algebra lecture 1stcourse 1st semester

Примеры.

1.{0} и L – инвариантные подпространства для любого линейного оператора ϕ : L → L. Эти подпространства называются тривиальными.

2.Пусть pr<i,j>: Е3→ Е3- ортогональное проектирование на плоскость < i , j >. По определению pr<i,j>(xi+ yj+ zk)= xi+ yj.

Тогда V1 = < i, j > и V2 = < k > - инвариантные подпростран-

ства, и Е3= V1 V2.

3. Пусть ϕ : Е3→ Е3 – поворот относительно оси < k >. Тогда

V1 = < i , j > и V2 = < k > - инвариантные подпространства, и

Е3= V1 V2.

4. Рассмотрим d/dx : Pn[x] → Pn[x]. Тогда для k = 0,…,n

Pk[x] – инвариантные подпространства, но Pn[x] нельзя разложить в прямую сумму инвариантных подпространств.

Определение. Пусть ϕ : L → L линейный оператор в линейном пространстве L над полем Р, f(t)= αkt k+ αk-1t k-1+…+ +α1t +α0 P[t]. Тогда по определению f(ϕ)= αkϕ k+…+α1ϕ+

+α0 id.

16.1.Свойства инвариантных подпространств.

Утверждения.

1.Сумма ϕ-инвариантных подпространств ϕ-инвариантна.

2.Пересечение ϕ-инвариантных подпространств ϕ-инва- риантно.

3.Пусть V - ϕ-инвариантное подпространство и

f(t) P[t]. Тогда V – инвариантно относительно линейного оператора f(ϕ ).

Доказательство.

1. Пусть V1 и V2 - ϕ-инвариантные подпространства, то есть

ϕV1 V1, ϕV2 V2. Тогда ϕ(V1 + V2) = ϕV1 + ϕV2 V1 + V2 .

2. Пусть V1 и V2 - ϕ-инвариантные подпространства, и

х V1 ∩ V2 . Тогда х V1, х V2 , и ϕ х V1, ϕ х V2 , так что

ϕ х V1 ∩ V2 .

3. х V имеем ϕ х V ϕ 2х = ϕ(ϕ х) V, …, ϕ nх V, и так как V – подпространство, то

121

ϕ еj Lm

f(ϕ )х = α0 idL x +α1ϕ x + …+ αnϕ nх V V - f(ϕ )-инвари-

антное подпространство.

Рассмотрим, как существование у линейного оператора ϕ инвариантного подпространства связано со свойствами его матрицы [ϕ].

Пусть ϕ : Ln → Ln - линейный оператор, Ln Lm - ϕ-инва- риантное подпространство (1≤ m< n), {е1,…, еm} – базис в Lm . Дополним базис Lm до базиса е = {е1,…, еm, еm+1,…, еn} всего пространства Ln. В базисе е оператор ϕ имеет полураспавшуюся матрицу:

		А	В
[ϕе		1	А		,	(16.1)
	]=	0
			2

где А1 – (m× m)-матрица, А2 – (n-m)×(n- m)-матрица, 0 – нулевая (n-m)× m-матрица. В самом деле, j =1,…,m ϕ еj Lm ,

то есть ϕ еj =α1jе1+…+ αmjеm + 0еm+1+…+0еn .

Обратно, если в некотором базисе е ={е1,…, еm, еm+1,…,еn} пространства Ln оператор ϕ имеет полураспавшуюся мат-

рицу вида (16.1), то <е1,…, еm >= Lm - ϕ-инвариантное подпространство. В самом деле, j =1,…,m ϕеj Lm (так как ϕеj

раскладывается только по векторам е1,…, еm ) х Lm,

х= α1е1+…+ αmеm, имеем ϕ х = α1ϕе1+…+ αmϕеm Lm.

Выводы.

1.Л.о. ϕ имеет нетривиальное инвариантное подпространство в Ln базис, в котором матрица [ϕ] - полураспавшаяся.

2.Подпространство Lm - ϕ-инвариантно для любого (дос-

таточно, для некоторого) базиса {е1,…, еm } в Lm

j =1,…,m.

Пусть ϕ : L→ L - линейный оператор, L V - ϕ-инвариант- ное подпространство. Определим отображение ϕ|V : V→ V так: x V пусть по определению ϕ|V(x)= ϕ x.

Упражнение. Доказать, что ϕ|V – линейный оператор.

122

Определение. Линейный оператор ϕ|V : V→ V называется ограничением ϕ на V, или оператором, индуцированным на инвариантном подпространстве V линейным оператором ϕ.

Очевидно, ϕ и ϕ|V отличаются лишь областью определения, и на подпространстве V имеет место равенство ϕ =ϕ|V .

Замечание. Очевидно, линейное отображение ϕ|V будет
линейным оператором V- инвариантное подпространство.
Легко видеть, что для примера 2	ϕ|V1 =id, ϕ|V2 =0, а для
примера 3 ϕ|V1 – поворот плоскости,	ϕ|V2 = id. В случае же

оператора с матрицей (16.1), очевидно, в базисе {е1,…, еm}

[ϕ Lm ]= А1 .

16.2. Прямая сумма инвариантных подпространств.

Пусть ϕ : Ln → Ln - линейный оператор, Ln=L1 L2 - пря-

мая сумма ϕ-инвариантных подпространств L1 и L2 ,

е′ = {е1,…,еm} – базис в L1, е′′ = {еm+1,…,еn} – базис в L2, dimL1= m, dimL2= n - m. Тогда е = {е1,…,еm,еm+1,…,еn} – базис всего пространства Ln, и в этом базисе из инвариантности L1

матрица [ϕ] имеет вид (16.1). Но мы можем утверждать и большее. Так как L2 – также ϕ-инвариантно, то j =m+1,…,n

ϕ еj L2, то есть ϕ еj = 0е1+…+0еm + α m+1,j еm+1+…+αnj еn

в матрице (16.1)	В = 0, то есть
		А	0		обозн.		(16.2)
[ϕ ] =		1	А		=	А1 А2 -
е		0
			2

распавшаяся или блочно-диагональная матрица. Здесь А1 –

квадратная матрица порядка m, А2 - квадратная матрица по-

рядка n – m, А1 = ϕ L1 , А2 = ϕ L2 .

e′ e′′

Обратно, если в некотором базисе е матрица [ϕ ] имеет

е

вид (16.2), то Ln=L1 L2 - прямая сумма ϕ-инвариантных подпространств L1 и L2 , где L1= <е1,…,еm>, L2= <еm+1,…, еn>.

Вывод: Ln распадается в прямую сумму ϕ-инвариантных

123

подпространств [ϕ ] в некотором базисе е имеет блочно-

е

диагональный вид (16.2).

16.3. Прямая сумма линейных операторов.

Пусть Ln=L1 … Lk и i=1,…,k определен линейный

оператор ϕ i : Li→ Li c матрицей [ϕ	i	] в базисе е i={е1		i,…, ei	}
				n
еi				i
подпространства Li.
Теорема. ! линейный оператор ϕ : Ln → Ln			такой, что

ϕ Li = ϕ i .

Доказательство.

1. Единственность. Пусть искомый л.о. ϕ существует. Тогда

х Ln, х = х1+…+ хk , где все хi Li, и ϕ х = ϕ х1+…+ϕ хk = = ϕ1 х1+…+ ϕk хk – отсюда следует единственность л.о. ϕ .

2. Существование. Определим линейный оператор ϕ : Ln→ Ln так: пусть х Ln, х = х1+…+ хk (где все хi Li) ,

def

ϕх = ϕ1 х1+…+ ϕk хk (из пункта 1 видно, что никак иначе определить л.о. ϕ мы и не можем). Тогда

ϕхi=ϕ(0+…+ хi+…+0)=ϕ10+…+ϕiхi+…+ϕk0= ϕi хi, то есть i

имеем ϕ|Li=ϕ i . Из линейности операторов ϕ i легко следует

линейность оператора ϕ .

Упражнение. Доказать линейность оператора ϕ.

Определение. Построенный линейный оператор ϕ назы-

вается прямой суммой линейных операторов ϕ1,…,ϕk и обо-

значается ϕ1 … ϕk или ϕ1 … ϕk .

В базисе е пространства Ln, полученном объединением

базисов е1,…,еk, матрица [ϕ ]= [ϕ1 ] … [ ϕk ]. Кроме того,

е е1 еk

можно увидеть, что все Φ(Li) (см. п.13.5) естественным образом инъективно вкладываются в Φ(Ln), сумма их в Φ(Ln) является прямой:

Φ(Ln) Φ(L1) … Φ(Lk), и ϕ1 … ϕk Φ(L1) … Φ(Lk).

124

В случае прямой суммы двух ϕ-инвариантных подпро-

странств Ln=L1 L2 получаем ϕ = ϕ|L1 ϕ|L2 .

16.4. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

Мы установили, что упростить вид матрицы л.о. ϕ : L→ L можно, если у этого оператора существует хотя бы одно инвариантное подпространство в L. Еще лучше с упрощением матрицы дело обстоит тогда, когда в L существует два ϕ- инвариантных подпространства и сумма их – прямая. Вообще, чем больше в L имеется ϕ-инвариантных подпространств, сумма которых – прямая, тем сильнее можно упростить матрицу л.о. ϕ . Самая лучшая ситуация с упрощением матрицы имеется тогда, когда L равно прямой сумме п одномерных ϕ-инвариантных подпространств.

Рассмотрим вопрос, как находить одномерные ϕ-инвари- антные подпространства. Пусть V – одномерное подпростра-

нство, V = <s >, s ≠ 0 V= {α s| α P }. Очевидно, V –

ϕ-инвариантное подпространство ϕ V V ϕ s Vλ P такой, что ϕ s =λ s .

Определение. Пусть L – линейное пространство над полем Р, ϕ : L→ L – линейный оператор. Вектор s L называ-

ется собственным вектором л.о. ϕ , если s ≠ 0 и λ Р такое, что ϕ s = λs. λ называется собственным значением (собственным числом) оператора ϕ .

По определению 0L не является собственным вектором,

хотя ϕ 0L = 0L = λ0L λ Р .

Пример. Для L = С∞(-∞, +∞) - линейного пространства бесконечно дифференцируемых функций на числовой пря-

мой, и л.о. ϕ = d/dx : С∞(-∞, +∞) → С∞(-∞, +∞) вектор еkx

является собственным вектором с собственным значением k . Очевидно, что нахождение собственных векторов и нахождение одномерных ϕ-инвариантных подпространств – эк-

вивалентные задачи.

Рассмотрим, как находить собственные векторы. Пусть

125

ϕ : Ln → Ln - линейный оператор, е = {е1,…, еn } - базис в Ln. Тогда х – собственный вектор для ϕ λ Р такое, что

ϕ х=λ х, и х≠ 0 (λ id - ϕ) х= 0, и х≠ 0 х Ker(λ id - ϕ),

и х ≠ 0. Таким образом, все ненулевые векторы из Ker(λ id - ϕ) являются собственными векторами оператора ϕ, соответствующими собственному значению λ. Но в силу теоремы 6 из п.15 Ker(λ id - ϕ) ≠ {0} det(λ id - ϕ ) = 0 det [λ id - ϕ] = det(λE - [ϕ ]) = 0.

e

Рассмотрим χϕ(t)= det[t id -ϕ]= det(tE - [ϕ ]) - многочлен

e

от t степени n c коэффициентами в Р. Очевидно,

(λ id - ϕ)х = 0 (λE – [ϕ]) [x] = [0], причем ненулевые решения этой однородной системы линейных уравнений существуют λ - корень многочлена χϕ(t).

Заметим, что в силу леммы из п.14.2. det(t id - ϕ) не зависит от базиса e.

Определение. Многочлен χ (t)= χϕ(t) называется характеристическим многочленом оператора ϕ или матрицы [ϕ], а уравнение χ(t) = 0 называется характеристическим уравнением.

Таким образом, для нахождения собственных векторов линейного оператора ϕ надо:

1.	Найти корни	λ1,…, λk характеристического многочлена
χ (t) линейного оператора ϕ, лежащие в Р.
2.	Для каждого	λi , i = 1,…,k, решить однородную систему

линейных уравнений (λiE - [ϕ]) [x] = [0]. Её фундаментальная система решений даст множество линейно независимых собственных векторов с собственным значением λi .

Замечание. Если Р – алгебраически замкнутое поле, то характеристический многочлен обязательно имеет некоторый корень λ в Р, и, следовательно, для λ существует собственный вектор, то есть любой корень является собственным значением оператора ϕ . И значит, ϕ собственный вектор.

126

Если Р – не алгебраически замкнутое поле, то χ (t) может не иметь корней в Р, и тогда, соответственно, в L не будет собственных векторов для оператора ϕ .

Теорема. Характеристические многочлены эквивалентных матриц совпадают.

Доказательство. Пусть А~В Т: А = Т-1ВТ

χA(t)= |tE – A| = |tE - Т-1ВТ|=|Т-1(tE – В)Т|=|Т-1| |(tE – В)| |Т|= = |(tE – В)|= χB(t)B .

Легко видеть, что

	t − a11	− a12	− a13	...	− a1n
	− a21	t − a22	− a23	...	− a2n
χA(t)= |tE – A| =	− a31	− a32	t − a33	...	− a3n		=
	...	...	...	...	...
	− an1	− an2	− an3	...	t − ann

=(t – a11) (t – a22) … (t – ann)+ слагаемые степени ≤ (n-2) =

=tn - (a11+ a22+…+ ann) tn-1 + …+ (-1)ndetA.

Определение. Для квадратной матрицы А =(аij) порядка n

следом матрицы называется tr A = а11+а22+…+ аnn .

По теореме, если А В, то trA=trВ, так как χA(t)= χВ(t), а trA – второй коэффициент характеристического многочлена. Очевидно, что и все остальные коэффициенты характеристических многочленов для эквивалентных матриц совпадают, в том числе и последние, но это мы уже знаем. Отсюда, в частности, следует, что если trA ≠ trВ, то А и В не эквивалентны.

Лекция 28.

16.5. Теорема Гамильтона – Кэли. Любая квадратная матрица А является корнем своего характеристического многочлена: χA(А)=0.

Доказательство. Пусть п – порядок матрицы А, и В=(bij)

– присоединенная матрица матрицы tE – A: B = (tE – A)* (см. 9.4). Тогда bij – алгебраические дополнения к элементам мат-

127

рицы tE– A, то есть миноры (с точностью до знака) (п-1)-го порядка матрицы tE– A. Значит, bij – многочлены от t степени

≤ п-1. Поэтому bij имеют вид bij = b(0)ij+ b(1)ijt + …+ b(п-1)ijtп-1,

где все b(k)ij Р. Определим матрицы В(k) с элементами из Р:

В(k) = ( b(k)ij), k = 0, 1,…,п - 1. Тогда В = В(0)+ tВ(1) )+…+ tп-1В(п-1).

По свойству присоединенной матрицы

В (tE – A) = |tE – A| Е.

(16.3)

Пусть χA(t)= |tE – A|= с0 + с1t+…+ сп-1 tп-1+ tп. Из формулы

(16.3) получаем:

(В(0)+ tВ(1) +…+ tп-1В(п-1))(tE– A) = (с0 + с1t+…+ сп-1 tп-1+ tп) Е.

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях t и запишем результат в таблицу:

При t0:	-В(0)А	= с0Е	×А0	=Е
При t1:	-В(1)А+ В(0)	= с1Е	×А
При t2:	-В(2)А+ В(1)	= с2Е	×А2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . .
При tп-1:	-В(п-1)А+ В(п-2)	= сп-1Е	×Ап-1
При tп:	В(п-1)	= спЕ	×Ап

Затем домножим все наши равенства на степени матрицы А, стоящие справа, и сложим их. Получим:

0 = с0Е+ с1А+…+ сп-1 Ап-1+ Ап =χA(А)

Следствие. [χϕ(ϕ )] = χ[ϕ]([ϕ])= 0 χϕ(ϕ )= 0.

16.6. Минимальный многочлен линейного оператора и матрицы.

Пусть L – линейное пространство над полем Р, ϕ : L→ L

– линейный оператор.

Определения.

1.Будем говорить, что многочлен f P[t] аннулирует оператор ϕ, если f(ϕ) = 0.

2.Будем говорить, что многочлен f P[t] аннулирует квадратную матрицу А, если f(А) = 0.

3.Аннулятором л.о. ϕ называется множество многочленов

Ann ϕ = {f P[t] | f(ϕ) = 0 }. Аналогично, аннулятором

128

квадратной матрицы А называется множество многочленов

Ann А = {f P[t] | f(А) = 0 }.

Из Теоремы Гамильтона – Кэли следует, что Ann ϕ ≠ 0, Ann А ≠ 0.

Так как [f(ϕ)] = f([ϕ]), то Ann ϕ = Ann [ϕ].

Определение. Минимальным многочленом линейного оператора ϕ называется ненулевой многочлен fϕ наименьшей степени из Ann ϕ со старшим коэффициентом, равным единице. Аналогично определяется минимальный многочлен fA матрицы A.

Утверждение. Для л.о. ϕ (соответственно, для матрицы А) минимальный многочлен определен однозначно.

Доказательство. Пусть f1ϕ , f2ϕ - два минимальных мно-

гочлена для ϕ. Тогда ст.f1ϕ = ст. f2ϕ ст.( f1ϕ - f2ϕ )< ст.f1ϕ ,

и f1ϕ - f2ϕ Ann ϕ f1ϕ - f2ϕ = 0 f1ϕ = f2ϕ .

Утверждение. Если f Ann ϕ, то fϕ | f.

Доказательство. Разделим f на fϕ с остатком:

f = q fϕ +r, ст. r < ст. fϕ r(ϕ) = f(ϕ) - q(ϕ) fϕ(ϕ)= 0 r= 0.

16.7. Инвариантные подпространства линейных операторов, действующих в векторных пространствах над R и над С.

Теорема. Пусть Ln – линейное пространство над полем С,

п>1, ϕ : Ln → Ln - линейный оператор. Тогда в Ln существует одномерное ϕ-инвариантное подпространство.

Доказательство следует из замечания в п.16.4 и из того,

что поле С алгебраически замкнуто.

Теорема. Пусть Ln – линейное пространство над полем R,

п>1, ϕ : Ln → Ln - линейный оператор. Тогда в Ln существует ϕ-инвариантное подпространство размерности ≤ 2.

Доказательство. Пусть χϕ(t)=р1(t) р2(t) … рm(t) - разло-

жение характеристического многочлена на неприводимые множители над полем R. Тогда все множители рi(t) имеют

129

степень 1 или 2. По теореме Гамильтона – Кэли χϕ(ϕ )=0

р1(ϕ ) р2(ϕ ) … рm(ϕ ) = 0 det(р1(ϕ ) р2(ϕ ) … рm(ϕ )) = 0 det р1(ϕ ) det р2(ϕ ) … det рm(ϕ )= 0 i: det рi(ϕ )= 0.

а) Пусть ст. рi(t) = 1. Можно считать, что рi(t) = t - λ0

рi(ϕ )= ϕ - λ0 id, det (ϕ - λ0 id) = 0 Ker (ϕ - λ0 id) ≠ 0 Ker (ϕ - λ0 id) s ≠ 0, s – собственный вектор, <s > - одномер-

ное ϕ-инвариантное подпространство.

б) Пусть ст. рi(t) = 2. Можно считать, что рi(t) = t 2 + аt + b,

рi(ϕ)=ϕ 2 +аϕ + b id. Так как det рi(ϕ )= 0, то Ker рi(ϕ ) ≠ 0Ker рi(ϕ ) и ≠ 0 (ϕ 2 + аϕ + b id)и = 0

ϕ 2и = - аϕ и - bu. Пусть v = ϕ и, V = < и, v >. Тогда V - ϕ- ин-

вариантное подпространство, так как ϕ и = v V,

ϕ v = ϕ 2и = - аϕ и – bu = - а v - bu V (см. также вывод 2 из п.16.1), и dimV ≤ 2.

Упражнение. Доказать, что в случае б) dimV = 2.

17. ДИАГОНАЛИЗИРУЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Определение. Линейный оператор ϕ : Ln → Ln называется диагонализируемым, если существует базис е в Ln такой, что [ϕ ] - диагональная матрица, [ϕ ] = diag(λ1,…,λп).

е

е

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие диагонализируемости). Линейный оператор ϕ : Ln → Ln имеет в некотором базисе е диагональную матрицу [ϕ ]= diag(λ1,…,λп)

е

базис е состоит из собственных векторов л.о. ϕ , а λ1,…,λп

– собственные значения оператора ϕ .

Доказательство.

. Пусть в базисе е = {е1,…, еn } матрица [ϕ ] =

е

diag(λ1,…,λп). Тогда i=1,…,п ϕ еi= λi еi базис е состоит из собственных векторов л.о. ϕ , с собственными значениями

λ1,…,λп .

130