algebra lecture 1stcourse 1st semester

. Если базис е = {е1,…, еn } состоит из собственных векторов л.о. ϕ , с собственными значениями λ1,…,λп , то i=1,…,п

ϕ еi= λi еi [ϕ ] = diag(λ1,…,λп).

е

Рассмотрим, при каких условиях в Ln существует базис из собственных векторов л.о. ϕ.

Лемма. Собственные векторы л.о. ϕ, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть s1,…, sk – собственные векторы л.о. ϕ с различными собственными значениями λ1,…,λk. Проведем доказательство индукцией по k .

При k = 1 вектор s1 линейно независим, так как s1 ≠ 0. Пусть для k - 1 утверждение верно, то есть s1,…, sk-1 линейно независимы. Покажем, что тогда s1,…, sk-1, sk линейно

независимы. Предположим, что

α1s1+…+αk-1sk-1+αk sk = 0.

(17.1)

Применим к левой и правой частям этого равенства л.о. ϕ . Получим :

α1λ1s1+…+αk-1λk-1sk-1+αkλksk = 0.

(17.2)

Теперь умножим равенство (17.1) на λk и вычтем его из

(17.2). Получим α1(λ1 -λk)s1+…+α k-1(λ k-1 -λk)sk-1= 0. Но s1,…, sk-1 линейно независимы α1(λ1 -λk)=…=α k-1(λ k-1 -λk)= 0 α1=…=α k-1=0, так как λ1 -λk ≠ 0,…, λ k-1 -λk ≠ 0. Теперь из

(17.1) получаем, что α k sk = 0 α k= 0 (так как sk ≠ 0) s1,…,sk - линейно независимы.

Пример. В линейном пространстве L = С∞(-∞, +∞) бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой для л.о. ϕ = d/dx: С∞(-∞, +∞) → С∞ (-∞, +∞) (см. пример из

п.16.4) векторы еаx являются собственными векторами, и поэтому любая система векторов { еаx,еbx,…,есx} с различными а, b,…,с – линейно независима.

Теорема 2 (достаточное условие диагонализируемости).

131

Если характеристический многочлен χϕ(t) линейного оператора ϕ : Ln → Ln имеет п различных корней в поле Р, то в Ln существует базис из собственных векторов (в котором матрица [ϕ ] – диагональна).

Доказательство. Действительно, в этом случае по лемме в Ln существуют п линейно независимых собственных векторов л.о. ϕ, которые образуют базис из собственных векторов (в котором по теореме 1 матрица [ϕ ] – диагональна).

Замечание. Условие в теореме 2 достаточное, но не необходимое: л.о. id : Ln → Ln имеет единственное собственное значение λ1 =1, но любой базис пространства Ln состоит из собственных векторов л.о. id.

Рассмотрим, почему л.о. ϕ : Ln → Ln может не быть диагонализируемым. Во-первых, это может быть из-за того, что поле Р не алгебраически замкнуто, и характеристический многочлен χϕ(t) имеет в Р меньше, чем п корней. Например, для поворота плоскости на угол π/2 характеристический многочлен t2+1 не имеет действительных корней, и, очевидно, собственных векторов для этого поворота также нет. Вовторых, для некоторого собственного значения λ0 Р кратности k >1 число соответствующих линейно независимых

собственных векторов может быть меньше, чем		k (см. тео-
рему 3). Например, для л.о. ϕ с матрицей [ϕ ]=		1	1	в ба-
		0
			1

зисе е = {е1, е2 }, очевидно, λ1,2 =1- собственное значение кратности 2, но существует лишь один соответствующий линейно независимый собственный вектор – это е1.

Теорема 3. Пусть Ln – линейное пространство над полем Р, ϕ : Ln → Ln - линейный оператор, λ0 – корень характеристического многочлена χϕ(t) кратности k ≥ 1. Тогда число линейно независимых собственных векторов оператора ϕ с собственным значением λ0 не превосходит k .

132

Доказательство. Пусть dim Ker(λ0 id - ϕ)= m, {s1,…,sm} –

базис подпространства Ker(λ0 id - ϕ) (m – это и есть максимальное число линейно независимых собственных векторов оператора ϕ с собственным значением λ0 ). Дополним систему векторов {s1,…, sm} до базиса е всего пространства Ln:

е = {s1,…, sm, аm+1,…, ап}. Тогда [ϕ ]=	λ		Е	m	В	,
	=	0
е		0			С

где Еm – единичная (m× m)-матрица, 0 – нулевая (n – m)× m- матрица, В – некоторая m×(n – m)-матрица, С - некоторая

(n – m)× (n – m)-матрица.	Характеристический многочлен
χϕ(t)= det(tЕ - [ϕ ])=det	(t −λ0 )Еm		−В	m	g(t), где
		0		=(t -λ0)
е			tЕ-С

g(t) – некоторый многочлен от t. Поэтому k ≥ m, то есть максимальное число линейно независимых собственных векторов оператора ϕ с собственным значением λ0 не превосходит кратности корня λ0 в характеристическом многочлене.

Лекция 29.

18. ЕВКЛИДОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

18.1. Определения, примеры.

Определение. Линейное пространство Е над полем R на-

зывается евклидовым пространством, если на Е фиксирова-

на функция двух векторных аргументов х, у Е со значениями в R, которая называется скалярным произведением, обозначается (х, у), и обладает свойствами

1.(х + у, z) = (х, z) + (у, z) х, у, z Е,

2.(αx, y) = α (x, y) х, у Е, α R,

3.	(x, y) = (y, x) х, у Е,
4.	(x, x) > 0 х Е, x ≠ 0.

Свойства 1, 2 означают линейность скалярного произведения по первому аргументу, свойство 3 называется симмет-

133

ричностью скалярного произведения, свойство 4 называется

положительной определённостью.

Следствия из определения.

1. (х, у+ z) = (у+ z, х)= (у, х)+ (z, х)= (х, у)+ (х, z) х, у, z Е. 2. (y, αx) = (αx, y) = α (x, y)= α (y, x) х, у Е, α R.

Следовательно, скалярное произведение – это билинейная симметричная положительно определенная функция.

3. (0Е, х) = (0R 0Е ,x) = 0R (0Е ,x) = 0R (0Е , 0Е) = 0.

			n	n
4. Пусть е = {е1,…, еn } – базис в Е, x = ∑xiei				, y =∑yjej .
			i=1	j=1
n	n	n		n
Тогда (x,y)= ( ∑xiei ,	∑yjej )= ∑xi yj (ei , ej ) = ∑xi y jγi, j , где
i=1	j=1	i, j=1		i, j=1
γi,j = (ei,еj), а матрица Г =		Г = (γi,j) называется матрицей Гра-
		е
	n	n	n
ма. Очевидно, (x, y) = ∑xiγi, j yj = ∑xi ∑γi, j				yj = [ x ] t Г [ y ],
	i, j=1	i=1	j=1	e	e

и Г t = Г.

5. Легко видеть, что подпространство евклидова пространства является евклидовым пространством.

Примеры.

1. Хорошо известными примерами евклидовых пространств являются множества векторов на плоскости и в трёхмерном пространстве, состоящие из векторов – направленных отрезков, для которых скалярное произведение определяется фор-

мулой (х, у) = |х| |у| cosα , где α - угол	между векторами х
и у.
2. Для пространства Rn строк длины п	определим скалярное

произведение следующим образом: пусть для х = (х1,…,хп),

у= (у1,…,уп) по определению (х, у) = х1у1 +…+ хп уп. Как мы увидим далее, полученное евклидово пространство является

«типичным».

3. Для пространства C[a,b] непрерывных функций на отрезке

[a,b] пусть по определению (f,g)= ∫b	f (x)g(x)dx f,g C[a,b].
a

134

Упражнение. Доказать, что в примерах 1-3 для скалярного произведения выполняются свойства 1-4 из определения евклидова пространства, то есть указанные пространства являются евклидовыми.

Определения.

1. Назовём длиной вектора х Е выражение	|x| =	(x, x) .
Так как (x, x) ≥ 0 х Е, то длина определена х Е.
2. Будем говорить, что х, у Е ортогональны,	х у,	если
(х, у) = 0.

18.2. Свойства евклидовых пространств.

Теорема Пифагора. Если х у, то |x + у|2 = | x |2 + | у |2 .

Доказательство. |x+у|2 =(х+у, х+у)= (х, х)+ (у, у)+2(х,у) = = | x |2 + | у |2.

Следствие. Если х у, то |x + у|2 ≥ | x |2, |x + у| ≥ | x |,

причем |x + у|2 = | x |2 у = 0.

Теорема 2. Пусть х, у Е, х ≠ 0. Тогда α R такое, что у = αх + z, где z x.

Доказательство. z = у - αх, z x (у - αх, x) = 0 (у, х) - α(х, x) = 0 α = (у, х) / (х, x).

Теорема (неравенство Коши-Буняковского). |(x, y)|≤ |x||у|. Доказательство. При х= 0 неравенство обращается в равенство. Если же х ≠ 0, то по теореме 2 у = αх + z, и по

следствию из теоремы Пифагора | у | ≥ |αх | = |α || х | =

=	| ( y, x2) |	|х | =	| ( y, x) |	|x||у| ≥ |(x, y)|, причем равенство
	| x |		| x |

имеет место лишь при z = 0, у = αх.

Следствия.

135

1. Так как -1≤ (х, у) /|x||y|≤ 1, то мы можем определить угол γ

между векторами х и у по формуле: γ = arccos (x, y) .

| x || y |

И тогда (х, у) = |x||y|cosγ .

2. (х1у1 +…+ хпуп)2 ≤ (х12+…+ хп2)(у12+…+ уп2) - неравенство Коши-Буняковского для Е = Rn.

3. ( ∫b	f (x)g(x)dx )2 ≤ ∫b	f 2 (x)dx ∫b g2 (x)dx .
a	a	a

4. Неравенство треугольника: |x + y| ≤ |x| + |y|.

Доказательство. |x + y|2 =(х+у, х+у) =(х,х)+(у,у)+2(х,у) ≤ ≤ |x|2 + |y|2 + 2|x| |y| = (|x| + |y|)2 .

Теорема 4. Если ненулевые векторы а1,…,аk E такие, что аi аj при i ≠ j, то а1,…,аk – линейно независимы.

Доказательство. Пусть α1а1 +…+αkаk = 0. Тогда

(α1а1 +…+αkаk , аi )= αi (аi , аi )= 0 αi = 0 = i.

Пусть е Е, < е > = L, L = { x E| (x, е) = 0 }.

Теорема 5. L - подпространство в Е, и Е = L L .

Доказательство. Очевидно, если х, у L , то (x, е) = 0,

(у, е) = 0 (x + у, е) = (x, е) + (у, е)= 0 + 0 = 0, и для α Р (αx, е) = α(x, е) = α 0 = 0 х + у, αx L . И кроме того,

очевидно, 0 L . Следовательно, L - подпространство. По теореме 2 х Е х = α е + z, α е L, z L

Е = L +L . Так же если L ∩L γ е, то (γ е, е) = 0 γ = 0 L ∩L = {0} Е = L L .

Теорема 6. Пусть dimE = n. Тогда в Е существует ортогональный базис {e1,…,en }, то есть такой базис, что (ei ,ej)= 0 при i ≠ j.

Доказательство индукцией по п . При п = 1 доказывать нечего. Пусть утверждение верно для п – 1. Выберем е Е, е ≠ 0. Положим е1= е, L = <е1>. Тогда, очевидно, L явля-

136

ется евклидовым пространством, и dim L = n –1. По предположению индукции можно считать, что в L ортогональный базис {e2,…,en} существует. Тогда {e1,e2,…,en} по теореме 5 - ортогональный базис в Е.

Теорема 7. Пусть dimE = n. Тогда в Е существует ортонормированый базис {и1,…,иn}, то есть такой базис, что

(иi, иj)= δij =	1 при i = j,
	0 при i ≠ j.

Доказательство. Рассмотрим ортогональный базис {e1,…,en}. Тогда векторы иi = ei/|ei|, i =1,…,n, образуют ортонормированный базис.

Очевидно, для ортогонального базиса матрица Грама диагональна, а для ортонормированного базиса Г = Е.

Определение. Отображение ϕ : Е1→ Е2 евклидовых пространств называется изоморфизмом евклидовых пространств, если ϕ - изоморфизм линейных пространств, сохраняющий скалярное произведение, то есть (ϕ х,ϕ у) = (х, у)х, у Е1. В этом случае евклидовы пространства Е1 и Е2 называются изоморфными, что обозначается так: Е1 ≈ Е2.

Теорема 8. Если Е – евклидово пространство и dim E= п, то Е ≈ Rn.

Доказательство. Пусть {и1,…,иn} – ортонормированный

n	n
базис в Е, x = ∑xiui , y =∑yjuj . Тогда (х,у)= х1у1+…+ хп уп.
i=1	j=1

Отсюда следует, что отображение ϕ : Е → Rn такое, что ϕх=(х1,…,хп), является изоморфизмом евклидовых пространств, так как из п.7.3 это изоморфизм линейных про-

странств, и (ϕ х,ϕ у) = (х, у) = х1у1+…+ хп уп.

Следствие. Из теоремы 8 следует, что все евклидовы пространства одной размерности изоморфны. И значит, пространства изоморфны тогда и только тогда, когда у них оди-

137

наковая размерность. Таким образом, класс изоморфных друг другу евклидовых пространств полностью задается размерностью любого из этих пространств. И для любой размерности п с точностью до изоморфизма существует лишь одно пространство размерности п. Например, пространство Rn. Все остальные пространства размерности п ему изоморфны.

Далее n-мерное евклидово пространство мы будем обозначать Еп.

Лекция 30.

Пусть E L – подпространство, L ={x Е |(x, y)=0 y L}= = {x Е | x L}.

Упражнение. Доказать, что L - подпространство. Определение. Подпространство L называется ортого-

нальным дополнением к подпространству L.

Теорема 9. Еп = L L .

Доказательство. Если х L ∩L , то х х (х, х)= 0

х = 0 L ∩ L = 0 L + L = L L .

Докажем, что L + L = Еп. Пусть х Еп. Покажем, что можно представить х в виде х = а + b, где а L, b L . Выберем в L ортонормированный базис {и1,…,иk}. Будем

искать а в виде а = α1и1+…+αkиk , где α1,…,αk такие, что b = (х – а) L, то есть i (x – a, иi )= 0 (a, иi )= (x, иi ) (α1и1+…+αkиk , иi )= (x, иi ) (αiиi , иi )= (x, иi ) αi = (x, иi ).

Таким образом, мы показали, что αi !, то есть а находится однозначно, и значит, однозначно определяется и b. Отсюда

следует не только равенство Еп=L+L , но и ещё раз мы получили, что Еп = L L .

Теорема 10. L1 ∩ L2 = (L1 + L2) .

Доказательство. Если х L1 ∩L2 , то (х, а) = 0 а L1, (х, b) = 0 b L2 (х, a+b)= 0 x (L1+ L2), х (L1+ L2) .

138

Если же		х (L1+ L2) , то (х, а+b) = 0	а L1, b L2 при
b = 0		(х, а) = 0 а L1 х L1 . Аналогично, при а = 0
получаем, что х L2 . И следовательно, х L1 ∩ L2 .
	Определение. Говорят, что подпространство L2 ортого-
нально подпространству L1, L2 L1,			если b L2, а L1,
(а, b) = 0 .
	Упражнения.
1.	Доказать, что L2 L1 L2 L1 .
2.	Доказать, что ( L1 ) = L1.
3.	Доказать, что L1 + L2 = (L1 ∩L2) .
	19. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
	19.1. Определение. Свойства.
	Определение. Линейный оператор		ϕ : Е → Е называет-

ся ортогональным, если (ϕ х, ϕ у) = (х, у) х, у Е.

Утверждение 1. Если ϕ - ортогональный оператор, то ϕ - невырожденный.

Доказательство. Если х Ker ϕ, то (ϕх, ϕх) = (х, х) = 0

х = 0 Ker ϕ = 0.

Утверждение 2. Если ϕ - ортогональный оператор, то

ϕ-1 - ортогональный оператор.

Доказательство. Пусть ϕ -1х = а, ϕ -1у = b. Тогда (а, b) = = (ϕa, ϕb) = (x, y) (x, y)= (а, b) = (ϕ-1х, ϕ-1у).

Таким образом, ортогональный линейный оператор – это автоморфизм евклидова пространства Е (изоморфизм Е на себя).

Теорема 1. Для ортогонального оператора ϕ : Еn → Еn эквивалентны следующие 15 условий:

1.	(ϕ х, ϕ у) = (х, у) х, у Еn.
2.	(ϕ х, ϕ х) = (х, х) (то есть	| ϕх | = | х | ) х Еn.
3.	(ϕ еs, ϕ et) = (еs, et) s, t	(для некоторого) базиса
е = {е1,..,en} в Еn.

139

4.(ϕ us ,ϕ ut) = (us, ut) = δst s, t (для некоторого)

ортонормированного базиса и = {и1,..,иn} в Еn.

5.{ϕ u1 ,…,ϕ un } – ортонормированный базис.

∑ais (ei , ej )ajt = ∑aisγij ajt = γs,t , где γi,j = (еi, ej) –6.

i, j i, j

элементы матрицы Грама, а (ai,j) = [ϕ ].

	∑bisbit =			e
7.			δs,t , где (bi,j) = [ϕ ].
	i			u
8.	[ϕ ] t Г [ϕ ] = Г .
	e	e	e	e
9.	[ϕ ] t [ϕ ] = Е .

uu

10.[ϕ ] t = [ϕ ]-1.

uu

11.[ϕ ][ϕ ] t = Е .

uu

12.	∑bsibti = δs,t.
	i
13.	Строки матрицы [ϕ ] являются ортонормированным
	u
базисом в Rn.
14.	Столбцы матрицы [ϕ ] являются ортонормированным
	u
базисом в пространстве столбцов Rп.
15.	[ϕ ] t – матрица ортогонального оператора.

u

Доказательство. Очевидно, из 1 2,3,4 (как частные случаи), 6 8, 7 9 10 11 12 13 15, 4 5 7 14.

Из 2 1, так как 2(ϕх,ϕу)=(ϕх+ϕу,ϕх+ϕу) - (ϕх,ϕx) - (ϕy,ϕy)= = |ϕ(х+у)|2 - | ϕх |2 - | ϕy |2 =| х+у |2 - | х |2 - | y |2 = 2(х, у).

Из 3 1, так как (ϕх, ϕу)

n	n
= ∑xi yj (ϕei ,ϕej ) = ∑xi
i, j=1	i, j=1

nn

=(ϕ( ∑xiei ), ϕ( ∑yjej )) =

i=1	j=1
n	n
yj (ei , ej ) = ( ∑xiei , ∑yjej )= (х, у).
i=1	j=1

Так же проверяется, что из 4 1.

140