algebra lecture 1stcourse 1st semester

24.4. Определение квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Матрица и ранг квадратичной формы.

Определение. Пусть f - билинейная функция на линейном пространстве L над P. Функция F: L → P, заданная формулой F(x) = f(x, x) x L, называется квадратичной функцией, определяемой билинейной функцией f .

n	n
Если f(x, y)= ∑xi yj fi j , то	F(x) = ∑xi xj fi j - многочлен,
i, j=1	i, j=1

все одночлены которого имеют вторую степень по координатам х, то есть это форма второй степени, или же квадратичная форма. Таким образом, квадратичная функция F(x) задается квадратичной формой от координат х.

Упражнение. Доказать, что соответствие f → F не инъективно.

Определение. Билиненая форма (функция) f называется

симметричной, если f(x, y) = f(y, x) x, y L.

Упражнение. Доказать, что f – симметрична f(ei, ej) = = f(ej, ei) i, j (для некоторого) базиса e [ f ] = [ f ] t .

e e

Утверждение. Если charP ≠ 2, то соответствие f ↔ F между симметричными билинейными и квадратичными формами является биекцией.

Доказательство. Пусть f - симметричная билинейная форма, и f → F. Тогда x, y L F(x + y) = f(x + y, х + у)= = f(x, х) + f(y, у) + f(x, y)+ f(y, x) = F(x) + F(y) + 2 f(x, y)

	f(x, y)=	1	(F(x + y) - F(x) - F(y)).	(24.2)
		2

Следовательно, билинейная форма f однозначно восстанавливается по определенной ею квадратичной форме F, и значит, соответствие f → F является инъекцией.

Упражнения.

1. Пусть F – некоторая квадратичная форма (полученная, например, из билинейной не обязательно симметричной формы g). Проверить в координатах, что форма f , получен-

161

ная из F по формуле (24.2) будет билинейной.

2. Проверить, что эта форма f будет симметричной, и что f → F.

Из упражнений следует, что соответствие f → F является сюръекцией и, следовательно, биекцией.

Определение. Матрицей [F ]						квадратичной формы F в
базисе е					е
	называется матрица соответствующей симметрич-
ной билинейной формы			f :	[F ]		= [ f ] .
Следовательно, [F] t				е		е
			=	[F],	и в другом базисе е′
[F ] = T t [F ]		T . Кроме того,			F(x) = [x]t [F ] [x] , и по оп-
е′ e→e′	е	e→e′				e	e e

ределению rg F = rg f.

24.5. Эквивалентность билинейных форм и квадратичных форм.

Пусть ϕ: L→ L - невырожденный линейный оператор, и g(x, y) - билинейная форма на пространстве L. Пусть по определению gϕ(x, y)= g(ϕ x,ϕ y). Аналогично для квадратичной формы по определению Gϕ(x) = G(ϕ x).

Упражнение. Проверить, что 1. gϕ - билинейная форма,

ϕ	)	ψ	= g	ϕ ψ	, 3. g	id	ϕ	f	ϕ−1	.
2. (g							= g, 4. если f = g , то g =

Будем говорить, что билинейные формы f и g на пространстве L (соответственно, квадратичные формы F и G) находятся в отношении ~ (f ~ g, F ~ G), если существует не-

вырожденный линейный оператор ϕ: L→ L такой, что f = gϕ (соответственно, F = Gϕ).

Если ϕ - унитарный оператор в Нп (или ортогональный оператор в Еп), то будем говорить, что формы f и g (F и G) находятся в отношении ≈.

Упражнение. Проверить, что отношения ~ и ≈ являются отношениями эквивалентности на множестве билинейных (соответственно, квадратичных) форм.

Определение. Формы f и g (соответственно, F и G) на-

162

зываются эквивалентными, если f ~ g (F ~ G).

Формы f и g (F и G) называются унитарно эквивалентными (ортогонально эквивалентными в случае Еп), если

f ≈ g (F ≈ G).

Так как gϕ(x, y) = g(ϕ x,ϕ y) = [ϕ x] t[g][ϕ y] =

= [x]t [ϕ]t [g][ϕ][ y] = [x]t([ϕ]t[g][ϕ])[y] = [x]t[gϕ][y], то

[gϕ ] = [ϕ] t [g] [ϕ] = [g] = [g] , где е′= ϕ е. Аналогично,

e	e	ϕe	e′
[Gϕ ] = [ϕ] t [G][ϕ] = [G] = [G].
e	e	ϕe	e′
	Следовательно,	f ~ g	в произвольном базисе

[f] = T t[g]T, где T – некоторая невырожденная матрица. Так

же	f ≈ g в произвольном ортонормированном базисе
[ f ] = T t[g]T,		где T – некоторая унитарная (ортогональная
при	L = Еп)	матрица. Очевидно, Т = [ϕ]. Для квадратичных

форм всё аналогично.

Следствие 1. f ~ g в L существуют базисы e и e′ та-

кие, что [ f ] =[g] . Соответственно, f ≈ g в L - существу-

e e′

ют ортонормированные базисы e и e′ такие, что [ f ] =[g] .

e e′

Следствие 2. Если f ~ g, то rg f = rg g, то есть эквивалентные формы имеют равные ранги.

Действительно, rg f = rg[ f ] = rg [g] = rg g.

e e′

Введенные нами отношения эквивалентности ~ и ≈ разбивают множество билинейных (квадратичных) форм, определенных на пространстве L над P, на непересекающиеся классы эквивалентных форм. При изучении фактормножества возникают важные вопросы: какой наиболее простой вид может иметь представитель каждого класса эквивалентных форм, сколько существует различных классов, какие формы эквивалентны, насколько выбором базиса в L можно упростить матрицу билинейной и квадратичной формы. Эти вопросы мы и будем далее рассматривать для квадратичных и симметричных билинейных форм.

163

Лекция 35.

24.6.Канонический и нормальный вид квадратичных

исимметричных билинейных форм.

Пусть L - линейное пространство над произвольным полем Р, char P ≠ 2, f(x, y) – симметричная билинейная форма на L, F(x) – соответствующая квадратичная форма.

Определение. Будем говорить, что векторы х, у из L ор-

тогональны в смысле f (или f-ортогональны), если f(x, y)= 0.

Этот факт мы будем обозначать так: х f у.

Теорема. В L существует f-ортогональный базис.

Доказательство.

1.	Если F(x) = 0 x L, то из (24.2) f(x, y) = 0	x, у
любой базис в L является f-ортогональным.
2.	Если же е L такой, что F(е) ≠ 0, то пусть	е = е1,

L1 = <е1>, L2 = {x L | f(е1, x) = 0}. Легко проверить, что L2 –

подпространство. Будем называть L2 ортогональным дополнением к L1 в смысле формы f и обозначать L1 f . Докажем,

что L = L1 L1 f .

a) Пусть х L1 ∩ L1 f . Тогда х= α е1 f(е1,αе1)=α f(е1, е1) =

= α F(е1) = 0 α = 0 x = 0 L1 ∩ L1 f			= 0.
б) Покажем, что х L α Р такое, что х = αе1 + у, где
у L f . В самом деле,	у L f	(х - αе1) f е1
1	1
f(х - αе1, е1) = 0 α = f(х, е1)/ f(е1, е1)			(так как f(е1, е1)=
=F(е1)≠ 0).			= n – 1, и для L f
Таким образом, L = L1 L f		, dim L f
	1	1	1

можно считать, что утверждение теоремы выполнено по предположению индукции, то есть в L1 f f-ортогональный

базис {е2,е3,…,еn}. Тогда, очевидно, {е1,е2,…,еn} - f-ортого- нальный базис в L.

164

Итак, мы нашли базис e = {е1,…,еn} такой, что f(еi, еj) = 0 при i ≠ j. Пусть f(еi, еi) = λ i . Тогда в этом базисе

[ f ] = diag(λ1,…, λn); f(x, y) = ∑λi xi yi , F(x) = ∑λi xi2 , и такой

e

вид билинейной и квадратичной форм называется каноническим. Следовательно, любая симметричная билинейная форма и любая квадратичная форма эквивалентны формам канонического вида. То есть существует линейная замена координат, которая приводит произвольную симметричную билинейную форму (квадратичную форму) к каноническому виду.

Пусть f(еi, еi) = λ i ≠ 0 при i = 1,…,r и f(еi, еi) = 0 при i = r+1,…,п. Тогда r = rg f, и r от базиса не зависит.

Рассмотрим случай Р = С. Возьмём μi С такие, что

μi2 = λ i при i = 1,…,r, μi = 1 при i = r+1,…,п. Тогда по-

сле замены координат zi = μix i получим F(x)= z12+…+zr2 - такой вид квадратичной формы называется нормальным.

Итак, нами доказана Теорема. В линейном пространстве над полем С для лю-

бой квадратичной формы F существует базис e′={e1′,…,eп′}, в котором форма имеет нормальный вид, то есть для х= ∑ziei′

F(x) = z12+…+zr2. Соответствующая симметричная билинейная форма имеет нормальный вид f = z1 w1+…+zr wr.

Следствие. Над полем С класс эквивалетных форм определяется рангом r. Формы с одинаковым рангом эквивалентны, формы с разными рангами не эквивалентны. Существует r+1 классов эквивалентных форм.

Теперь рассмотрим случай Р = R. Будем считать, что форма F имеет канонический вид F(x) = λ1х12+…+λsxs2 –

- λs+1хs+12-…- λs+t хs+t2, где все λi > 0, s+t = r. Пусть μI = λi

при i = 1,…,r, μi = 1 при i = r+1,…,п. Тогда после замены

координат zi= μix i получим F(x)= z12+…+zs2– zs+12-…-zs+t2

- такой вид квадратичной формы в случае поля R называет-

ся нормальным.

165

Таким образом, нами доказана

Теорема. В линейном пространстве L над полем R для любой квадратичной формы F существует базис, в котором

форма имеет нормальный вид F(z) = z12+…+zs2– zs+12-…-zs+t2. Соответствующая симметричная билинейная форма f имеет

нормальный вид f(z, w) = z1 w1+…+zs ws – zs+1ws+1-…- zs+tws+t.

Определения.

1.	Квадратичная форма F называется положительно опреде-
лённой или положительной (F > 0), если x ≠ 0				F(x)> 0.
Тогда и f называется положительно определенной,				f > 0.
	Очевидно, в этом случае F имеет нормальный вид
F(z) = z12+…+zп2, и s = n, t = 0.
2.	Аналогично, F - отрицательно определённая или отрица-
тельная (F < 0), если x ≠ 0 F(x) < 0. Тогда и				f < 0.
	В этом случае F имеет нормальный вид
F(z) = - z12-…- zп2, где s = 0, t = п.
3.	Будем говорить, что F неотрицательно определённая
(F ≥ 0), если x ≠ 0			F(x) ≥ 0. Тогда и f ≥ 0.
	Очевидно, в этом случае F имеет нормальный вид
F(z) = z12+…+zs2, где			s < n, t = 0.
4.	Также F - неположительно определённая (F ≤ 0), если
x ≠ 0		F(x) ≤ 0. Тогда и f ≤ 0, а F имеет нормальный вид
F(z) = - z12-…- zt2, где s = 0, t < n .
5.	И наконец, F - неопределённая, если x такой, что F(x)> 0,
и	у	такой, что F(у) < 0. Тогда и f – неопределённая, а F

имеет нормальный вид F(z) = z12+…+zs2– zs+12-…- zs+t2, где s > 0, t > 0 .

24.7. Закон инерции для квадратичных форм. Теорема (закон инерции). Если форма F в базисе е име-

ет нормальный вид F(z) = z12+…+zs2– zs+12-…-zs+t2, то числа s и t от базиса не зависят, то есть для любого базиса е′, в котором F имеет нормальный вид, числа s и t будут теми же самыми.

Доказательство. Докажем, что s равно максимальной размерности подпространства в L, на котором F > 0. Отсюда

166

и будет следовать независимость s от базиса. Очевидно, если е = {е1,е2,…,еn}, то подпространство L1 = <е1,е2,…,еs> та-

кое, что F L1 > 0. Таким образом, существует подпространст-

во размерности s, на котором F > 0.

Покажем, что не существует подпространства размерности большей s, на котором F > 0. Предположим противное: пусть L2 – подпространство, на котором F > 0, и dimL2 > s.

Рассмотрим подпространство			L3 = <еs+1,…,еn>. Очевидно,
F		L ≤ 0. По теореме 3 из п.12	dimL2 ∩L3 = dimL2 + dimL3 –
		3

– dim(L2+L3) > s + (n – s) – n = 0 если L2 ∩L3 х, х ≠ 0, то

F(х)> 0	и F(х)≤ 0 - противоречие, то есть L2 не существует,
и для s	теорема доказана.

Далее рассмотрим форму – F. Теперь числа t и s меняются ролями, и t – это максимальная размерность подпространства в L, на котором – F > 0. То есть t также не зависит от базиса.

Определение. Число s называется положительным индексом инерции формы F и обозначается I+(F). Число t называется отрицательным индексом инерции формы F и обозначается I -(F).

Из доказанной теоремы следует корректность определения индексов инерции.

Следствие. Квадратичные формы имеют 2 числовых инварианта I+ = s, I - = t, которые независимы и составляют полную систему инвариантов, так как определяют квадратичную форму с точностью до эквивалентности. Другими словами, любой класс эквивалентных квадратичных форм однозначно определяется парой чисел (s, t).

Упражнение. Посчитать количество классов эквивалентных форм.

24.8. Критерий Сильвестра.

Пусть е – произвольный базис в линейном пространстве L над R. Для квадратичной формы F обозначим через Мk

167

левый угловой минор порядка k матрицы [F] в базисе е :

f11 ... f1k

Мk = ... ... ... .

fk1 ... fkk

Теорема (критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы). F > 0 все Мk > 0.

Доказательство.

. Пусть F > 0. Тогда в некотором базисе е′ форма F имеет

нормальный вид, и [F ] = Е. Если Т = T		, то [F ] = Тt [F ] T =
e′	e′→e		e′
		e

=ТtЕТ= ТtТ, и det[F] = |ТtТ| = |T|2 > 0. Рассмотрим подпространство Lk= <е1,е2,…,еk>. Очевидно, ограничение формы F

на это подпространство F Lk > 0 det [F Lk ]= Мk > 0 k.

. Пусть все Мk > 0. Тогда det[F] = Мп > 0. Рассмотрим подпространство Lп-1 = <е1,…,еп-1>. Заменим базисный вектор еп на базисный вектор ип , f-ортогональный к Lп-1. Для

этого будем искать ип в виде ип = еп - α1е1 -…- αп-1еп-1,			при-
чём потребуем, чтобы при	i =1,…, п-1	f(ип , еi)= 0 . Запи-
шем эти уравнения в виде	f(еп - α1е1 -…- αп-1еп-1, еi)= 0		или в

виде f(α1е1 +…+ αп-1еп-1, еi) = f(eп , еi). Воспользовавшись линейностью f по первому аргументу, получим систему (п-1)-го линейного уравнения с (п-1) неизвестным α1,…,αп-1:

α1f(е1,еi)+…+αп-1f(еп-1, еi)= f(eп , еi), i =1,…, п-1. Определите-

лем этой системы является Мп-1 ≠ 0. Поэтому у этой системы существует единственное решение, которое можно найти, например, по правилу Крамера. Очевидно, система векторов е′= {е1,…,еп-1,uп} линейно независима, то есть является базисом в L. В этом базисе

			f		...	f	0
			11			1,п−1	0
[ f ] = ... ...						...			, и	det [ f ] = Мп-1 λп > 0. Так
e	′			−1 ...		fп−1,п−1	0			e	′
		f1,п
			0		...	0	λп

168

как Мп-1>0, то λп> 0. Далее мы от еп-1 перейдем к ип-1, f-ор- тогональному к Lп-2, и получим λп-1> 0, и т.д. В конце концов мы получим базис и, в котором [ f ] = diag(λ1,…, λn),

u

F(y) = λ1y12+…+λnyn2. Так как все λi > 0, то F > 0.

Лекция 36.

25. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

25.1. Приведение формы ортогональным преобразованием координат.

Пусть Еп евклидово пространство с ортонормированным базисом и, F(x) – некоторая квадратичная форма с матрицей [F ] в базисе и и f(x,у) – соответствующая симметричная би-

u		[F ]. Рассмотрим линей-
линейная форма с матрицей [ f ]	=
		u
ный оператор ϕ с матрицей [ϕ]u = [F ]. Так как матрица [F ] -
u	u	u

симметричная, то ϕ - самосопряженный линейный оператор, ϕ* = ϕ . По теореме о структуре самосопряженного линейно-

го оператора в Еп	существует ортонормированный базис и′,
в котором матрица оператора ϕ диагональна:
[ϕ]= diag(λ1,λ2,…,λn). Пусть Т = T . Тогда Т – ортогональ-
u′	u→u′

ная матрица (так как по столбцам матрицы Т стоят координаты

векторов из ортонормированного базиса и′), и, значит,

Т -1=Тt . Но [F ] = Тt [F ]Т = Т-1 [ϕ]Т = [ϕ] = diag(λ1,λ2,…,λn).

u′

u

u

u′

Следовательно, если в базисе и′ вектор v имеет координаты (y1,y2,…,yn), то форма F имеет канонический вид,

169

F(v)=λ1y12+λ2y22+…+ λnyn2. Соответственно, если в этом ба-

зисе вектор w = (z1,…,zn ), то f(v,w)=λ1y1z1+λ2y2z2+…+λnynzn .

Таким образом, нами доказана

Теорема. Для любой квадратичной формы F(x) в евклидовом пространстве Еп существует ортонормированный базис и′, в котором форма F имеет канонический вид. Это означает, что существует ортогональная матрица Т перехода к новому базису u′, в котором матрица формы F диагональна:

Тt [F ]Т = [F ] = diag(λ1,λ2,…,λn). Канонический вид формы F

u u′

определен однозначно с точностью до перенумерации коэффициентов λ1,λ2,…,λn .

Следствие 1. Квадратичная форма F ортогонально эквивалентна форме, имеющей канонический вид (см. п.24.5).

Следствие 2. Две квадратичные формы канонического вида ортогонально эквивалентны тогда и только тогда, когда их коэффициенты λ1,λ2,…,λn отличаются, может быть, лишь порядком.

Следствие 3. Две квадратичные формы ортогонально эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы даже в различных ортонормированных базисах имеют одинаковые характеристические многочлены.

Так как коэффициенты λ1,…,λn формы F – это собственные значения линейного оператора ϕ , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для матрицы [ϕ] = [F ],

u	u
то есть уравнение det([F ] -λE) = 0. Векторы базиса
u

и′ = {и′1,…, и′n} – это собственные векторы линейного оператора ϕ, и найти все и′i можно, решая однородные системы линейных уравнений ([F ] - λ iE)[x]= [0]. Различным собст-

u

венным значениям соответствуют ортогональные друг другу собственные векторы, и, если dim Ker([F ] - λ iE) = 1, то най-

u

денный вектор необходимо лишь нормировать, то есть раз-

170