Теорема 2.

Пусть

x(n)~X(k) , y(n)~Y(k),где n,k=0,1,.....N-1.

Тогда

x(n)y(n)~X(k)*Y(k). (15)

Доказательство:

При этом мы воспользовались определением прямого и обратного ДПФ (7-9),

свойством ортогональности комплексных экспонент на системе равноотстоящих точек (4), а также определением свертки.

7.8 Двумерное дискретное преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье можно обобщить на случай многих измерений, причем наиболее полезным оказывается обобщение на случай двух измерений, поскольку оно широко применяется при обработке изображений.

Двумерное ДПФ определяется следующим образом:

(16)

(17)

Массив данных образует матрицу [] размером ,т.е.

(18)

Рассмотрим в выражении (16) внутреннюю сумму, которая определяется как

(19)

Из этого выражения следует, что правая часть представляет собой ДПФ каждого столбца данных []. Поэтому введем обозначение

(20)

Коэффициенты в (20) можно записать в форме матрицы размером

:

(21)

В результате подстановки (20) в (16) имеем

(22)

или

Это означает, что коэффициенты получаются путем вычисления ДПФ каждой строки матрицы [], определенной выражением (21).

В результате получается множество из коэффициентов, которые могут быть записаны в виде матрицы

Из этих рассуждений следует, что двумерное ДПФ можно рассматривать как кратное использование одномерного ДПФ .

Выражение (16) можно представить в матричной форме:

где - матрица размером , элементами которой являются

- матрица размером , элементами которой являются