algebra lecture 1stcourse 1st semester

			n		n
И наконец, 3	6, так как (ϕеs, ϕet) = ( ∑aisei , ∑ajsej )=
			i=1		j=1
= ∑ais (ei , ej )ajt = ∑aisγij ajt .
i, j	i, j
Следствие. Если ϕ - ортогональный оператор, то
det ϕ = ±1.		[ϕ ] t [ϕ ] = Е det ([ϕ ] t [ϕ ]) =
Доказательство.
		u	u	u	u
= det [ϕ ] t det[ϕ ] = (det[ϕ ])2 = det Е = 1.
u	u		u

Определение. Матрица А называется ортогональной, если А - матрица некоторого ортогонального оператора в ортонормированном базисе, то есть, если для неё выполняется одно из эквивалентных условий Теоремы 1 под номерами 7, 9, 10, 11, 12, 13 или 14.

19.2. Ортогональная группа.

Рассмотрим множество О(Еn) ортогональных операторов на евклидовом пространстве Еn. Пусть также O(n) – множе-

ство ортогональных п×п-матриц, SO(n)= {A О(n)| detA=1}, SО(Еn) = {ϕ О(Еn)| detϕ = 1}.

Теорема 2.

1. О(Еn) – группа, 2. O(n) – группа, 3. О(Еn) ≈ O(n),

4.SО(Еn) – подгруппа в О(Еn), 5. SO(n) – подгруппа в O(n).

Доказательство.

1. I. Пусть ϕ, ψ О(Еn) х, у Еn ((ϕψ)х, (ϕψ)у) = = (ϕ(ψх), ϕ(ψу)) = (ψх ,ψу) = (х, у) ϕψ О(Еn).

II. 1. Как и для любых отображений любых множеств, умножение ортогональных операторов ассоциативно.

2.Очевидно, (idx, idy)=(x, y) х, у Еn, то есть О(Еn) id –

нейтральный элемент.

3.Пусть ϕ О(Еn). Тогда ϕ-1 О(Еn) – см. утверждение 2

из п.19.1.

Следовательно, О(Еn) – группа.

141

2. I. Пусть A, B О(n) A t = A -1, B t = B -1 (AB)t = B tAt= = B-1A-1 = (AB)-1 AB О(n).

II. 1. Нам уже известно, что умножение любых матриц ассоциативно (конечно, если оно определено).

2.Е t = Е-1 О(n) Е – нейтральный элемент.

3.Если A О(n), то | A | = ±1 A-1 (A-1)t = (At)t = A = =(A-1) -1 A -1 О(n).

Следовательно, О(п) – группа.

3. Очевидно, биекция ϕ → [ϕ ] из О(Еn) в О(n) ( и - неко-

u

торый ортонормированный базис) является изоморфизмом групп ( так как [ϕψ] = [ϕ][ψ] , [ϕ -1] = [ϕ] -1, [id] = E ).

Упражнение. Доказать утверждения 4, 5 из теоремы 2.

19.3. Структура ортогонального оператора.

Лемма. Пусть ϕ : Е→ Е - ортогональный оператор, Е L - ϕ-инвариантное подпространство. Тогда L - ϕ-инвариантное подпространство.

Доказательство. х L, y L (ϕ x, ϕ y) = (x, y) = 0

ϕ(L ) ϕ L . Но ϕ L = L (так как ϕ|L – ортогональный и невырожденный) ϕ(L ) L ϕ(L ) L (на самом деле, ϕ(L ) = L , так как ϕ на L - ортогональный и невырожденный).

Пусть ϕ : Еп → Еп - ортогональный оператор. По теореме из п. 16.7 в Еп L1 - ϕ-инвариантное подпространство размерности 1 или 2. Тогда по лемме L1 - ϕ-инвариантное подпространство, и Еп = L1 L1 . Так как ϕ на L1 - ортогональный оператор, то в L1 L2 - ϕ-инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и ортогональное дополнение L′ к L2 в L1 также ϕ-инвариантно. Далее,

Еп = L1 L2 L′, и в L′ L3 - ϕ-инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и так далее. В конце концов, мы

получим разложение Еп = L1 L2 … Lq , где все Li –

142

ϕ-инвариантны, попарно ортогональны, и можно считать, что

dimL1 = dimL2 =…= dimLs = 2, dimLs+1 =…= dimLq = 1.

Если L – евклидово пространство размерности 1, L = <e>,

и ϕ : L → L - ортогональный оператор, то ϕ е = α е,

(ϕ е,ϕ е) = (е,е) α 2(е,е) = (е,е) α 2=1, α = ±1 ϕ = ± id.

Если же L – евклидово пространство размерности 2,

L = <и1, и2>, где {и1, и2} – ортонормированный базис в L, и

ϕ: L → L - ортогональный оператор, то |ϕ и1| = | и1| = 1

ϕи1= cosα и1+ sin α и2 ; |ϕ и2|= | и2|=1, (ϕ и2,ϕ и1)=(и2, и1)= = 0 ϕ и2 = ±(-sinα и1 + cos α и2).

	cosα	−sinα
a) Если ϕ и2= -sinα и1+ cos α и2, то [ϕ ] =		,
u	sinα	cosα
и ϕ - поворот L на угол α против часовой стрелки.
	cosα	sinα	,
б) Если ϕ и2= sinα и1 - cos α и2, то [ϕ ] =
u	sinα	−cosα

и характеристический многочлен χϕ(t)= t2 – 1. Для собствен-

ных значений t1,2 = ±1 два собственных вектора е1, е2 .

Так как (ϕ е1, ϕ е2)= (+е1, - е2)= (е1, е2), то (е1, е2) = 0, е1 е2.

Пусть L′ = <e1>, L′′ = <e2>. Тогда L = L′ L′′ - прямая сумма одномерных взаимно ортогональных ϕ-инвариантных подпространств таких, что ϕ|L′ = id, ϕ|L′′ = - id.

В разложении Еп = L1 L2 … Lq выберем в каждом Li ортонормированный базис. Объединение и этих базисов является ортонормированным базисом в Еп. В этом базисе матрица ортогонального оператора ϕ имеет клеточно-диаго- нальный вид:

143

		П(α1 ) 0					0			0	0 0 0 0					0
			0		...		0			0	0	0		0	0
																0
			0		0	П(αs ) 0 0 0 0 0										0
			0		0		0			−1 0 0 0 0
																0
	[ϕ ] =		0		0		0			0 ...		0		0	0	0 ,
	u		0		0		0			0	0 −1 0 0
																0
			0		0		0			0	0	0		1	0	0
			0		0		0			0	0	0		0 ...
																0
			0		0		0			0	0	0		0	0
																1
где		cosα		i	−sinα			i						−1	0
	П(αi) =				cosαi				. Заметим, что							= П(π),
		sinαi												0	−1
1	0
	= П(0). Таким образом, нами доказана структурная
0	1
	Теорема. Для любого ортогонального оператора
ϕ : Еп → Еп		ортонормированный базис и												евклидова про-
странства, в котором матрица ϕ имеет вид:
		П(α1 ) 0							0		0	0
			0			...			0		0	0
	[ϕ ] =		0			0	П(αt )				0	0 .				(19.1)
	u		0			0			0	(−1) 0
			0			0			0		0	(1)
В матрице		-1 и 1 взяты в скобки,									что означает, что эти эле-

менты могут присутствовать, а могут и отсутствовать. Верно и обратное утверждение: если [ϕ ] имеет вид (19.1), то ϕ -

u

ортогональный оператор.

На языке матриц теорему можно сформулировать так: Для любой ортогональной матрицы А ортогональная матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному

базису) такая, что матрица Т -1АТ имеет вид (19.1).

144

Очевидно, любая матрица вида (19.1) – ортогональная.

Лекция 31.

20. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

20.1. Сопряженные линейные пространства.

Пусть L =Ln – линейное пространство над полем Р. Обозначим через L* множество линейных функций на L со зна-

чениями в Р (см. п.13.1, важный частный случай линейных отображений). Так как множество Ф(Ln,Lm)={ϕ: Ln → Lm} линейных отображений из Ln в Lm с операциями сложения и умножения на элементы поля является линейным пространством над полем P (см. п.13.5) и существует изоморфизм линейных пространств Ф(Ln,Lm)≈ Мт,п(Р), то L*= Ф(Ln,Р) - линейное пространство, и L*≈ М1,п(Р)= Рn dimL*=n= dimL. В частности, L*≈ L, но этот изоморфизм не канонический – он зависит от выбора базисов в L и L*.

В качестве базисного вектора одномерного линейного пространства Р возьмем 1Р . Пусть е = {e1,…,eп} – базис пространства L, х = х1e1+…+хпeп , f L*. Тогда

f(x) = х1f(e1)+…+хпf(en) = х1α1+…+хпαn , где все αi P,

αi = f(ei) = αi 1Р , и f ↔ [ f	] = (α1,…,αn ) Рn. Базисным
e,1P	Рn соответствуют в L* линей-
строчкам (0,0,…,0,1,0,…,0) в
i

ные функции еi такие, что еi(х)= 0 х1+…+1 хi+…+0 хn= хi . Очевидно, е*= {е1,…,еn} – базис в L*, и f = α1е1+…+αпеп.

Кроме того, еi(еj)= δ ij = 1 при i = j,

0 при i ≠ j.

Определение. Линейное пространство L* называется

сопряженным (или двойственным, или дуальным) к пространству L. Базис е* называется сопряженным (или двойственным, или дуальным) к базису е .

Пусть теперь L= Еп, fa(х)= (a, x).

145

Упражнение. Проверить, что fa (Еп)*.

Утверждение. Отображение Ф: Еп → (Еп)* такое, что для а Еп Ф(а) = fa является изоморфизмом линейных пространств Еп и (Еп)*.

Доказательство. Проверим линейность отображения Ф.

Ф(а+b)= fa+b= Ф(а)+Ф(b) = fa+ fb , так как fa+b(х)= (а+b, x) =

=(а, x)+ (b, x) = fa(х)+ fb(х) =( fa+ fb)(х). Ф(αа)= fαa= αФ(а)=

=α fa , так как fαa(х) = (αа, х) = α(а, х) = α (fa(х)) = (α fa)(х).

Найдем теперь KerФ. Пусть а KerФ Ф(а) = fa = 0 fa(х) = 0 х fa(а) = (а, а) = 0 а = 0 KerФ = 0 Ф –

инъекция, сюръекция, биекция (см. теорему 6 из п.15) Ф –

изоморфизм.

Замечания.

1.Изоморфизм Ф является каноническим, так как он не зависит от базиса.

2.Изоморфизм Ф позволяет перенести скалярное произве-

дение с Еп на (Еп)* по правилу (fa , fb) = (a, b). Таким образом, (Еп)* становится евклидовым пространством, а Ф - изоморфизмом евклидовых пространств.

20.2.Сопряженные линейные операторы.

Пусть ϕ : Еп → Еп - линейный оператор. Рассмотрим функцию f(x) = (a, ϕ x).

Упражнение. Проверить, что f – линейная функция, то есть f (Еп)*, и следовательно, f = fb при некотором b Еп.

Будем считать, что b = ϕ*a, где ϕ* : Еп → Еп - некоторое отображение. Из определения ϕ* получаем, что

(a, ϕ x) = (b, x) = (ϕ*a, x) или (ϕ x, а) = (х, ϕ*a ).

Утверждение. ϕ* : Еп → Еп – линейный оператор.

Доказательство. (х, ϕ*(a+b)) = (ϕ x, a+b) = (ϕ x, a) + + (ϕ x, b) = (х, ϕ*a) + (х, ϕ*b) = (х, ϕ*a + ϕ*b) ϕ*(a+b) = = ϕ*a+ϕ*b (см. утверждение из п. 20.1). Аналогично,

(х, ϕ*(αa)) = (ϕ x, αa) = α(ϕ x, a)= α (х, ϕ*a) = (х, αϕ*a) ϕ*(αa) = αϕ*a .

146

Определение. Линейный оператор ϕ*: Еп → Еп называется сопряженным к линейному оператору ϕ.

Очевидно, ϕ** = ϕ , так как (ϕ х, у) = (х, ϕ*у) = (ϕ**х, у).

Заметим, что при отождествлении Ф: а ↔ fa получаем:

(a, ϕ x) = (ϕ*a, x), то есть fa(ϕ x) = ϕ*( fa )(x) ϕ*( fa )= fa◦ϕ .

Теорема. Для линейных операторов ϕ и ψ на Еп эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого

из этих условий ψ = ϕ*, ϕ = ψ* ) : 1. (ϕ x, у) = (х, ψу) х, у Еп.

2. (ϕ еi ,еj)= (еi ,ψ еj) i, j (для некоторого) базиса е в Еп. 3. (ϕ иi ,иj)= (иi ,ψ иj) i, j (для некоторого) ортонормированного базиса и в Еп.

4. [ϕ ] t Г = Г [ψ ], или же [ψ ] = Г -1 [ϕ ] t Г , где Г - матри-

e e e e e e e e e

ца Грама для базиса е. (Доказать, что Г-1 - см. также п.24.3). 5. [ψ ] = [ϕ ] t.

u u

Доказательство. Очевидно, из 1 2 (как частный случай), из 2 1 ввиду линейности ϕ и скалярного произведения. Аналогично, 1 3. Проверим, что 2 4. В самом де-

ле, если [ϕ ] = (аks),	[ψ ] = (bks), то	(ϕ еi ,еj) = ( ∑akiek ,еj) =
e	e	k

= ∑k akiγkj = ([ϕe ] t Гe )ij – (i,j)-й элемент матрицы [ϕe ] t Гe . А

(еi ,ψ еj)= (еi , ∑bkjek ) = ∑γik bkj = ( Г [ψ ])ij – (i,j)-й элемент
	k	k	e	e
матрицы Г [ψ ]. Отсюда			2 4. Аналогично проверяется,
e	e

что 3 5.

20.3. Самосопряженные линейные операторы.

Определение. Линейный оператор ϕ: Еп → Еп называет-

ся самосопряженным, если ϕ* = ϕ , то есть если х, у Еп

(ϕ х,у) = (х, ϕ у).

Теорема. Для линейного оператора ϕ на Еп эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих

147

условий ϕ = ϕ*) :

1. (ϕ x, у) = (х, ϕ у) х, у Еп.

2.	(ϕ еi ,еj)= (еi ,ϕ еj) i, j				(для некоторого) базиса е в Еп.
3.	(ϕ иi ,иj)= (иi ,ϕ иj) i, j (для некоторого) ортонорми-
рованного базиса и в Еп.
4.	[ϕ ] t Г =		Г [ϕ ], где Г - матрица Грама для базиса е .
	e	e	e	e	e

5. [ϕ ] t = [ϕ ], то есть [ϕ ] – симметричная матрица.

u	u		u
Доказательство следует из теоремы из п. 20.2.
20.4. Структура самосопряженного оператора.
Лемма. Пусть ϕ : Еп→ Еп - самосопряженный оператор,
Еп L - ϕ-инвариантное подпространство. Тогда L - ϕ-инва-
риантное подпространство.
Доказательство. х L, y L					(ϕ x, y) = 0 = (x,ϕ y)
ϕ(L ) L ϕ(L ) L .
Пусть ϕ : Еп → Еп - самосопряженный оператор. По тео-
реме из п. 16.7 в Еп			L1 - ϕ-инвариантное подпространство
размерности 1 или 2. Тогда по лемме L1 - ϕ-инвариантное
подпространство, и Еп = L1 L1 . Так как ϕ на L1 - самосо-
пряженный оператор, то в				L1 L2	- ϕ-инвариантное под-
пространство		размерности		1 или 2, и ортогональное допол-
нение L′ к L2		в L1 также ϕ-инвариантно. Далее,
Еп = L1 L2 L′, и в			L′ L3 - ϕ-инвариантное подпростран-
ство	размерности		1 или 2, и так далее. В конце концов, мы

получим разложение Еп = L1 L2 … Lq , где все Li – подпространства размерности 1 или 2, ϕ-инвариантны и попарно

ортогональны.
Если L – евклидово пространство размерности 2,
L = <и1, и2>, где {и1, и2} – ортонормированный базис в L,			и
ϕ : L → L - самосопряженный оператор, то [ϕ ] =	a	b	, и
u	b	c

характеристический многочлен χϕ(t)= t2- (a+c)t + ac - b2. Его

148

дискриминант (а+с)2 – 4(ас - b2) = (а – с)2 + b2 ≥ 0 в L

собственный вектор, одномерное ϕ-инвариантное подпространство L – прямая сумма двух одномерных попарно ортогональных ϕ-инвариантных подпространств.

Следовательно, в разложении Еп = L1 L2 … Lq можно считать, что все Li – подпространства размерности 1, попар-

но ортогональны и ϕ-инвариантны. Значит, n = q, и

Еп = L1 L2 … Lп .

Если L – евклидово пространство размерности 1, L = <e>,

иϕ : L→ L - самосопряженный оператор, то ϕ е = α е, α R.

Вразложении Еп = L1 L2 … Ln выберем в каждом Li

единичный вектор иi . Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Еп. В этом базисе матри-

ца самосопряженного оператора ϕ имеет вид:

[ϕ ] = diag(α1,α2,…,αn). Таким образом, нами доказана струк-

u

турная Теорема. Для любого самосопряженного оператора

ϕ : Еп → Еп ортонормированный базис и евклидова пространства, в котором матрица ϕ имеет вид:

[ϕ ] = diag(α1,α2,…,αn), где все αs R. Наоборот, если

u

[ϕ ] = diag(α1,…,αn), где все αs R, то ϕ - самосопряженный.

u

На языке матриц теорему можно сформулировать так: Для любой симметричной матрицы А ортогональная матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному

базису) такая, что матрица Т -1АТ = diag(α1,α2,…,αn), где все

αs R.

Лекция 32.

21. УНИТАРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

149

21.1. Определения, примеры.

Определение. Линейное пространство H над полем C

называется унитарным (или эрмитовым) пространством,

если на Н фиксирована функция двух векторных аргументов х, у Н со значениями в С, которая называется скалярным произведением, обозначается (х, у), и обладает свойствами

1.(х + у, z) = (х, z) + (у, z) х, у, z Н,

2.(αx, y) = α (x, y) х, у Н, α С,

3. (x, y) = ( y, x) х, у Н (черта над числом означает комплексное сопряжение) ,

4. (x, x) > 0 х Н, x ≠ 0.

Заметим, что из свойства 3 комплексное число (x, x) яв-

ляется действительным, так как (x, х) = (x, x) , и неравенство

в свойстве 4 имеет смысл.

Свойства 1, 2 означают линейность скалярного произведения по первому аргументу, свойство 3 называется эрмитовостью скалярного произведения, свойство 4 называется по-

ложительной определённостью.

Следствия из определения.

1. (х,у+z)= ( y + z, x) = ( y, x) + (z, x) = (х, у)+ (х, z) х, у, z Н.

2. (х, αу) = (α y, x) =α( y, x) = α (х, у) х, у Н, α С.

Следствие 1 означает, что для скалярного произведения выполняется одно из двух свойств линейности по второму аргументу. Следствие 2 показывает, что второе свойство линейности по второму аргументу не выполняется. Поэтому

скалярное произведение в Н		называют полуторалинейной
эрмитовой положительно определенной функцией.
3. (0Н, х) = (0С 0Н , x) = 0С (0Н , x) = 0С (0Н , 0Н) = 0C.
				n	n
4. Пусть е = {е1,…, еn } – базис в Н, x = ∑xiei					, y =∑yjej .
				i=1	j=1
n	n	n			n
Тогда (x, y) = ( ∑xiei ,	∑yjej ) = ∑xi		y	j (ei , ej )	= ∑xi	y	jγi, j ,
i=1	j=1	i, j=1			i, j=1

150