algebra lecture 1stcourse 1st semester

Теперь нас интересует вопрос, насколько много таких функций. Оказывается, что с точностью до пропорциональности других таких функций нет. Другими словами, имеет место Обратная теорема. Пусть F(A) – полилинейная кососимметричная функция строк (п×п)-матрицы А. Тогда F(A)= с|A|,

где с Р, с = F(E), а Е – единичная матрица,

1 0 0.............0

Е= 0 1 0.............0 .

...................

0 0.............0 1

Доказательство.

1. Рассмотрим функцию матрицы F(A) как функцию F(А1,…,Аn) строк А1,…,Аn матрицы A. Полилинейность функции F по строкам означает линейность по любой i-й строке. То есть для любого i должны выполняться два свойства:

F(А1 ,…, Аi+А′i ,…, Аn) = F(А1 ,…, Аi ,…,Аn)+ F(А1 ,…,А′i ,…, Аn), F(А1 ,…, cАi ,…, Аn) =cF(А1 ,…, Аi ,…,Аn).

Кососимметричность функции F по строкам означает, что

если при i ≠ j Аi = Аj , то F(А1 ,…,Аi ,…, Аj ,…, Аn) = 0. Из свойства кососимметричности, как и в утверждении 6 для

определителей следует, что

F(А1 ,…, Аi ,…,Аj ,…, Аn) = - F(А1 ,…, Аj ,…, Аi ,…, Аn), то есть при ЭП-II над строками функция F, как и det, меняет знак. А

при ЭП-I функция F, как и det, не меняется – доказательство этого аналогично доказательству утверждения 7.

2. Приведем матрицу А с помощью элементарных преоб-

разований над строками к ступенчатому виду			A . Пусть при
этом t -	количество ЭП-II.	Если rgA < n, то	в матрице A
п-я строка	A = (0, 0,…,0)	и |A| = (-1)t| A | = 0. Аналогично
	n

F(A) = (-1)tF( A ) = (-1)tF( A1 ,…, An ) = (-1)tF( A1 ,…,0 An ) =

=(-1)t0 F( A1 ,…, An )= 0. И значит, F(A) = c|A|.

3.Если rgA = n, то матрица A - треугольная, то есть

31

a11................		a1n
	0 a ............	a			a	… a ≠ 0.
A =	22		2n , и |A| = (-1)t| A | =(-1)t a
	0 0			11	22	nn
	0 0............	0 ann

Приведем A к диагональному виду с помощью ЭП-I следующим образом: вычтем п-ю строку из всех предыдущих строк с подходящими коэффициентами так, чтобы над ann

везде получились бы нули. Затем вычтем (п – 1)-ю строку из всех предыдущих строк с подходящими коэффициентами так, чтобы над an−1,n−1 везде получились бы нули. Продолжим

эту процедуру до конца, пока не получим из A с помощью только ЭП-I диагональную матрицу

a11 0...............			0
	0	a .............	0			a		..., a ) .
A =		22		= diag (a
	0 0				11,		22,	nn
	0	0............	0 ann

Тогда строки A1 = ( a11 , 0,…,0)= a11 (1, 0,…,0), A2 = (0, a22 , 0,…,0)= a22 (0,1, 0,…,0) и т.д.,

и F(A)=(-1)tF( A ) =(-1)tF( A ) = (-1)t a11 a22 … ann F(E)=F(E) |A|.

5.4. Разложение определителя по столбцам.

Для квадратной матрицы А определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, будем обозначать Мij и называть минором, соответствующим элементу aij матрицы A .

Рассмотрим функцию матрицы

F(A) = а1i M1i - а2i M2i + а3i M3i - …+(-1)n+1аni Mni .

Аналогично утверждениям 1÷6 из 5.1 доказывается, что F(A) – полилинейная кососимметричная функция строк матрицы А. Разница лишь в том, что не надо проводить индук-

32

цию, так как полилинейность и кососимметричность определителей Мij нам уже известна.

Упражнение. Доказать полилинейность и кососимметричность по строкам функции F(A).

По обратной теореме об определителях F(A) = с|A|, где

с = F(E) = 0 M1i - 0 M2i +…+(-1)i+11 Mi i + …+(-1)n+1 0 Mni = = (-1)i+1Mi i =(-1)1+i, так как Mi i = 1 F(A)= (-1)1+i|A|

|A|=(-1)1+iF(A)=(-1)1+iа1iM1i+(-1)2+iа2i M2i+…+(-1)n+i аni Mni.

Таким образом, нами доказана

Теорема о разложении определителя по столбцу:

n

i |A|= ∑(−1) j+i aji M ji .

j=1

Определение. Будем называть Аji= (-1)j+iMji алгебраическим дополнением элемента аji в определителе.

n

В этих обозначениях |A|= ∑aji Aji .

j=1

5.5.Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам.

Обозначим i-й столбец матрицы А через Аi, то есть

a1i

Аi= ... . Рассмотрим |A| как функцию от п столбцов матри-

ani

цы А, то есть |A|= det(А1,А2,…, Аn).

Теорема. Определитель является линейной функцией от i-го столбца i (и, следовательно, полилинейной функцией столбцов).

Доказательство. Докажем, что

det(А1,…,Аi+А′i,…,Аn)= det(А1,…,Аi,…,Аn)+det(А1,…,А′i,…, Аn) и det(А1,…,сАi,…,Аn)= с det(А1,…,Аi,…,Аn).

По теореме о разложении определителя по столбцу

|A| = а1i А1i+ а2i А2i +…+ аni Аni , где все коэффициенты Aji от i-го столбца не зависят. Поэтому det(А1,…,Аi+А′i,…,Аn)=

33

n	n	n
= ∑(aji +aji′)Aji = ∑aji Aji + ∑a′ji Aji =
j=1	j=1	j=1
= det(А1,…,Аi,…,Аn) + det(А1,…,А′i,…, Аn),
	n	n
det(А1,…,сАi,…,Аn) = ∑caji Aji = с∑aji Aji =
	j=1	j=1

= с det(А1,…,Аi,…,Аn).

Теорема. Определитель является кососимметричной функцией столбцов.

Доказательство. Докажем индукцией по п, что если при i ≠ j Аi= Аj, то det(А1,…,Аi,…,Аj,…,Аn) = 0.

При п =2 утверждение очевидно из формулы для определителя.

Пусть утверждение верно для п –1. Докажем его для п≥ 3. Так как п≥ 3, то в определителе кроме столбцов Аi= Аj суще-

ствует столбец Аk, где k ≠ i, k ≠ j. Разложим |A| по k-му столбцу: |A| =(-1)1+kа1k M1k+(-1)2+kа2k M2k+…+(-1)n+kаnk Mnk ,

и в этом разложении во всех определителях Msk имеется по два одинаковых столбца. Так как порядок всех Msk равен п -1, то по предположению индукции можно считать, что все

Msk = 0 |A| =0.

Лекция 9.

5.6. Определитель транспонированной матрицы.

Для (m×n)-матрицы C=(cij) i=1,...,m, транспонированной мат-

j=1,...,n

рицей называется (n×m)-матрица C t = (c′ji) i=1,...,m, , где c′ji = cij.

j=1,...,n

Теорема. |A t| =|A|.

Доказательство. Пусть функция матрицы F(A) = |At|. Рассмотрим F(A) как функцию F(А1,…,Аn) строк А1,…,Аn матрицы A. Тогда F(А1,…,Аn) – полилинейная кососимметричная функция строк матрицы А, так как строки матрицы А – это

34

столбцы матрицы At, а |At| - полилинейная кососимметричная функция столбцов матрицы At. По обратной теореме об определителях F(A) = с|A|, где с = F(E) = |Е t| = |Е| = 1, то есть |At| =|A|.

5.7. Разложение определителя по строкам.

n

Теорема. i |A|= ∑(−1)i+ j aij M

j=1

n

ij = ∑aij Aij . j=1

Доказательство. Разложим |AT| по i-му столбцу:

n	n
|AT| = ∑aTji ATji = ∑aij Aij - это и есть разложение определите-
j=1	j=1

ля |A| по i-й строке.

5.8. Определитель матрицы с углом нулей.

Теорема. Пусть матрица Н имеет блочный вид:

					a11 a12		...... a1n
Н =	A		B	, где (п×п)-матрица A =	a	a	...... a
		0			21	22	2n
			C		.......................
						an2	...... ann
					an1

,

	c ......		c
(m×m)-матрица C =		11	1m		, (n×m)-матрица
	................
	cm1 ......		cmm

	b11 ......	b1m				0 0	0
B =	b ......	b		, а (m×n)-матрица	0 =
	21	2m				....................	.
	.................
						0 0 ............	0
	bn1 ......	bnm

Тогда |H| = |A| |C|.

Доказательство. Рассмотрим |H| как функцию F(C) матрицы C. Эта функция полилинейна и кососимметрична относительна строк матрицы C. По обратной теореме об опреде-

35

лителях F(C) = α|C|, где α = F(E) = det	A		B	. Если раз-
		0
			E

ложить последний определитель по последней строке, то по-

лучим F(E) =(-1)n+m+п+mMn+m,п+m . Далее снова раскладывая определитель Mn+m,п+m по последней строке и повторяя эту

процедуру m – 1 раз, получим, что α =F(E)=|A|, и |H|=|A| |C|.

5.8. Теорема о полном разложении определителя.

Запишем k-ю строку определителя матрицы А в виде

Аk=(аk1,аk2,…,аkn )=аk1(1,0,0,…,0)+аk2(0,1,0,…,0)+аkn(0,0,…,1)=

n

= аk1E1 + аk2E2 +…+ аknEn = ∑akik Eik , k = 1,…, n, где

ik =1

Еs = (0,..,0,1,0,…,0) – здесь 1 стоит на s–м месте. Тогда

n	n
|A| = det(А1 ,…, Аn) = det( ∑a1i1 Ei1	,…, ∑anin Ein ) =
i1 =1	in =1

= ∑ a1i1 a2i2 ...anin det(Ei1 , Ei2 ,..., Ein ) , и в этой сумме из пn сла-

i1 ,i2 ,...,in

гаемых все слагаемые, у которых существуют одинаковые

индексы ip= iq , равны нулю, так как определители
det(E i	,E i	,…,E i ) с одинаковыми строками E i		p	= E i	равны
1	2	n			q
нулю. Следовательно, можно считать, что
|A| =	∑ a1i1 a2i2 ...anin det(Ei1 , Ei2 ,..., Ein )		= ∑ a1i1 a2i2 ...anin ε(σ) ,
i1 ,i2 ,...,in			σ Sn

где все индексы i1,…,in в слагаемых различны, то есть образуют перестановку чисел 1,…,п; число слагаемых, следова-

тельно, равно п!; ε(σ) = det(E i1 ,E i2 ,…, E in ), а

1		2	...	n		- подстановка.
σ =	i	i	...	i
	1	2		n

Утверждение. ε(σ)=+1, если σ - четная, и ε(σ) = - 1, если σ - нечетная.

Доказательство. Очевидно, матрица со строками

36

E i	,E i	,…, E i	получается из единичной матрицы Е при по-
1	2	n

мощи действия на столбцы подстановкой σ. По утверждению из 3.2, если количество инверсий в нижней строке подстановки σ равно m, то σ можно разложить в произведение m транспозиций. И столбцы в матрице Е можно либо переставить все сразу с помощью σ, либо переставить за m шагов, переставляя при помощи транспозиций каждый раз только два столбца. Так как при каждой перестановке столбцов определитель меняет знак, то ε(σ) = det(E i1 ,E i2 ,…, E in )= (- 1 )m.

Следовательно, если m - четно, то ε(σ) = + 1, а если m - нечетно, то ε(σ) = - 1.

Следствие. Если подстановку σ можно разложить одним способом в произведение р транспозиций и другим способом в произведение q транспозиций, то четность p и q одинакова.

Доказательство. В самом деле, ε(σ)=det(E i1 ,E i2 ,…,E in )= = (- 1 )p =(- 1 )q четность p и q одинакова.

Таким образом, нами доказана

Теорема о полном разложении определителя.

|A| = ∑ a1i1 a2i2 ...anin ε(σ)		1	2	...	n
	, где σ =		i2	...		,	ε(σ) = + 1,
σ Sn	i1				in

если σ - четна, и ε(σ) = - 1, если σ - нечетна.

Замечания.

1. Как мы видим, определитель матрицы равен сумме всевозможных произведений элементов матрицы, выбранных по одному из всех (различных) строк и всех (различных) столбцов, взятых со знаком + или – .

2. Очевидно, |A| = ∑ ai11ai2 2 ...ainnε(σ) .

σ Sn

37

5.9. Решение СЛУ по Крамеру.

Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными:

a	x + a		x	+... + a	x	= b
11	1	12	2	1n	n	1
a21x1		+ a22 x2 +... + a2n xn				= b2	(5.1)
............................................
a	x	+ a	x	+... + a	x	= b
n1	1	n2 2		nn n		n

Домножим левые и правые части уравнений на алгебраические дополнения Аik основной матрицы А системы (5.1):

1-е уравнение домножим на А1k, второе – на А2k, и т.д., п-е – на Апk. Затем домноженные уравнения сложим. У полученно-

n

го уравнения коэффициент при хk будет равен ∑aik Aik = |A|.

i=1

n

А коэффициент при хs , s ≠ k, равен ∑ais Aik - это определи-

i=1

тель, у которого k-й столбец в матрице А заменен на s-й столбец, то есть это определитель с двумя одинаковыми столбцами – k-м и s-м, и, значит, этот определитель равен нулю. Таким образом, коэффициенты при всех хs , s ≠ k, равны нулю. А правая часть полученного уравнения имеет вид

n

∑bi Aik - это определитель матрицы, которая получается из

i=1

матрицы А заменой k-го столбца на столбец из правых частей

системы (5.1). Этот	определитель мы будем	обозначать
n
k = ∑bi Aik . Следовательно, после сложения домноженных
i=1
уравнений мы получим уравнение вида |A| хk=		k . Это урав-
нение – следствие системы (5.1).
Если |A|= 0 и	k ≠ 0, то уравнение |A| хk=	k не имеет

решений, и, следовательно, система (5.1) несовместна.

Если |A| ≠ 0, то из решения по Гауссу система (5.1) - совместная и определенная, и её решения являются решениями

38

уравнений |A| хk= k , которые имеют единственное решение хk = k / |A|. Следовательно, набор хk = k / |A|, k = 1,…,п, является единственным решением системы (5.1). Это решение и называется решением по Крамеру.

Если |A|= 0 и все k= 0, то по Крамеру систему решать нельзя. Можно решать её, например, по Гауссу. В этом случае система (5.1) либо имеет больше одного решения, либо несовместна.

Упражнение. Привести примеры систем с |A|= 0, которые имеют более одного решения, и систем, которые несовместны.

Лекция 10.
5.10. Теорема Лапласа.
Для любых s1< s2 <…< sm и				t1< t2 <…< tm	будем обозна-
s1 ,s2 ,...,sm			минор (определитель) матрицы А, стоя-
чать через Mt ,t	,...,t	m
1 2					s1, s2 ,…, sm и
щий на пересечении столбцов				с номерами
строк с номерами t1, t2 ,…, tm .

Пусть k1< k2 <…< kp - номера фиксированных столбцов (п×п)-матрицы А, kp+1< kp+2< …< kn – номера дополнительных (фиксированных) столбцов матрицы А.

Теорема Лапласа.

|A| =	∑	(−1)	k1 +k2 +...+k p +i1 +i2 +...+ip	k1 ,k2 ,...,kp	kp+1 ,kp+2 ,...,kn	,	(5.2)
				Mi1 ,i2 ,...,ip	Mip+1 ,ip+2 ,...,in
	i1 <i2 <...<ip

где i1< i2 <…< ip – (переменные) номера всевозможных строк, по которым ведется суммирование, ip+1< ip+2 <…< in - номера дополнительных строк.

Доказательство. Очевидно, сумма в теореме Лапласа состоит из Cnp слагаемых. По теореме о полном разложении

определителя минор							k1 ,k2 ,...,k p			содержит р! слагаемых, а ми-
							Mi	,i ,...,i	p
							1	2
нор	k p+1 ,k p+2 ,...,kn					содержит (п – р)! слагаемых. Если все эти
	Mi	p+1	,i	p+2	,...,i
					n

слагаемые перемножить в каждом из Cnp произведений ми-

39

норов, то получим всего Cnp р! (п – р)! = п! слагаемых – ров-

но столько же, сколько содержится в теореме о полном разложении определителя |A|. Кроме того, после перемножения все полученные слагаемые – это одночлены, множителями которых являются элементы матрицы А, выбранные по одному из каждого столбца с номерами k1, k2 ,…, kp и с номерами kp+1, kp+2,…, kn , то есть элементы матрицы А, выбранные по одному из всех столбцов, и аналогично по одному из всех строк. Это значит, что 1) среди этих одночленов нет подобных членов, и 2) эти одночлены в точности такие же, как одночлены, которые получаются при разложении |A| по теореме о полном разложении определителя. Последнее, что осталось проверить – это то, что все эти одночлены в правой части равенства (5.2) имеют такие же знаки, как и одночлены

вразложении определителя |A|, или, как мы будем говорить

–правильные знаки.

Лемма. Пусть k1=1, k2 =2,…, kp= р, и, следовательно, kp+1= р+1, kp+2=р+2,…,kn=п. Запишем правую часть равенст-

1,2,..., p	p+1, p+2,...,n	+ все остальные слагаемые.
ва (5.2) в виде M1,2,..., p	M p+1, p+2,...,n
		1,2,..., p	p+1, p+2,...,n	имеют
Докажем, что все одночлены из M1,2,..., p			M p+1, p+2,...,n

правильные знаки.

Доказательство леммы. Произвольный одночлен из

1,2,..., p

p+1, p+2,...,n

имеет вид

M1,2,..., p

M p+1, p+2,...,n

a1 j a2 j ...apj

ε(σ1 )ap+1, j

p+1

ap+2, j

p+2

...an, j

ε(σ2 ) , где

1

2

p

n

1

2

...

p

, ε(σ1)= (- 1)r,

p +1

p + 2

...

n

σ1=

j

j

...

j

σ2=

j

p+1

j

p+2

...

j

,

1

2

p

n

ε(σ2) = (- 1)s, r – число инверсий подстановки σ1 , s - число инверсий подстановки σ2. Таким образом, в правой части

формулы (5.2) одночлен a1 j	a2 j	...apj ap+1, j	ap+2, j	...an, j	имеет
1	2	p	p+1	p+2	n

знак (- 1)r+s. А в левой части формулы (5.2) в разложении |A|

одночлен a1 j	a2 j ...apj	ap+1, j	ap+2, j	...an, j	имеет знак
1	2	p	p+1	p+2	n

ε(σ)= (- 1)t, где

40