algebra lecture 1stcourse 1st semester

1

2 ...

p

p +1

p + 2

...

n

, а t - число инвер-

σ =

j

j ...

j

j

j

...

j

p

p+1

p+2

n

1

2

сий подстановки σ. Но, очевидно, t = r + s, так как у подстановки σ инверсии образуют лишь элементы j1, j2,…, jp между собой и элементы jр+1, jр+2,…, jп между собой, а между элементами из подмножеств j1, j2,…, jp и jр+1, jр+2,…, jп инверсий нет, так все элементы второго подмножества больше элементов первого подмножества и расположены правее.

Таким образом, в правой части формулы (5.2) все одно-

члены

a

a

...a

pj

a

p+1, j

a

p+2, j

...a

из

M 1,2,..., p M p+1, p+2,...,n

1 j

2 j

p

p+1

p+2

n, j

n

1,2,..., p p+1, p+2,...,n

1

2

имеют правильные знаки. Лемма доказана.

Продолжим доказательство теоремы. Докажем теперь, что все одночлены в (5.2) из слагаемого

(−1)	k1 +k2 +...+k p +i1 +i2 +...+ip	k1 ,k2 ,...,kp				k p+1 ,k p+2 ,...,kn					имеют правильные
		Mi	,i	,...,i	p	Mi	p+1	,i	p+2	,...,i
		1	2							n

знаки. В матрице A переставим k1-й столбец на 1-е место, меняя местами его каждый раз с соседними предыдущими столбцами, за (k1–1) шагов; затем k2-й столбец на 2-е место за (k2–2) шагов и т.д.; и наконец, kр-й столбец на р-е место за (kр–р) шагов. После этого столбцы с номерами kp+1, kp+2,…,kn займут в матрице места с номерами р +1, р +2,…,п . Теперь такую же процедуру проделаем со строками матрицы А: строки с номерами i1, i2,…, ip переставим на 1-е места за (i1 – 1)+(i2 - 2)+ +…+( ip – р) шагов. После этого строки с номерами iр+1, iр+2,…,iп займут места с номерами р+1, р +2,…,п . Полученную матрицу обозначим А′. Её определитель

|A′| =

(−1)k1 +k2 +...+k p +i1 +i2 +...+ip |A|. По лемме все одночлены из

1,2,..., p

p+1, p+2,...,n

для |A′|

имеют правильные знаки. Но

M ′1,2,..., p

M ′p+1, p+2,...,n

|A|= (−1)

k1 +k2 +...+k p +i1 +i2 +...+ip

|A′|,

1,2,..., p

=

k1 ,k2 ,...,k p

,

M ′1,2,..., p

Mi ,

i ,..., i

p

1

2

p+1, p+2,...,n

k p+1 ,k p+2 ,...,kn

, и значит, все одночлены из

M ′p+1, p+2,...,n

= Mi

p+1

, i

p+2

,..., i

n

(−1)

k1 +k2 +...+k p +i1 +i2 +...+ip

k1 ,k2 ,...,kp

k p+1 ,k p+2 ,...,kn

имеют правильные

Mi

,i

,...,i

p

Mi

p+1

,i

p+2

,...,i

1

2

n

41

знаки для |A|.

Замечания.

1.Как и для разложения определителя по фиксированным р столбцам в формуле (5.2), имеет место аналогичное разложение по фиксированным р строкам, которое получается из (5.2) транспонированием.

2.Разложения определителя по произвольному столбцу (или произвольной строке) является частным случаем разложения

(5.2) при р = 1.

3.Теорема об определителе с углом нулей также является частным случаем теоремы Лапласа.

Лекция 11.

6. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

6.1. Определения, примеры.

1. Алгебраической п-арной операцией (или операцией ар-

ности п) на множестве А называется отображение ω: Ап→ А. При п = 1 операция называется унарной, при п = 2 операция называется бинарной, при п = 3 – тернарной. При п = 0 операция называется нульарной. Нульарная операция – это функция со значениями в А, которая не зависит ни от каких аргументов. Такими функциями являются константы. Поэтому по определению нульарная операция ω на А – это фиксация в А некоторого элемента aω .

2. Универсальной алгеброй называется пара <A,Ω>, где А

- некоторое непустое множество, называемое носителем универсальной алгебры, а Ω - некоторое множество операций на А различной арности. Когда ясно, какое множество Ω имеется в виду, универсальной алгеброй называют сам носитель А.

3. Полугруппой называется универсальная алгебра с одной бинарной ассоциативной операцией . То есть Ω = { }, и <P, >– полугруппа, если х1, х2, х3 Р (х1 х2) х3= х1 (х2 х3).

42

Утверждение. Если - ассоциативная операция, то результат последовательного применения этой операции к элементам х1, х2,…, хп Р (которые не обязательно все различны) не зависит от расстановки скобок, то есть не зависит от порядка выполнения операций и, значит, скобки можно не ставить совсем.

Доказательство. Выражение, содержащее х1, х2,…, хп и операции с произвольной расстановкой скобок, имеющей смысл, будем называть словом, а п будем называть длиной слова. Будем называть расстановку скобок вида (…((х1 х2) х3)… хп) правильной, а соответствующее слово - правильным. При правильной расстановке скобок операции выполняются над элементами слева направо по порядку – вначале самая левая, затем следующая и т.д.

Покажем, что при любой расстановке скобок результат выполнения операций будет тот же, что и при правильной расстановке скобок.

Докажем утверждение индукцией по длине слова п.

При п = 3 утверждение означает ассоциативность операции и выполняется по определению.

Пусть утверждение верно для п –1. Докажем его для п. Рассмотрим произвольное слово w длины п и последнюю по порядку выполнения операцию в w над подсловами w1 и w2: w = w1 w2. Так как длина w1 меньше п, то по предположению индукции можно считать, что расстановка скобок в w1 - правильная. а) Если длина w2 равна 1, то расстановка скобок в w правильная. б) Если длина w2 больше 1, то опять по предположению индукции можно считать, что расстановка скобок в

w2 правильная, и w2=w3 хп. Тогда w = w1 (w3 хп)=(w1 w3) хп,

и слово w1 w3 можно по предположению индукции заменить на правильное слово w4. Тогда и w = w4 хп – правильное.

4.Моноидом называется полугруппа <М,Ω> с операцией ,

вкоторой существует нейтральный элемент ε относительно

43

операции , то есть элемент ε такой, что ε х= хε= х х М. Таким образом, для моноида множество операций Ω ={ ,ωε }, где ωε - нульарная операция, фиксация в М элемента ε.

5. Группой <G,Ω> называется моноид, в котором g G существует обратный элемент, то есть такой элемент g′ G, что g g′= g′g =ε. Обратный элемент для g обозначается g -1. Ввиду важности понятия группы дадим определение группы ещё раз.

Определение. Множество G называется группой, если I. на множестве G определена бинарная операция и II. выполнены свойства

1.(g1 g2) g3= g1 (g2 g3) g1, g2, g3 G (ассоциативность)

2.ε G такой, что εg = gε = g g G. Элемент ε на-

зывается нейтральным элементов в G или нейтралом.

3. g G g′ G такой, что g g′ = g′g =ε. Элемент g′ называется обратным для g и обозначается g -1.

Легко видеть, что для группы множество операций

Ω = { ,ωε , (.)-1 }.

Группа называется коммутативной (или абелевой), если g1 g2 = g2 g1 g1, g2 G.

6.Ассоциативным, коммутативным, унитарным кольцом (АКУ-кольцом) <K,Ω> называется универсальная алгебра с

Ω= {+, , -(.), 0K , 1K}, где «+» (сложение) и « » (умножение) - бинарные операции, -(.) - унарная операция, и 0K , 1K - нульарные операции, удовлетворяющие условиям:

1.<K, +, -( ), 0K > - абелева группа (аддитивная группа кольца – коммутативная).

2.<K, , 1K > - коммутативный моноид (мультипликативный моноид кольца – коммутативный).

3.Операции сложения и умножения связаны условиями дистрибутивности:

(a + b) ·c = a·c + b·c, c·(a+b) = c·a + c·b a, b, с K.

Можно дать следующее эквивалентное предыдущему более подробное

Определение. Множество K называется АКУ–кольцом,

44

если

I. на K заданы операции «+» (сложение) и «·» (умножение), и

II.для этих операций выполнены свойства

1.(a + b) + c = a + (b+ c) a, b, с K,

2.элемент 0K K такой, что 0K + a = a+0K = a a K, 0K называется нейтральным элементом по сложению в K (или нулевым элементом),

3.a K элемент -a K такой, что

(-a) + a = a + (-a) = 0K . -a называется элементом, противо-

положным к a,

4.a + b = b + a a, b K,

5.(a b) c =a (b c) a, b, с K,

6.элемент 1K K такой, что 1K · a = a·1K = a a K, 1K называется нейтральным элементом по умножению в K (или единичным элементом),

8. a b = b a a, b K,

9. (a + b) ·c = a·c + b·c, c·(a+b) = c·a + c·b a, b, с K.

АКУ-кольцо называется полем, если выполнено дополнительное свойство

7. a K\{0K} элемент a′K такой, что a′a= a a′= 1K . a′ называется элементом, обратным к a, и обозначается a -1.

Если не выполняется свойство 5, то кольцо называется неассоциативным, если не выполняется свойство 6, то кольцо называется неунитарным, если не выполняется свойство 8, то кольцо называется некоммутативным.

Далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать ассоциативные, унитарные кольца (АУ-кольца). Произведение элементов a и b, как обычно, мы будем обозначать ab (без точки), 0K и 1K, если это не вызовет недоразумений, будем обозначать 0 и 1 соответственно. Называя кольцо, будем указывать только носитель K и бинарные операции, либо только носитель, если ясно, какие операции имеются в виду.

Примеры колец.

1. < Z,+, > - АКУ-кольцо целых чисел.

45

2.< 2Z,+, > - неунитарное АК-кольцо чётных чисел.

3.< nZ,+, > - неунитарное АК-кольцо чисел, кратных n,

где n Z, n ≠ ±1.

4.R[x] - АКУ-кольцо многочленов с действительными коэффициентами.

5.С[a,b] - АКУ-кольцо функций, непрерывных на отрезке [a,b].

6.<0K,+,> - тривиальное АКУ-кольцо, в котором 1K= 0K.

7.Пусть K1 и K2 – кольца. Рассмотрим множество

K1×K2 = {(a,b)| a K1, b K2}. Пусть по определению

(a1,b1)+ (a2,b2) = (a1+a2, b1+b2), (a1,b1)(a2,b2) = (a1a2, b1b2).

Тогда K1×K2 – кольцо, причем, если K1, K2 - АКУ-кольца, то K1×K2 – АКУ-кольцо.

Упражнение. Проверить, что универсальные алгебры в примерах 1 – 7 являются кольцами.

6.2. Простейшие свойства колец. 1. a K a 0 = 0 a = 0.

Доказательство. 0 + 0 = 0 a (0 + 0) = a 0 a 0 + a 0= a 0 -(a 0)+ (a 0 + a 0)= -(a 0)+ a 0 (-(a 0)+ a 0) + a 0= 0 0 + a 0 = 0 a 0 = 0.

Аналогично, 0 a = 0.

2. Если 1 = 0, то K = {0} – тривиальное кольцо.

Доказательство. a K				a = 1 a = 0 a = 0.
3. Общий закон дистрибутивности: m ≥ 1, n ≥ 1
	m	n	m	n
	( ∑ai ) ( ∑bj )= ∑∑aibj .
	i =1	j =1	i=1 j=1
Доказательство индукцией по s = m + n.
При m = n = 1 утверждение очевидно:					a1b1 = a1b1.
Пусть m ≥ 2 или		n ≥ 2 и пусть для s = m + n – 1 утвержде-
		m	n	m−1	n−1
ние верно. Тогда ( ∑ai ) ( ∑bj )=( ∑ai +am) ( ∑bj +bn)=
		i =1	j =1	i =1	j =1
m−1	n−1		n−1	m−1	n−1	m−1
=( ∑ai ) ( ∑bj +bn)+am( ∑bj				+bn)=( ∑ai )( ∑bj )+(		∑ai )bn +
i =1	j =1		j =1	i =1	j =1	i =1

46

n−1

+ am ( ∑bj

j =1

m n

)+ am bn = ∑∑aibj .

i=1 j=1

4. Правило знаков. a, b K (- a)b = a(- b) = - (ab). Доказательство. 0=a(b+( – b))=ab+ a(- b) a(- b)=- (ab).

Аналогично, (- a)b = - (ab).

Следствия.

1)Так как -(- х)= х, то (-a)(-b) = - (a(-b)) = - (- (ab) = ab.

2)Если K 1, то a(- 1) = (- 1)a = - (1 a) = - a.

5. Целые кратные элементов кольца.

Пусть по определению n Z na= a + a +... + a при n N,

n

na = 0K, при n = 0, na = - ((-n)a) при -n N.

Упражнения.

1)	Доказать, что n Z -(na) = (-n)a = n(- a).
2) Доказать, что m,n Z, a, b K		n(a+b)=na +nb,
(m+n)a = ma+na.
3)	Доказать, что m, n Z, a K	m(na)=(mn)a.
4)	Доказать, что n Z, a, b K	n(ab)=(na)b = a(nb).

5)Доказать, что m,n Z, a, b K (ma)(nb)=(mn)(ab).

6)Доказать, что если K 1K, то na = (n 1K)a.

Замечание. Если n Z, a K определить операцию n a = na, то свойства из упражнений 2), 3), 4), 6) означают, что кольцо K является унитарной алгеброй над Z.

6. В АКУ-кольце	a, b K	n N	справедлива фор-
		n
мула бинома Ньютона	(а + b)n = ∑Cni aibn−i .
		i =0
Определение. Подмножество		K1 K	называется под-

кольцом в K, если K1 само является кольцом относительно операций K.

Очевидно, в любом кольце K всегда существуют тривиальные подкольца K и {0}.

6.3. Делители нуля.

Определение. Если кольцо K a, b такие, что ab = 0, но a ≠ 0, b ≠ 0, то a называется левым делителем нуля, а b –

47

правым делителем нуля. Элемент кольца называется делителем нуля, если он является одновременно левым и правым делителем нуля. Если a - делитель нуля, то пишут: a | 0.

Очевидно, в коммутативном кольце множества делителей нуля, левых делителей нуля и правых делителей нуля совпадают.

Аналогично, в коммутативном кольце мы будем писать a | с, если b K такой, что ab = c.

Если a | 1, то а – обратимый элемент кольца.

Если K – поле, то a K, a ≠ 0, из определения поля a |1.

Примеры.

1.В кольце Z× Z элементы вида (a,0) и (0,a) a≠ 0 (и только такие) являются делителями нуля.

2.В кольце функций F[a,b] функция Дирихле D(x) и

1-D(x) – делители нуля, так как D(x)(1- D(x))= 0. Также

|sgn(x)|(1 - |sgn(x)|) = 0, (|x| - x)(|x| + x)= 0.

Утверждение. Если a | 1, то a | 0.

Действительно, если b K такой, что ab = 1, то есть b = a -1, и c K, с≠ 0, такой, что ac = 0, то b(ac) = b 0 = 0,

но (ba)c =1 с = с= 0 - противоречие.

Следствие. В поле нет делителей нуля.

Лекция 12.

6.4. Кольцо классов вычетов.

Пусть Z - множество целых чисел, и m Z. Введем на Z бинарное отношение π следующим образом: для a, b Z пусть по определению aπb a – b=km при некотором k Z. При m ≠ 0 это означает, что aπb m |(a – b).

Утверждение. π - отношение эквивалентности на Z.

Доказательство.

π - рефлексивно, так как а Z a – a = 0 m a π a.

π - симметрично, так как если a π b, то a – b = km, k Z b – a =(-k)m, и -k Z bπ a.

48

π - транзитивно, так как если a π b, и bπ с, то a – b = km, где k Z, b – c = lm, где l Z (a – b) +(b – c) = a – c = (k+l)m, и k+l Z a π с.

Классы эквивалентных элементов по отношению π мы будем обозначать clπ a или (если ясно, какое π имеется вви-

ду) cl a или a . Очевидно, clπ a = {b Z | bπ a } =

={ b Z | b – a = km для некоторого k Z }=

={ b Z | b – a mZ} = { b Z | b a + mZ} = a + mZ.

Так как π - отношение эквивалентности на Z, то Z разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных элементов. Фактормножество Z/π, то есть множество классов эквивалентных элементов, мы будем обозначать Zm или Z/(m).

Если b cl a, то говорят, что b – представитель из cl a. Очевидно, при m = 0 a cl a = a, а отношение эквивалентности – это отношение равенства. Таким образом, при

m = 0 Zm =Z.

Далее будем считать, что m ≠ 0.

Если a π b, то часто пишут a ≡ b(mod m) или a ≡ b(m), и говорят, что a и b сравнимы по модулю m. А классы эквивалентных элементов называют классами вычетов по модулю m или классами по модулю m.

Разделим a и b на m с остатком. Пусть a = mq1 + r1,

b = mq2 + r2 , где 0 ≤ r1< m, 0 ≤ r2< m. Очевидно, a - r1= mq1,

то есть m|(a – r1) a = r1 . Аналогично, b = r2 .

Утверждение. a = b r1= r2 .

Доказательство. . Пусть r1= r2 . Тогда a = r1 = r2 =b .

. Пусть a =b , и r1 ≠ r2, например, r1 >r2. Тогда a = r1 =b = r2

r1π r2 m| (r1 - r2). Но 0 < r1 - r2 < m. Получили противоречие, то есть r1= r2.

Из утверждения мы получаем, что различных классов по модулю m ровно столько, сколько существует различных ос-

49

татков от деления на m, то есть существует m различных классов, и Zm = { 0 ,1, 2 ,…, m −1}.

Очевидно, m = 0 , −1= m −1, − 2 = m − 2 , 2m +1=1. Зададим на Zm структуру кольца.

I. Определим операции сложения и умножения так:

пусть a +b = a +b , a b = a b .

Докажем корректность нашего определения, то есть независимость его от выбора представителей в классах.

Пусть a1 a , b1 b , то есть a1 = a , b1 =b . Тогда a1= a + km, b1= b + lm, и a1+ b1= a + b + (k + l)m,

a1 b1= ab +(kb + al + klm)m (a1+ b1)π (a + b), (a1 b1)π(a b)

a1 + b1 = a +b , a1b1 = ab . Корректность доказана. II. Проверим свойства операций.

1.( a +b )+ c = a +b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c =

=a +( b + c ) – это свойство ассоциативности сложения в Zm следует из ассоциативности сложения в Z.

2. Так как

a

Zm

a

+

0

=

a

, то в Zm нейтральный

элемент по сложению.

3. Так как

Zm

+

=

, то

Zm проти-

a

−a

a

0

a

воположный элемент по сложению: - a = −a .

Свойства 4, 5, 8, 9 из определения кольца следуют из соответствующих свойств кольца целых чисел и доказываются так же, как и свойство 1.

Упражнение. Доказать свойства 4, 5, 8, 9.

6. Так как a Zm a 1= a , то в Zm нейтральный элемент по умножению.

Таким образом, мы доказали, что Zm - АКУ-кольцо.

Пример. Выпишем таблицы сложения и умножения для Z6.

50