algebra lecture 1stcourse 1st semester

Утверждение. χ = ψ ϕ : Ln → Ls - линейное отображение

с s× n-матрицей	[ψ ϕ] = [ψ ] [ϕ] .
	e,e′′	e′,e′′ e,e′
Доказательство. 1. a, b Ln, α,β P имеем:
χ(α a+β b)=ψ(ϕ (α a+β b))=ψ(αϕ a+βϕ b)=αψ(ϕ a)+
+βψ(ϕ b)= αχ a+βχ b – получили линейность χ.
2. Пусть x Ln,	y = ϕ x, (y Lm), z = ψ y = ψ(ϕ x), (z Ls).
Тогда [ y ] = [ϕ] [ x ],		[ z ] = [ψ] [ y ]		[ z ] = [ψ] ([ϕ] [ x ])=
e′	e	e′′	e′	e′′	e
= ([ψ] [ϕ]) [ x ] = [ψ		ϕ] [ x ]	[ψ	ϕ] =[ψ] [ϕ] – здесь мы
e		e

воспользовались ассоциативностью умножения матриц и биективным соответствием между линейными отображениями и матрицами.

Замечания.

1. В частном случае при Ln= Lm= Ls, e= e′= e′′, имеем

[ψ ϕ] = [ψ] [ϕ] .

e

e

e

2.Если ψ ϕ = id, то [ψ] [ϕ] = [id] = Е [ψ] = [ϕ] -1

[ϕ -1] = [ϕ] -1.

13.3.Сумма линейных отображений и её матрица.

Пусть ϕ, ψ : Ln → Lm - линейные отображения. Определим отображение ϕ +ψ : Ln → Lm формулой: x Ln

(ϕ +ψ)x = ϕ x + ψ x. Тогда:

1. ϕ +ψ - линейное отображение, так как x,y Ln, α,β P

(ϕ +ψ)(α x+β y)= ϕ(α x+β y)+ψ(α x+β y)=

=αϕ x+βϕ y+ αψ x+βψ y =α(ϕ+ψ)x+β(ϕ +ψ)y.

2. (ϕ +ψ)ej

= ϕ ej +ψ ej A j

+ψ

=[ (ϕ +ψ)e

j

] =[ϕe

j

] + [ψe

j

] =

ϕ

′

′

′

′

e

e

e

e,e

= Aϕj + Aψj Aϕ+ψ = Aϕ + Aψ , [ϕ +ψ] = [ϕ] +[ψ] .

e,e

′

′

′

′

′

e,e

e,e

e,e e,e

13.4. Умножение линейного отображения на элемент

поля.

Пусть ϕ : Ln → Lm - линейное отображение, r P. Опре-

делим отображение r ϕ : Ln → Lm

формулой: x Ln

(r ϕ)x = r (ϕx). Тогда:

111

1. r ϕ - линейное отображение, так как (r ϕ)(α x+β y) = =r(ϕ(α x+β y))= r(αϕ x+βϕ y)=rαϕ x+rβϕ y =α(r ϕ)x+β(r ϕ)y.

2. (r ϕ)ej = r (ϕ ej ) A j		=[ (rϕ)e		j	] =r[ϕe		j	] = r A j
	rϕ		′			′		ϕ
	′	e			e			e,e	′
	e,e
Arϕ = r Aϕ , [rϕ] = r [ϕ].
′	′
e,e	e,e

13.5. Изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры матриц.

Пусть L= Ln - линейное пространство над полем P, Ф(Ln) – множество линейных операторов ϕ: Ln → Ln. Тогда из пп.13.2-13.4 следует, что < Ф(Ln),+, , P > - некоторая универсальная алгебра.

Теорема. < Ф(Ln),+, , P > - алгебра.

Один из возможных способов доказательства этой теоремы состоит в доказательстве следующих трех утверждений:

1.Множество Ф(Ln,Lm)={ϕ: Ln → Lm} линейных отображений из Ln в Lm с операциями сложения и умножения на элементы поля является линейным пространством над полем P.

2.Ф(Ln) – ассоциативное унитарное кольцо относительно операций сложения и умножения (композиции) линейных операторов.

3.Ф(Ln) – алгебра относительно операций из пп.1,2.

Мы докажем эту теорему иначе.

Определение. Пусть A=<A, ΩA >, B=<B, ΩBB > - универ-

сальные алгебры с носителями A, B и множествами операций ΩA, ΩBB соответственно. Отображение χ: A→ B называется

изоморфизмом универсальных алгебр, если:

1.χ: A→ B – биекция носителей,

2.биекция χΩ : ΩA → ΩBB такая, что для любой n-арной операции ω ΩA операция χΩ (ω)=ω′ ΩBB также n-арная, и

a1 ,…,an А выполняется χ(a1…anω)=χ(a1)…χ(an)ω′.

Доказательство теоремы.

1.Пусть е – некоторый фиксированный базис в Ln. Опреде-

лим отображение χ: Ф(Ln) → Мn(Р), где Мn(Р) – алгебра

112

n× n-матриц над Р. Пусть ϕ Ф(Ln) по определению χϕ=[ϕ ].

e

Как мы уже видели, χ - биекция.

2. Отображение χ: < Ф(Ln),+, , P > → < Мn(Р),+, , P > яв-

ляется изоморфизмом универсальных алгебр, так как по ре-

зультатам пп.13.2-13.4

χ(ϕ+ψ) = [ϕ+ψ] = [ϕ] + [ψ] = χϕ + χψ, χ(ϕ ψ) = [ϕ ψ] = [ϕ] [ψ] =χϕ χψ, χ(r pϕ) = [r pϕ] = r p[ϕ] = r p χϕ .

3. Так как < Мn(Р),+, , P > - алгебра, то <Ф(Ln),+, , P > - алгебра, и эти алгебры изоморфны. В качестве примера до-

кажем дистрибутивность в Ф(Ln): ϕ, ψ, ξ Ф(Ln)

χ((ϕ+ψ) ξ) = χ(ϕ+ψ) χξ = (χϕ + χψ) χξ = χϕ χξ + χψ χξ = = χ(ϕ ξ) + χ(ψ ξ) = χ(ϕ ξ + ψ ξ)

(ϕ + ψ) ξ = ϕ ξ + ψ ξ (из биективности χ). Остальные условия из определения алгебры проверяются

аналогично.

Следствия.

1.dim Ф(Ln) = dim Мn(Р) = n2.

2.Если л.о. ϕ Ф(Ln) такой, что ψ Ф(Ln) имеем

ψϕ = ϕ ψ, то с Р такой, что ϕ = с P id Ln - это следует

из соответствующего свойства алгебры матриц. Упражнение. Проверить, что

B = {ϕij Ф(Ln), i,j =1,…,n ϕij ej = ei, ϕijek= 0L при k ≠ j} - ба-

зис линейного пространства Ф(Ln).

Очевидно, ϕijek=δkjei, и [ϕij] = Eij – базисные матрицы в пространстве Мn(Р).

Лекция 26.

14. МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО БАЗИСА К ДРУГОМУ

14.1. Изменение координат вектора при изменении

113

базиса.

Пусть e={e1,…,en} и e′= {e′1,…,e′n} - некоторые базисы в пространстве L = Ln. Для произвольного вектора x Ln рас-

	n	n	′ ′	и найдем зависимость
смотрим разложения x= ∑xiei = ∑xiei
	i=1	i=1
между координатами хi и х′i вектора x в этих базисах.
			n
Пусть [ x ]=[x],	[ х]=[x]′	и e′j = ∑tij ei , j = 1,…,n, tij P -
е	е′		i=1

разложение векторов базиса e′ по базису e. Определим мат-

рицу T = T=(tij)i,j=1,…,n, столбцами которой являются столцы

e→e′

Т j =[ e′j ]. Эта матрица Т называется матрицей перехода от

	e
			n		n	n
базиса	e	к базису	e′. Очевидно, x = ∑x′je′j = ∑x′j			∑tij ei =
			j=1		j=1	i=1
n	n		n
= ∑ ∑tij x′j еi хi = ∑tij x′j - это произведение i-ой строки
i=1 j=1			j=1
матрицы T= (tij ) на столбец [x]′, и [ x ]= T				′	[ x′ ] или в сокра-
			е e→e		е

щенном виде [x] = Т [x]′.

Следуя (13.1), в матричном виде всё это можно записать так: е′= е Т, х = е [x] = е′ [x]′= е Т [x]′ [x] = Т [x]′.

Очевидно, в матрице Т столбцы Т j, j=1,…,n, - линейно независимы (как столбцы координат в базисе е линейно независимых векторов e′1,…,e′n). Поэтому detT ≠ 0 T -1

[x]′= T -1 [x], то есть T -1= T .

e′→e

14.2. Изменение матрицы линейного отображения при изменении базисов.

Пусть e={e1,…,en} и e′ = {e′1,…,e′n} – два базиса в пространстве Ln, u={u1,…,um} и u′ = {u′1,…,u′m} – два базиса в

пространстве Lm, Т1	= T	′ , Т2 =	T	′ - матрицы перехода, и
	e→e		u→u

ϕ : Ln → Lm - линейное отображение. Найдем зависимость

114

между матрицами [ ϕ ] = [ϕ] и		[ ϕ ] = [ϕ]′	линейного ото-
	e,u	e′,u′
бражения	ϕ в базисах е, и и е′, и′ соответственно.
Если	y = ϕ х, то в базисах	е, и имеем	[y] = [ϕ][x], а в

базисах е′, и′ соответственно [y]′= [ϕ]′[x]′. Но [x] = Т1 [x]′,

[y]=Т2[y]′, так что Т2[y]′=[ϕ]Т1[x]′ и [y]′=Т2-1[ϕ]Т1[x]′= [ϕ]′[x]′.

Отсюда [ϕ]′= Т2-1[ϕ]Т1 или [ ϕ ] = T	′	-1[ ϕ ] T	′ . В частном
e′,u′ u→u		e,u e→e

случае при Ln = Lm, е = и, е′= и′ для линейного оператора

ϕ : Ln→ Lп получаем [ϕ ] = T −1′		[ϕ ] T	′ , то есть [ϕ]′= Т-
e′	e→e	е e→e

1[ϕ]Т,

где [ϕ] = [ϕ ], [ϕ]′= [ϕ ], Т = T .

еe′ e→e′

Лемма. Для линейного оператора ϕ : Ln → Lп det[ϕ ] не

е

зависит от базиса.

Доказательство. det[ϕ]= det[ϕ]′= det Т-1det[ϕ]det Т=

е′

= det (Т-1Т)det[ϕ] = det Е det[ϕ] = det[ϕ] = det[ϕ ].

е

Определение. Определителем detϕ линейного оператора ϕ : Ln → Lп называется det[ϕ ] - определитель матрицы ли-

е

нейного оператора ϕ в произвольном базисе е .

Из леммы следует, что наше определение корректно.

14.3. Эквивалентные матрицы.

Введем на множестве Мп(Р) квадратных матриц бинарное отношение : будем считать, что для матрицА,В Мп(Р)

выполняется А В матрица Т Мп(Р) такая, что |T| ≠ 0 и

А = Т-1ВТ.

Утверждение. Отношение на множестве Мп(Р) является отношением эквивалентности.

Доказательство.

а) А Мп(Р) А А, так как при Т= Е имеем А = Е–1АЕ, то есть отношение рефлексивно.

115

в) Пусть А В Т Мп(Р) такая, что А =Т-1ВТ В=ТА Т-1= = (Т-1)-1А Т-1=Т1-1 А Т1, где Т1 = Т-1, поэтому В А, то есть от-

ношение симметрично.

с) Пусть А В и В С Т1,Т2 Мп(Р) такие, что А =Т1-1ВТ1 и

В =Т2-1СТ2 А= Т1-1Т2-1СТ2Т1= (Т2Т1 )-1С(Т2Т1) =Т3-1СТ3, где

Т3 = Т2Т1, то есть отношение транзитивно.

Таким образом, отношение является отношением эквивалентности.

Далее мы будем использовать следующее Определение. Матрицы А, В Мп(Р) называются эквива-

лентными матрица Т Мп(Р) такая, что |T| ≠ 0 и

А = Т-1ВТ.

Очевидно, множество матриц Мп(Р) разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц. Эти классы образуют фактор-множество Мп(Р)⁄. Каждый класс эквивалентных матриц состоит из матриц некоторого линейного оператора ϕ : Ln → Lп, записанных во всевозможных базисах пространства Ln. Пользуясь этим фактом, можно было дать другое определение отношения и иначе доказать наше утверждение. Можно было считать, что А В А и В являются матрицами одного и того же оператора, но записанными в разных (может быть, совпадающих) базисах. Тогда транзитивность отношения следует из того, что если А и В являются матрицами одного и того же оператора, В и С являются матрицами одного и того же оператора, то, конечно же, А и С являются матрицами одного и того же, того же самого оператора. Ещё более очевидна рефлексивность и симметричность отношения .

Основной задачей теории матриц и теории линейных операторов является задача описания фактор-множества Мп(Р)⁄, то есть задача выбора в каждом классе единственного наиболее простого представителя, или же выбора наиболее простого вида матрицы линейного оператора в некотором «хорошем» базисе - это задача классификации всех мат-

116

риц (соответственно, всех операторов) с точностью до отношения эквивалентности . Решение этой задачи будет означать, что для любой матрицы мы сможем узнать, какой наиболее простой матрице она эквивалентна, какие пары матриц эквивалентны друг другу, сколько существует различных матриц с точностью до эквивалентности. Для операторов это будет означать, что для любого оператора мы сможем узнать, к какому наиболее простому виду можно привести его матрицу выбором подходящего базиса, сколько существует различных операторов, насколько они похожи, как устроены, каков их геометрический смысл.

Упражнение. Доказать, что если А В, то detA = detB и rgA = rgB.

15. ОБРАЗ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Пусть ϕ : L → L′ - линейное отображение.

Определения.

1.Образом линейного отображения ϕ называется множество

Imϕ = {y L′ | x L: y = ϕ x}, то есть Imϕ = {ϕx| x L} = = ϕL L′.

2.Ядром линейного отображения ϕ называется множество

Kerϕ = {x L| ϕ x = 0}, то есть Kerϕ = ϕ-1(0L′) L.

Теорема 1.

1.Imϕ - подпространство в L′.

2.Kerϕ - подпространство в L.

Эта теорема – частный случай теоремы 2.

Теорема 2. Пусть ϕ : L → L′ - линейное отображение, V – подпространство в L, W – подпространство в L′. Тогда ϕ V - подпространство в L′, ϕ -1W – подпространство в L (образы и прообразы подпространств при линейных отображениях являются подпространствами).

Доказательство.

1. Пусть y1, y2 ϕV х1, х2 V такие, что y1=ϕх1, y2=ϕх2.

117

α,β Р αх1+βх2 V, так как V – подпространство

ϕ(αх1+βх2)=αϕ х1+βϕ х2= α у1+β у2 ϕV ϕV - подпростран-

ство.

2. Пусть х1, х2 ϕ-1W ϕх1, ϕх2 W α,β Р

αϕ х1+βϕ х2 = ϕ(αх1+β х2) W, так как W – подпространствоαх1+βх2 ϕ-1W ϕ-1W - подпространство.

Теорема 3. ϕ - инъекция Kerϕ = {0}.

Доказательство.

. Если Kerϕ х ≠ 0, то ϕ х = ϕ 0 = 0 ϕ - не инъекция.

. Если ϕ х1= ϕ х2, то ϕ х1 - ϕ х2= ϕ (х1 – х2)= 0

х1 – х2 Kerϕ = {0} х1 – х2= 0 х1 = х2 ϕ - инъекция.

Замечание. Kerϕ - мера неинъективности отображения

ϕ: если y =ϕ х, то ϕ-1y = х + Kerϕ .

Доказательство.

1.ϕ (х + Kerϕ)= ϕ х +ϕ(Kerϕ)=у + 0 = у ϕ-1y х + Kerϕ.

2.Если х′ ϕ-1y, то ϕ х′= ϕ х = у ϕ(х′- х) = 0

х′- х Kerϕ х′ х + Kerϕ ϕ-1y х + Kerϕ.

Теорема 4 (структура Imϕ). Пусть ϕ : L → L′ - линейное

отображение, е = {е1,…, еn} – базис в L, е′= {е′1,…, е′m} – базис в L′, [ϕ] - матрица ϕ в базисах е, е′. Тогда:

1.Imϕ = <ϕ е1,…,ϕ еn>,

2.dim Imϕ = rg[ϕ].

Доказательство.

n	n	n
1. x L, x= ∑xiei ,	ϕ х = ϕ( ∑xiei )= ∑xiϕei		<ϕ е1,…,ϕ еn>
i=1	i=1	i=1

Imϕ = <ϕ е1,…,ϕ еn>, {ϕе1,…,ϕ еn} – система образующих для Imϕ .

2. dim Imϕ - это ранг системы векторов {ϕ е1,…,ϕ еn}, то есть ранг системы столбцов координат этих векторов

118

[ϕe1 ],…,[ϕen ], которые являются столбцами матрицы [ϕ].
е′	е′

Отсюда dim Imϕ = rg[ϕ].

Следствие. Так как в равенстве dim Imϕ = rg[ϕ] левая часть от базиса не зависит, то и rg[ϕ] во всех базисах один и тот же.

Определение. Пусть ϕ : Ln→ Lm - линейное отображение.

Рангом отображения ϕ называется число dim Imϕ = rg[ϕ],

которое мы будем обозначать rgϕ.

Дефектом отображения ϕ называется число dim Kerϕ, ко-

торое мы будем обозначать defϕ.

Теорема 5. rgϕ + defϕ = n = dimLn.

Доказательство. Выберем базис {е1,…,еd} в подпростран-

стве Kerϕ и дополним его до базиса {е1,…, еd, еd+1,…, еn} всего пространства Ln. Тогда Imϕ =<ϕ е1,…,ϕ еd, ϕ еd+1,…,ϕ еn>= = <ϕ еd+1,…,ϕ еn>, так как ϕ е1=…=ϕ еd= 0. Покажем, что {ϕ еd+1,…,ϕ еn} – базис в пространстве Imϕ. Для этого доста-

точно доказать, что векторы {ϕ еd+1,…,ϕ еn} – линейно неза-

висимы. Пусть αd+1ϕ еd+1 +…+ αnϕ еn = 0

ϕ(αd+1еd+1+…+αnеn) = 0

αd+1 еd+1 +…+ αn еn Kerϕ = <е1,…, еd>

αd+1еd+1 +…+ αnеn=α1е1+…+αd еd

α1е1+…+αd еd - αd+1 еd+1 -…-αnеn= 0. Но {е1,…,еn} линейно не-

зависимы. Значит, все α i= 0. Таким образом, {ϕеd+1,…,ϕ еn} –

базис в пространстве Imϕ, dim Imϕ = n – d = n – dim Kerϕ rgϕ + defϕ = n = dimLn.

Следствие. Ln=<е1,…, еd, еd+1,…, еn>=<е1,…, еd>

<еd+1,…, еn>=Kerϕ <еd+1,…, еn>, и ϕ : <еd+1,…, еn>→ Imϕ

- изоморфизм линейных пространств.

Лекция 27.

119

Теорема 6. Для линейного оператора ϕ : Ln → Ln эквивалентны следующие 10 условий:

1.Kerϕ = {0},

2.defϕ = 0,

3.rgϕ = n,

4.Imϕ = Ln,

5.ϕ - инъекция,

6.ϕ - сюръекция,

7.ϕ - биекция,

8.ϕ-1,

9.[ϕ]-1,

10.detϕ ≠ 0.

Доказательство.

Очевидно, 1 2 и 3 4 6 из определения, 2 3 из теоремы 5, 1 5 из теоремы 3, 5&6 7 из определения. Так как rgϕ = rg [ϕ], а detϕ = det [ϕ], то из теории определителей 3 10, а из теории матриц 10 9. Эквивалентность 9 8 следует из того, что [ϕ]-1= [ϕ -1]. Либо можно доказать эквивалентность 7 8 следующим образом: 8 7 – из определения, а если имеет место 7, то, очевидно, отображение ϕ -1 , и нам требуется лишь доказать его линейность. Пусть ϕ-1х = u,

ϕ-1y = v ϕu = х, ϕv = y ϕ(αu+β v) =α х +β y

ϕ-1(α х +β y) = αu+β v = αϕ-1х + βϕ-1y ϕ-1 – линейно.

Определение. Линейный оператор ϕ называется невырожденным, если выполняется любое из десяти эквивалентных условий из Теоремы 6. В противном случае оператор называется вырожденным.

16. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

Определение. Для линейного оператора ϕ : L → L подпространство V L называется инвариантным относительно ϕ (или ϕ-инвариантным), если ϕV V ( х V ϕ х V).

120