверить!).

3.

Проверить, что –

a

= −a .

b

b

b

1

1

6.

Очевидно, b≠ 0

(b, b)π(1, 1), то есть

=

и

= 1K –

b

1

1

нейтрал по умножению в K .

100