algebra lecture 1stcourse 1st semester

где γi,j = (ei,еj), а матрица Г = Г = (γi,j) называется матрицей
е
n			n	n
Грама. Очевидно, (x,y)= ∑xiγi, j			= ∑xi ∑γi, j
	y	j			yj =[ x ] tГ [ y] ,
i, j=1			i=1	j=1	e	e

и Гt = Г . Черта над матрицей означает замену всех элементов матрицы на комплексно сопряженные.

Примеры.

1. Для пространства Сn строк длины п определим скалярное произведение следующим образом: пусть для х = (х1,…,хп),

у= (у1,…,уп) по определению (х, у) = х1 y1 +…+ хп yn .

2. Для пространства CС[a,b] непрерывных комплексных функций на отрезке [a,b] (то есть функций вида f1(х)+ if2(х), где f1(х), f2(х) – непрерывные действительные функции на [a,b])

b	def b	b
пусть ∫( f1 (x) +if2 (x))dx = ∫ f1 (x)dx +i∫ f2 (x)dx и по опреде-
a	a	a

лению (f, g)= ∫b f (x)g(x)dx f, g CС[a,b].

a

Упражнение. Доказать, что в примерах 1, 2 для скалярного произведения выполняются свойства 1-4 из определения унитарного пространства, то есть полученные пространства являются унитарными.

Определения.

1.	Назовём длиной вектора х Н выражение |	x | = (x, x) .
Так как (x, x) ≥ 0 х Н, то длина определена		х Н.
2.	Будем говорить, что векторы х, у Н ортогональны, х у,

если (х, у) = 0.

Упражнение. Сформулировать для унитарных пространств определения, утверждения, упражнения и теоремы, аналогичные определениям, утверждениям, упражнениям и теоремам из п.18.2 для евклидовых пространств, и доказать сформулированные утверждения, упражнения и теоремы.

22. УНИТАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

151

22.1. Определение. Свойства.

Определение. Линейный оператор ϕ : Н → Н на унитарном пространстве Н называется унитарным, если

(ϕ х, ϕ у) = (х, у) х, у Н.

Утверждение 1. Если ϕ - унитарный оператор, то ϕ - невырожденный.

Доказательство. Если х Ker ϕ, то (ϕ х, ϕ х) = (х, х) = 0

х = 0 Ker ϕ = 0.

Утверждение 2. Если ϕ - унитарный оператор, то

ϕ-1 - унитарный оператор.

Доказательство. Пусть ϕ -1х = а, ϕ -1у = b. Тогда (а, b) = = (ϕ a, ϕ b) = (x, y) (x, y)= (а, b) = (ϕ-1х, ϕ-1у).

Следовательно, унитарный оператор – это автоморфизм унитарного пространства Н (изоморфизм Н на себя).

Теорема 1. Для унитарного оператора ϕ : Нn → Нn эквивалентны следующие 14 условий:

1.

(ϕ х, ϕ у) = (х, у) х, у Нn.

2.

(ϕ еs, ϕ et) = (еs, et)

s, t (для некоторого) базиса

е = {е1,..,en}

в Нn.

3.

(ϕ us ,ϕ ut) = (us, ut) = δst s, t (для некоторого)

ортонормированного базиса и = {и1,..,иn} в Нn.

4.

{ϕ u1 ,…,ϕ un } – ортонормированный базис.

5.

∑ais (ei , ej )ajt

= ∑aisγij ajt = γs,t , где γi,j = (еi, ej) –

i, j

i, j

элементы матрицы Грама,

а (ai,j) = [ϕ ].

∑bks

e

6.

δs,t , где (bs,t) = [ϕ ].

bkt =

k

u

7.

[ϕ ] t Г [ϕ] = Г .

e

e

e

e

8.

[ϕ ] t

[ϕ] = Е и [ϕ] t [ϕ ] = Е .

u

u

u

u

9.

[ϕ ]-1 = [ϕ] t.

u

u

152

10.
	[ϕ ][ϕ] t = Е .
	u u
11.
	∑bsk btk = δs,t.
	k
12.	Строки матрицы [ϕ ] являются ортонормированным
				u
базисом в Cn.
13.	Столбцы матрицы [ϕ ] являются ортонормированным
				u
базисом в пространстве столбцов Cп.
14.	[ϕ ]t – матрица унитарного оператора.

u

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1 из п.19.1.

Упражнение. Доказать теорему 1.

Следствие. Если ϕ - унитарный оператор, то |det ϕ | = 1, то есть detϕ - комплексное число, у которого модуль равен 1.

Доказательство. Так как [ϕ ][ϕ] Т = Е, то detϕ detϕ =

u u

= detЕ = 1 |det ϕ |2 = 1 |det ϕ | = 1 .

22.2. Унитарная группа.

Рассмотрим множество U(Hn) унитарных операторов на унитарном пространстве Нn. Пусть также U(n) – множество унитарных п×п-матриц, SU(n)= {A U(n)| detA=1},

SU(Hn) = {ϕ U(Hn)| detϕ = 1}.

Теорема 2.

1. U(Hn) – группа, 2. U(n) – группа, 3. U(Hn) ≈ U(n),

4. SU(Hn)– подгруппа в U(Hn), 5. SU(n) – подгруппа в U(n). Доказательство теоремы аналогично доказательству

теоремы 2 из п.19.2.

Упражнение. Доказать теорему 2.

22.3. Структура унитарного оператора.

Лемма. Пусть ϕ : Н→ Н - унитарный оператор, Н L - ϕ-инвариантное подпространство. Тогда L - ϕ-инвариантное подпространство.

Доказательство аналогично доказательству леммы из

153

п.19.3.

Пусть ϕ : Нп → Нп - унитарный оператор. По теореме из п. 16.7 в Нп L1 - ϕ-инвариантное подпространство размерности 1. Тогда по лемме L1 - ϕ-инвариантное подпространство, и Нп = L1 L1 . Так как ϕ на L1 - унитарный оператор, то в L1 L2 - ϕ-инвариантное подпространство размерности 1, и ортогональное дополнение L′ к L2 в L1

также ϕ-инвариантно. Далее, Нп = L1 L2 L′, и в L′ L3 - ϕ-инвариантное подпространство размерности 1, и так да-

лее. В конце концов, мы получим разложение Нп= L1 … Lп, где все Li – ϕ-инвариантны, попарно ортогональны, одномерны.

Если L – унитарное пространство размерности 1, L = <e>,

и ϕ : L→ L - унитарный оператор, то ϕ е = cе, c C,

(ϕ е,ϕ е)= (е,е) |c|2(е,е) = (е,е) |c|2=1, c = cosα + i sinα .

В разложении Hп = L1 L2 … Ln выберем в каждом Li единичный вектор. Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Нп. В этом базисе матрица унитарного оператора ϕ имеет диагональный вид:

[ϕ ] = diag(λ1 ,λ2 ,...,λn), где все	λs = cosα s + i sinαs .
u
Таким образом, нами доказана структурная
Теорема. Для любого унитарного оператора ϕ : Нп → Нп
ортонормированный базис	и пространства Нп, в котором
матрица ϕ имеет вид:
[ϕ ] = diag(λ1 ,λ2 ,...,λn), где все	λs = cosαs + i sinαs.	(22.1)
u
Верно и обратное утверждение: если [ϕ ] имеет вид		(22.1),

u

то ϕ - унитарный оператор.

На языке матриц теорему можно сформулировать так: Для любой унитарной матрицы А существует унитарная матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному

базису) такая, что матрица Т -1АТ имеет вид (22.1). Очевидно, любая матрица вида (22.1) – унитарная.

154

Таким образом, любая унитарная матрица унитарно эквивалентна матрице вида (22.1).

Упражнение. Определить, какие матрицы вида (22.1) унитарно эквивалентны друг другу.

Лекция 33.

23. ЭРМИТОВЫ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Изложение в этом пункте соответствует по аналогии изложению в п.20.

23.1. Сопряженное линейное пространство.

Рассмотрим на Нп функцию fa(х) = (х, а), где а Нп. Упражнение. Проверить, что fa (Нп)*.

Рассмотрим отображение Ф: Нп → (Нп)* такое, что для

а Нп Ф(а) = fa .

Очевидно, Ф(а+b) = fa+b = Ф(а) + Ф(b) = fa + fb , так как fa+b(х) = (x, а+b) = (х, а) + (x, b) = fa(х) + fb(х) = ( fa + fb)(х).

Ф(αа) = fαa = α Ф(а) = α fa , так как fαa(х)=(х, αа)= α (х, а)= = α (fa(х)) = (α fa)(х).

Следовательно, Ф – не является линейным отображением. Будем называть такие отображения полулинейными.

Упражнение. Пусть вектор а в ортонормированном базисе и имеет координаты (a1, а2,…,ап). Проверить, что в сопряженном базисе и* функция Ф(а) = fa имеет координа-

ты ( a1 , a2 ,…, an ). Следовательно, Ф – биекция.

Будем говорить, что Ф – полуизоморфизм пространств Нп и (Нп)*. Таким образом, нами доказано

Утверждение. Отображение Ф: Нп → (Нп)* такое, что для а Нп Ф(а) = fa является полуизоморфизмом линейных пространств Нп и (Нп)*.

Замечание. Полуизоморфизм Ф является каноническим, то есть он не зависит от базиса.

23.2. Сопряженные линейные операторы.

155

Пусть ϕ : Нп → Нп - линейный оператор. Рассмотрим функцию f(x) = (ϕ x, a).

Упражнение. Проверить, что f – линейная функция, то есть f (Нп)*, и следовательно, f = fb при некотором b Нп.

Будем считать, что b = ϕ*a, где ϕ* : Нп → Нп - некоторое отображение. Из определения ϕ* получаем, что

(ϕ x, a) = (x, b) = (x, ϕ*a) или (ϕ x, а) = (х, ϕ*a ).

Утверждение. ϕ* : Нп → Нп – линейный оператор. Упражнение. Доказать утверждение.

Определение. Линейный оператор

ϕ*: Нп → Нп называ-

ется сопряженным к линейному оператору ϕ.

Очевидно,

ϕ** = ϕ , так как (ϕ х, у) = (х, ϕ*у) = (ϕ**х, у).

Теорема. Для линейных операторов

ϕ и ψ на Нп экви-

валентны следующие 5 условий

(и при выполнении любого

из этих условий ψ = ϕ*, ϕ = ψ*):

1. (ϕ x, у) = (х, ψу) х, у Еп.

2.

(ϕ еi ,еj)= (еi ,ψ еj) i, j

(для некоторого) базиса е в Еп.

3.

(ϕ иi ,иj) = (иi ,ψ иj) i, j

(для некоторого) ортонорми-

рованного базиса и в Еп.

4.

[ϕ ] t Г = Г [ψ], или же

[ψ ] =

-1 [ϕ] t

, где Г - матри-

Г

Г

e

e e

e

e

e

e e

e

ца Грама для базиса е (доказать, что Г-1 - см. также п.26.1). 5. [ψ ] = [ϕ] t.

u u

Упражнение. Доказать теорему.

23.3. Эрмитовы линейные операторы.

Определение. Линейный оператор ϕ: Нп → Нп называется эрмитовым, если ϕ* = ϕ , то есть если х, у Нп

(ϕ х,у) = (х, ϕ у).

Теорема. Для линейного оператора ϕ на Нп эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих условий ϕ = ϕ*) :

1.(ϕ x, у) = (х, ϕ у) х, у Нп.

2.(ϕ еi ,еj)= (еi ,ϕ еj) i, j (для некоторого) базиса е в Нп.

156

3.	(ϕ иi ,иj) = (иi ,ϕ иj)						i, j (для некоторого) ортонорми-
рованного базиса и в Еп.
4.	[ϕ ]t Г =
				Г [ϕ] , где Г - матрица Грама для базиса е .
	e	e		e e			e
5.
	[ϕ ] t = [ϕ] - такие матрицы называются эрмитовыми.
	u		u

Упражнение. Доказать теорему.

Следствие. Если А – эрмитова матрица, то det At= det A=

=det A = det A det A R.

23.4.Структура эрмитова оператора.

Лемма. Пусть ϕ : Нп→ Нп - эрмитов оператор, Нп L – ϕ-инвариантное подпространство. Тогда L - ϕ-инвариантное подпространство.

Доказательство. х L, y L (ϕ x, y) = 0 = (x,ϕ y)

ϕ(L ) L ϕ(L ) L .
Как и в теореме из п.22.3	Нп=L1 L2 … Lп , где все Li –
подпространства размерности	1, ϕ-инвариантны и попарно
ортогональны.

Если L – унитарное пространство размерности 1, L= <e>, и ϕ : L → L - эрмитов оператор, то ϕ е = α е, α С

(ϕ е,е)= (α е,е)= α(е,е)= (е, ϕ е)= (е, α е)= α ( е,е) α =α

α R.

Вразложении Нп = L1 L2 … Ln выберем в каждом Li

единичный вектор иi . Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Нп. В этом базисе мат-

рица эрмитова оператора ϕ имеет вид: [ϕ ] = diag(α1,,…,αn),

u

где все αs R . Таким образом, нами доказана структурная Теорема. Для любого эрмитова оператора ϕ : Нп → Нп

ортонормированный базис и евклидова пространства, в котором матрица ϕ имеет вид: [ϕ ] = diag(α1,α2,…,αn), где

u

157

все αs R. Наоборот, если [ϕ ] = diag(α1,…,αn), где все αs R,

u

то ϕ - эрмитов.

На языке матриц теорему можно сформулировать так: Для любой эрмитовой матрицы А унитарная матрица

Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т -1АТ = diag(α1,α2,…,αn), где все αs R .

Определение. Линейный оператор ϕ в евклидовом или унитарном пространстве называется нормальным, если

ϕ*ϕ = ϕϕ*.

Заметим, что ортогональные и унитарные операторы – нормальные, так как ϕ*ϕ = ϕϕ* = id, самосопряженные и эрмитовы операторы – нормальные, так как ϕ* = ϕ .

Можно доказать структурную теорему для нормальных операторов, а затем, как частные случаи, получить из неё структурные теоремы, которые мы доказали для ортогональных, самосопряженных, унитарных, эрмитовых операторов.

Лекция 34.

24.БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

24.1.Определение билинейной функции. Общие свой-

ства.

Определение. Билинейной функцией f на линейном про-

странстве L над полем P называется функция от двух век-

торных аргументов f: L× L → P, (x, y) → f(x, y) P, удовлетворяющая условию линейности по каждому аргументу:

1. f(αx+βy, z) = αf(x, z)+ βf(y, z) x, y, z L, α,β P, 2. f(x, αy+βz) = αf(x, y)+ βf(x, z) x, y, z L, α,β P .

Следствия. Для билинейной функции f выполняются свойства

1. f(0L , y) = f(x, 0L ) = 0 x, y L.

158

m	n	m n
2. f (∑αiui , ∑βjvj ) = ∑∑αi βj f (ui , vj ) m, n N,
i=1	j=1	i=1 j=1

αi, βj P, ui, vj L.

Упражнение. Доказать следствия.

Примеры.

1.Скалярное произведение (x,y) на евклидовом пространстве является билинейной функцей.

2.Если f1, f2 - линейные функции на L, то f(x, y)= f1(х)f2(у) – билинейная функция на L.

24.2. Матрица билинейной формы.

Пусть f - билинейная функция на n-мерном пространстве L=Ln над полем P, e={e1,…,en} - произвольный базис в L. Для

			n		n
любых x, y L	имеем x = ∑xi ei , y=∑y j ej , где все xi ,yj P.
			i=1		j=1
Тогда
f(x, y) = f		n	n		n	(24.1)
		∑xiei ,	∑yjej		= ∑xi yj f (ei , ej ) .
	i=1		j=1	i, j=1

Формула (24.1) показывает, что функция f(x, y) является многочленом от координат х, у, все одночлены которого – первой степени по х и первой степени по у. Такой многочлен называется формой первой степени (то есть линейной) по х, и первой степени (то есть линейной) по у, то есть билинейной формой. Такие билинейные формы мы и будем изучать.

Очевидно, значение билинейной формы f(x,y) для произвольных x, y L полностью и однозначно определяется n2 значениями f(ei,ej) на упорядоченных парах базисных векторов ei, ej.

Определим квадратную матрицу [ f ] = ( fij ) порядка n, где

e

fij = f(ei, ej ), i,j = 1,…,n. Матрица [ f ] называется матрицей

e

билинейной формы f в базисе e.

159

				n	n
Из формулы (24.1) f(x, y)= ∑xi yj f (ei , ej ) = ∑xi yj fi j =
				i, j=1	i, j=1
n	n
= ∑xi	(∑ fi j yj ) = [x]t [ f ] [ y] .
i=1	j=1	e	e	e
Упражнение.		Доказать		обратное	утверждение:	если
					n
функция f задается формулой f(x, y)=					∑xi yj fi j , то	f – би-

i, j=1

линейная функция, и матрица [ f ] = ( fij ).

e

24.3. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базисов. Ранг билинейной формы.

	Пусть e′= {e′1,…,e′n} – ещё один базис в L, и										T ′ = T =
										e→e
= ( tij ) - матрица перехода от базиса e									к базису e′:
	n
e′j	= ∑tij ei		. Тогда x, y L			имеем		[x] =T[x],		[ y] = T[ y] , и
	i=1							e	e′	e	e′
f(x ,y) = [x]t [ f ][ y] = (T[x])t [ f ](T[ y])								= [x]t T t [ f ]T [ y] =
		e	e	e	e′	e	e′		e′	e	e′
=	[x]t	[ f ][ y] .		Следовательно,			из единственности				матрицы
	e′	e′	e′
билинейной формы,					[ f ] =	T t [ f ]T .
					e′		e
	Следствие.			det [ f ] = det [ f ] (det T)2.
					e′		e

Определение. Пусть f(x, y) - билинейная форма на L. Рангом билинейной формы f называется ранг ее матрицы в каком-либо базисе пространства L: rg f = rg[ f ] .

e

Корректность определения следует из того, что ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса:

rg[ f ] = rg[ f ] для любых базисов e и e′, так как умножение

e′ e

матрицы [ f ] на невырожденные матрицы T t и T слева и

e

справа соответственно не меняет ранга матрицы билинейной формы.

160