algebra lecture 1stcourse 1st semester

Теорема. Для любой пары эрмитовых квадратичных

форм F и G, G > 0, в линейном пространстве Lп над полем
С существует базис	и, в котором форма F имеет канониче-
ский вид, а G имеет нормальный вид, то есть
[F ]= diag(λ1,λ1,…,λn)	– диагональная матрица, причем все
u

λi R, а [G]=E. Это означает, что существует матрица Т= T
	u						e→u
перехода к новому базису и такая, что
Тt [F ] T	= diag(λ1,λ1,…,λn), Тt [G]T			= Е.
e		e
Так как коэффициенты λ1,…,λn				формы	F – это собст-
венные значения линейного оператора ϕ с матрицей							[ϕ] =
							u
= [F ], то найти их можно, решая характеристическое уравне-
u
ние для (неизвестной) матрицы [ϕ] = [F ], то есть уравнение
		u		u
det([F ]	-λE) = 0. Но [F ] = Тt [F ] T		, Е = Тt [G]T			, и
u	u	e			e
det([F ]-λE) = det(Т t([F ]– λ[G])T			)= 0 det([F ]-λ[G])=0
u	e	e				e	e
– это уже уравнение для известных (заданных) матриц							[F ] и
[G]. Многочлен χF ,G (λ) = det([F ]-λ[G])							e
					называется ха-
e			e	e
рактеристическим многочленом пары форм					F, G (G > 0) а

уравнение χF ,G (λ) =0 называется характеристическим урав-

нением пары форм. Таким образом, для нахождения коэффициентов λ1,…,λn формы F нужно найти корни характеристическое уравнение пары форм.

Чтобы найти векторы базиса и = {и1,…, иn}, надо найти собственные векторы линейного оператора ϕ, решая однородные системы линейных уравнений ([F ] - λiE)[x] = [0] (с

u u

181

неизвестной матрицей [F ] в неизвестном базисе и). Заметим,

u	иi
что в качестве решения		мы получим набор координат
(0,0,…,0,1,0,…,0). Далее, ([F		] -λiE)[x] = Тt([F ]-λi [G])T			[x] =
i	u	u	e	e	u

=Т t([F ]- λi [G])[x]′= [0] ([F ]- λi [G])[x]′= [0] – это уже

e	e	e	e
СЛУ с известными матрицами [F ],			[G], а			[x] . И
				[x]′= T
		e	e			u

решениями этой системы являются векторы «комплексно сопряженного» базиса u .

Таким образом, чтобы найти векторы искомого базиса и нужно для каждого λi решить СЛУ ([F ] -λi [G])[x]′= [0].

e e

Различным значениям λi соответствуют g-ортогональные друг другу решения системы, и, если dim Ker([F ]- λi [G])= 1,

e e

то найденное решение x необходимо лишь нормировать (по g), то есть разделить его на длину G(x) . Если же имеются кратные корни λi характеристического уравнения χF ,G (λ) =0,

то dim Ker([F ]- λ i [G]) > 1, и найденные фундаментальные

e e

системы решений для СЛУ необходимо ортонормировать в смысле g, например, по Граму-Шмидту. После этой процедуры мы получим ортонормированный базис u . И теперь для получения базиса и надо перейти к базису, «комплексно сопряженному» к базису u .

Лекция 39.

28. ГРУППЫ

Далее будем считать, если не оговорено противное, что G – мультипликативная группа (то есть групповую операцию в G мы будем называть умножением), ε - нейтрал в G.

182

28.1. Теорема Лагранжа.

Пусть G – группа, и H – подгруппа в G. Введем на множестве G бинарное отношение : для элементов g1, g2 G будем считать по определению, что g1 g2 g1g2-1 Н. Выражение g1g2-1 называется групповой разностью.

Очевидно, g1g2-1= h Н g1= h g2.

Утверждение. Отношение является отношением эквивалентности на G.

Доказательство. Очевидно, отношение - рефлексивно, то есть g G g g , так как g g -1 = ε H. Кроме того,

отношение - симметрично, так как если g1 g2, то g1g2-1= h Н h -1 H, h -1= g2g1-1 H g2 g1 . И наконец,

отношение - транзитивно, так как если g1 g2, g2 g3, то

g1g2-1= h1 Н, g2g3-1= h2 Н h1h2 = g1g3-1 Н g1 g3.

Таким образом, множество G разбивается в объединение непересекающихся классов эквивалентных элементов. При-

чем cl g1 = {g G| g g1} = {g G| g = hg1, h Н } = Hg1 .

Класс Hg1 называется правым смежным классом элемента g1 по подгруппе Н. Аналогично, левым смежным классом элемента g1 по подгруппе Н называется подмножество g1H.

Упражнение. Найти фактормножество G / в случаях,

когда H = G и H = {ε}.

Пусть G – конечная группа, и число элементов группы G равно п: |G| = n . Число элементов группы называется порядком группы. Пусть Н – подгруппа в G, |H| = m.

Теорема Лагранжа. m | n, причем n = km, где k – число правых смежных классов группы G по подгруппе Н.

Доказательство. Пусть H = { h1,…, hm}. Тогда

Hg ={ h1g,…, hmg }, причем все элементы h1g,…,hmg – различны, так как если hig = hjg , то higg -1 = hjgg -1 hi = hj . Следовательно, |Hg| = m = |H|, то есть число элементов во всех

правых смежных классах одинаково и равно т. Так как количество смежных классов равно k, они не пересекаются и их объединение совпадает с G, то n = mk m = n / k.

183

Аналогично доказывается теорема Лагранжа для левых смежных классов группы G по подгруппе Н. И количество их также равно n / k = т.

Определение. Количество смежных классов (правых или левых) группы G по подгруппе Н называется индексом подгруппы Н в группе G и обозначается (G:H).

В новых обозначениях теорема Лагранжа может быть сформулирована так: |G| / |H| = (G:H).

28.2. Факторгруппы.

Пусть G – произвольная, не обязательно конечная группа.

Замечание. Так как a, b G (ab)(b -1a -1)= a(bb-1)a -1 = = aεa -1 = ε, то (ab) -1 = b -1a -1.

Теорема. Для подгруппы H G эквивалентны следующие 4 условия:

1. h H, g G g -1hg H;

2.g G g -1Hg H;

3.g G g -1Hg = H;

4.g G Hg = gH – то есть правые и левые смежные класы совпадают.

Доказательство. Очевидно, 1 2 – это одно и то же условие, записанное в 1 для элементов, а в 2 для множеств. Также очевидно, что 3 2. Покажем, что 2 3. Заменим в условии 2 элемент g на g-1. Получим gHg -1 H. Умножим это включение слева на g -1 и справа на g. Получим H g-1Hg. Это включение вместе с включением из 2 дает равенство 3. Следовательно, 2 3. И наконец, равенство 4 получается умножением равенства 3 на g слева, а равенство 3 получается умножением равенства 4 на g -1 справа. То есть 3 4.

Определение. Подгруппа H G называется нормальной подгруппой (или нормальным делителем) в G, если для Н выполняется любое из четырёх эквивалентных условий теоремы (а, следовательно, и все четыре условия).

Очевидно, в коммутативной группе любая подгруппа – нормальная.

184

В случае нормальной подгруппы Н фактормножество G/ мы будем обозначать G / H. В этом случае левые и правые смежные классы совпадают, и их можно просто называть смежными классами. Обозначать смежный класс элемента g мы будем g .

Очевидно, тривиальные подгруппы {ε} и G – нормальны. Пусть Н – нормальная подгруппа в G. Зададим на фак-

тормножестве G / H структуру группы.

I. Пусть для g1 , g2 G/H по определению g1 g2 = g1g2 .

Утверждение. Определение умножения на G/H корректно, то есть не зависит от выбора представителей в классах g1

и g2 .

Доказательство. Пусть g1′ g1 , g2′ g2 - другие представители в классах. Покажем, что g1′g2′ g1g2 , то есть

g1′g2′ g1g2. В самом деле, g1′ g1 , g2′ g2 g1′ = h1g1, g2′= h2g2 g1′g2′= h1g1h2g2=h1g1h2(g1-1g1)g2= h1(g1h2g1-1)g1g2=

= h1h′g1g2 = h′′g1g2, и h′′ H g1′g2′ g1g2, g1′g2′ = g1g2 .

II. Проверим свойства из определения группы.

1. ( g1 g2 ) g3 = g1g2 g3 = (g1g2 )g3 = g1 (g2 g3 ) = g1 ( g2 g3 ) –

ассоциативность в G / H выполняется.

2.

g ε

=

gε

= g = ε

g , то есть в G / H

нейтральный

элемент

ε

.

3.

Очевидно, g

g−1

=

gg−1

= ε

=

g−1

g , то есть в G / H

для элемента g

обратный элемент g -1 =

g−1

.

Таким образом,

на фактормножестве G / H мы задали

структуру группы, которая называется факторгруппой.

Упражнения.

G коммутативна, то и фактор-

1.

Доказать, что если группа

группа G / H коммутативна.

2.

Доказать, что G /{ε} ≈ G,

G / G ≈ {ε}.

185

Рассмотрим поэлементное произведение смежных клас-

сов: g1H g2H = { g1hg2h′| h, h′ H}. Очевидно, g1H g2H =

= g1(g2g2-1)Hg2H = g1g2(g2-1Hg2)H = g1g2HН = g1g2H (легко видеть, что НН = Н, так как НН Н, и уже Нε = Н). Кроме того, (gH) -1= {(gh) -1| h H} = Н-1g -1= Нg -1= (g -1g)Hg -1=

= g -1(gHg -1) = g -1H (очевидно, Н-1 = Н, ε = εН = Н).

Таким образом, операцию умножения смежных классов на фактормножестве G / H можно определять как операцию поэлементного умножения классов: g1H g2H = g1g2H. При таком определении мы тоже получили бы на G / H структуру группы.

28.3. Морфизмы групп.

Пусть G1 – группа с бинарной операцией , G2 – группа с бинарной операцией .

Определения.

1.Отображение ϕ : G1 → G2 называется морфизмом (или

гомоморфизмом) групп, если a, b G1 ϕ(a b) = ϕa ϕb.

2.Если ϕ - морфизм и биекция, то ϕ называется изомор-

физмом.

3.Если ϕ - морфизм и инъекция, то ϕ называется моно-

морфизмом.

4.Если ϕ - морфизм и сюръекция, то ϕ называется эпимор-

физмом.

5.Если морфизм ϕ : G1 → G1, то ϕ называется эндоморфиз-

мом.

6.Если ϕ : G1 → G1 - изоморфизм, то ϕ называется авто-

морфизмом.

Упражнения.

1.Пусть ϕ : G1 → G2 , ψ : G2 → G3 - морфизмы групп. Доказать, что ψ ϕ : G1 → G3 - морфизм групп.

2.Пусть AutG – множество автоморфизмов группы G. Доказать, что AutG – группа.

Пусть ϕ : G1 → G2 - морфизм групп, ε1 – нейтрал в G1, ε2 – нейтрал в G2 .

Утверждение 1. ϕε1 = ε2 , ϕ(g -1) = ϕ(g) -1 g G1.

186

Доказательство. Пусть ϕε1 = с. Тогда ϕ(ε1ε1) = ϕε1ϕε1 =

=ϕε1 сс = с с -1сс = с -1с ε2с = ε2 с = ε2 . Далее

ϕ(gg -1) =ϕ(g)ϕ(g -1) = ϕε1 = ε2 ϕ(g -1) = ϕ(g) -1.

Определение. Ядром морфизма ϕ : G1 → G2 называет-

ся Kerϕ = ϕ -1ε2 = {g G1| ϕg = ε2}.

Утверждение 2. Kerϕ - нормальная подгруппа в G1.

Доказательство. Пусть a, b Kerϕ. Тогда ϕa = ϕb = ε2

ϕ(ab) = ϕaϕb = ε2ε2= ε2 ab Kerϕ. Также ϕ(а -1)= ϕ(а) -1 =

=ε2-1 = ε2 a -1 Kerϕ. И наконец, ϕε1 = ε2 ε1 Kerϕ.

Следовательно, Kerϕ - подгруппа в G1.

Пусть теперь g G1, a Kerϕ. Тогда ϕ(g -1аg)= ϕ(g)-1ϕаϕg= = ϕ(g)-1ε2ϕg = ε2 g -1аg Kerϕ.

Следовательно, Kerϕ - нормальная подгруппа в G1.

Утверждение 3. ϕ - инъекция Kerϕ = {ε1}. Доказательство. . Пусть ϕ - инъекция, и а Kerϕ

ϕа = ϕε1= ε2 а = ε1 Kerϕ = {ε1}.

. Пусть Kerϕ = {ε1}, и ϕа = ϕb. Тогда ϕ(аb-1) =ϕа (ϕb)-1= = ε2 аb-1 Kerϕ аb-1= ε1 a = b ϕ - инъекция.

Лекция 40.

28.4. Теорема о разложении морфизма.

Пусть Н - нормальная подгруппа в группе G, G / Н –

факторгруппа. Рассмотрим отображение	α : G → G / Н та-
кое, что g G α(g) = g .
Утверждение. α - эпиморфизм групп, причем Ker α = H.
Доказательство. Так как a, b G	α(ab) =		=				=
		ab		a		b

= α(a)α(b), то α - морфизм групп. И конечно же, α - сюръекция, то есть α - эпиморфизм. Этот эпиморфизм α называется каноническим и обозначается сап. Очевидно, g Ker α

187

g =ε g ε g Н. Следовательно, Kerα = Ker сап

=H.

Следствие. Мы видели, что ядро любого морфизма – нормальная подгруппа. Теперь мы увидели, что любая нормальная подгруппа является ядром некоторого морфизма, например, канонического. Таким образом, нормальные подгруппы – это в точности те подгруппы, которые являются ядрами некоторых морфизмов.

Пусть теперь ϕ : G1 → G2 - морфизм групп, Н = Kerϕ, G1/ Н – факторгруппа, сап: G1 → G1 / Н – канонический эпи-

морфизм.
Определим отображение ϕ	: G1 / Н → G2		следующим
образом: пусть по определению ϕ		( g ) = ϕg	g G1 / Н.

Наше определение корректно, так как g = gH, и ϕ(gH)= =ϕgϕ(H) = ϕg ε2 = ϕg. Кроме того, a , b G1 / Н

ϕ ( a b ) = ϕ ( ab ) = ϕ(ab) =ϕaϕb = ϕ ( a )ϕ ( b ), то есть ϕ -

морфизм групп. Если g Ker ϕ , то ϕ ( g ) = ϕg = ε2

g Ker ϕ = H g = ε1 Ker ϕ = {ε1 } ϕ - инъекция

(см. п.28.3, утверждение 3). Следовательно, ϕ - мономорфизм групп. И наконец, если мы будем рассматривать ϕ не как отображение G1/ Н в G2, а как отображение G1/ Н в Imϕ = ϕ(G1), то ϕ будет ещё и сюръекцией, то есть и биекцией. Таким образом, ϕ : G1 / Н → Imϕ - изоморфизм групп.

Так как Imϕ G2, то обозначим через i тождественное вложение i : Imϕ → G2, i(g) = g g Imϕ . Очевидно, i –

морфизм и инъекция, то есть мономорфизм. Кроме того,

g G1	(i ϕ	can)(g) = i(ϕ	(can(g)))= i(ϕ	( g )) = i(ϕg)= ϕg
i ϕ	can = ϕ . Таким образом, нами доказана

Теорема о разложении морфизма. Если ϕ : G1 → G2 -

морфизм групп, то коммутативна следующая диаграмма:

188

ϕ

G1	→ G2
↓ can	ϕ	↑ i	, то есть i ϕ		can = ϕ ,
G1 / Kerϕ	→ Imϕ
причем сап – эпиморфизм,			ϕ	- изоморфизм, i - мономор-

физм групп.

Следствие. Для того, чтобы найти факторгруппу G / H группы G по нормальной подгруппе Н достаточно найти морфизм ϕ группы G такой, что Ker ϕ = H. И тогда

G / H ≈ Im ϕ .

Пример. Пусть G = С* - (коммутативная) группа ненулевых комплексных чисел по умножению, Н=Un= {z C| zn= 1}

– множество корней п-й степени из 1.

Пример. Доказать, что Un - подгруппа в С* (и следовательно, нормальная подгруппа).

Найдем G / H = С*/ Un . Для этого рассмотрим отображе-

ние ϕ : С* → С* такое, что z C*	ϕ z = zn. Очевидно,
1. ϕ - морфизм (эндоморфизм группы	C*), так как ϕ(z1z2)=
= (z1z2)n = z1nz2n = ϕ z1ϕ z2 .

2.Ker ϕ = H = Un. Отсюда, в частности, следует Упражнение.

3.Im ϕ = C*, так как и C* z C* такой, что и = zn=ϕ z.

Следовательно, С*/ Un ≈ С*.

28.5. Циклические группы.

Пусть G – группа, g G. Будем считать по определе-

нию, что для n Z	g n = g g ... g при n N, g n = ε, при
n = 0, g n = (g -n) -1	n
	при -n N.
Упражнение. Доказать, что g ng m = g n+m, (g n)-1= g -n		n,
m Z.
Определение. Циклической подгруппой элемента g		на-

зывается 3)наименьшая 1)подгруппа в G, 2)содержащая элемент g.

189

Обозначать циклическую подгруппу элемента g мы будем <g>. Элемент g называется образующим элементом циклической группы <g>.

Утверждение. В = <g>.

Доказательство.

0. Рассмотрим некоторую подгруппу А G такую, что g A.

Очевидно, g g = g 2 A, g g 2 = g 3 A,…, g п A п N и

п Z.

1. Пусть теперь В = {g n | п Z}. Очевидно, g s, g t В

g sg t = g s+t В, (g s)-1= g -s В, ε = g 0 В В – подгруппа в G.

2.g = g 1 В.

3.Если подгруппа А g , то А В (из п.0) В – наименьшая подгруппа, содержащая элемент g В = <g>.

Рассмотрим циклическую группу <g> = {g n | п Z }. Возможны два случая:

1.Все элементы g n - различны. Тогда |<g>| = ∞, <g> - бесконечная циклическая группа.

2.Существуют m ≠ n такие, что g т = g n. Можно считать, что т > n. Тогда g т-п = ε, т – п N. Пусть d – наименьшее натуральное число такое, что g d = ε. Тогда d называется

порядком элемента g: пор.g = d (в случае 1 пор.g =∞).

Пусть пор.g = d < ∞. В этом случае, если п Z, то, разде-

лив п на d с остатком, получим: п = dq + r, 0 ≤ r < d, и g n = g dq+r = (g d)qg r =ε g r = g r <g> = {g r | r = 0,1,…,d-1}

|<g>| = d - порядок циклической группы равен порядку образующего элемента этой группы.

Следствие. g n = ε d | n .

Упражнения.

1.Доказать, что Z – бесконечная циклическая (аддитивная) группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

2.Доказать, что Zт – конечная циклическая (аддитивная) группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

3.Найти все подгруппы группы Z .

190