Классическая статистика ч2 - Сотский А.Б

Локальный ток в окрестности точки r можно трактовать как перемещение объема dV вместе с заполняющими его носителями заряда. Тогда

j = ρ

dr

=

da(l )

1

.

(41.23)

i

i

i

dt

dt

dV

В соответствии с законом Джоуля-Ленца в объеме dV за время dt

выделяется тепло

3

δ Q = dt∑ Ek jk dV .

(41.24)

k =1

Этот процесс сопровождается

увеличением

энтропии подсистемы на

dS (l ) = δ Q /T . Следовательно, в соответствии с (41.23) и (41.24),

dS

(l )

3

(l )

Ek

= ∑

dak

.

(41.25)

dt

k =1

dt

T

Сравнивая выражения (41.2) и (41.25), заключаем, что в рассматриваемом примере термодинамические потоки и силы определяются выражениями

J (l ) =

dak(l )

= j dV ,

X (l )

=

Ek

.

k

dt

k

k

T

При этом, согласно (41.3),

1

3

ji dV =

∑ L i(lk) Ek

(i =

1,3) .

(41.26)

T k =1

3

Из (41.21)

и (41.26) следует, что ∑[σ i k

− L i(lk) /(TdV )] Ek

= 0 . Но это

k =1

соотношение должно выполняться

при

произвольных значениях Ek .

Отсюда

σ

= L (l ) /(TdV ) .

i k

(41.27)

i k

Теперь заметим, что из определения (41.22) очевидно, что параметры

a(l )

не зависят

от импульсов частиц.

Поскольку такая

зависимость

i

является частным случаем квадратичной, должны выполняться соотношения (41.4). Следовательно, в соответствии с (41.4) и (41.27), тензор проводимости анизотропной среды обладает свойством симметрии σ i k (H) = σ k i (−H) , где H − напряженность магнитного поля в проводнике.

Данное свойство используется, например, при анализе вращения плоскости поляризации света веществом, помещенным в магнитное поле (эффект Фарадея).

§ 42. Формула Найквиста

Выше речь шла о флуктуациях термодинамических параметров, которые анализировались при помощи принципа Больцмана. Обратимся теперь к вычислению флуктуаций обобщенных координат на основании

71

канонического распределения Гиббса. Технику подобных расчетов проиллюстрируем на важном с точки зрения радиотехнических измерений примере оценки ЭДС тепловых шумов, генерируемых резистором, находящемся в тепловом равновесии с окружающей средой. Следствием такой оценки станет классическая формула Найквиста для дисперсии напряжения, измеряемого на выходе идеального фильтра (см. ниже).

Рассмотрим колебательный контур с эквивалентной схемой, представленной на рис. 42.1. Здесь R − резистор, L − индуктивность, C − емкость. Под e(t) понимается тепловая ЭДС, являющаяся случайной

функцией времени. Ее возникновение объясняется столкновениями электронов с атомами кристаллической решетки резистора, совершающими тепловые колебания. Если вследствие таких столкновений возникает направленное коллективное движение электронов, то в резисторе происходит пространственное разделение заряда, приводящее к появлению разности потенциалов на концах резистора.

В дальнейшем процесс e(t) будем предполагать стационарным, эргодическим и с нулевым математическим ожиданием.

R

e(t)

L

С

Рис. 42.1

Примем статистическую модель колебательного контура, в которой динамическими переменными являются ток в контуре i(t) и напряжение

на конденсаторе u(t) . Будем считать, что контур находится в тепловом

равновесии с окружающей средой (термостатом с температурой T ). Рассчитаем вначале дисперсию напряжения на конденсаторе D(u) .

Согласно эргодической гипотезе (см. § 23), значение D(u) может быть найдено усреднением u2 по каноническому распределению Гиббса. Чтобы

72

воспользоваться этим распределением, колебательному контуру следует сопоставить некоторый гамильтониан, записанный без учета взаимодействия контура с термостатом, т.е. при сопротивлении резистора R = 0 (согласно описанной выше модели взаимодействие колебательного контура с термостатом осуществляется через резистор).

Введем в рассмотрение канонические «координату» q и «импульс» p , определив их по правилу

q = uC , p = iL . (42.1)

Тогда искомым гамильтонианом будет энергия электромагнитного поля, запасенная в колебательном контуре:

H ( p, q) = 0.5( p2 L−1 + q2C −1 ) .					(42.2)
Действительно, при записи (42.2) уравнения Гамильтона
∂H =	dq	,	∂H = −	dp
∂p dt			∂q		dt

совпадают с известными динамическими уравнениями колебательного контура при нулевом сопротивлении резистора

i = C	du	,	u = −L	di	.
	dt			dt

Применив к гамильтониану (42.2) теорему о вириале, имеем

q	∂H	= kT ,	(42.3)
	∂q

где черта означает усреднение по каноническому распределению Гиббса, k − постоянная Больцмана. Следовательно, в соответствии с (42.3) и определением (42.1),

D(u) =

u2

= kTC−1 .

(42.4)

На первый взгляд, выражение (42.4) не содержит какой-либо информации о причине флуктуаций напряжения, т.е. о тепловой ЭДС e(t) .

Тем не менее, данное выражение может быть использовано для вывода формулы Найквиста.

В самом деле, случайные функции времени e(t) и u(t) связаны известным уравнением колебательного контура

	e = u + RC		du	+ LC			d 2u	.	(42.5)
			dt				dt 2
Подставив в (42.5) интегралы Фурье
e(t)		∞			ˆ
					e(ω)				(42.6)
		= ∫ exp(iω t)					dω ,
u(t)		−∞			uˆ	(ω)
после элементарных преобразований находим
		uˆ (ω) = eˆ (ω)G(ω) ,							(42.7)

где

73

G(ω) = (1 − ω2 LC + iω RC)−1 .		(42.8)
Согласно (42.6) и (42.7),
∞	∞
< u2 > =< ∫ exp(iω1t)G(ω 1 )eˆ (ω 1 )dω 1	∫ exp(iω 2t)G(ω 2 )eˆ (ω 2 )dω 2 > ,	(42.9)
−∞	−∞

где скобки < ... > означают усреднение величин по времени. Учитывая эргодическую гипотезу, а также эргодичность процесса e(t) , заменяем

выражение (42.9) на

∞ ∞
D(u) = ∫ ∫ dω 1dω 2G(ω 1 )G(ω 2 )exp[i(ω 1 + ω 2)t]eˆ (ω 1 )eˆ (ω 2 ) ,	(42.10)

−∞ −∞

где черта означает усреднение по ансамблю процессов e(t) . Выполнив в

(42.6) обратное преобразование Фурье и подставив результат в (42.10), имеем

		1	∞ ∞
	D(u) =		∫ ∫ dω 1dω 2G(ω 1 )G(ω 2 )exp[i(ω 1 + ω 2 )t]I (ω 1			,ω2 ) ,	(42.11)
		(2π )2
			−∞ −∞
	где		∞ ∞
	I (ω 1,ω2 ) = ∫ ∫ dt 1dt 2exp[−i(ω 1t 1 + ω2t 2 )]				.
				e(t1 )e(t 2 )			(42.12)

−∞ −∞

После перехода к переменной интегрирования τ = t1 − t2 интеграл (42.12) приобретает вид

∞	∞
I (ω 1,ω 2 ) = ∫	∫ dt 1dτ exp[−i(ω 1+ ω 2 )t1 + iω 2τ ]ρ (τ ) ,	(42.13)

−∞ −∞

где ρ(τ ) = e(t1 )e(t1 −τ ) − автокорреляционная функция случайного процесса e(t) (в силу стационарности процесса e(t) данная функция не зависит от момента времени t1 и является симметричной: ρ(−τ ) = ρ(τ ) ). Определив по формуле Винера-Хинчина

		1	∞
	ρˆ (ω) =		∫ exp(iωτ )ρ (τ )dτ	(42.14)
		2π
			−∞

спектральную плотность ρˆ (ω) процесса e(t) , воспользовавшись в (42.13)

соотношением ортогональности для экспонент

∞

∫ exp[−i(ω 1 + ω 2 )t]dt = 2πδ (ω 1 + ω 2 )

−∞
(δ (ω1 + ω2 ) − дельта-функция	Дирака), затем выполнив в (42.11)
интегрирование по частоте ω2	и приняв во внимание, что в соответствии с
определением (42.8) и четностью функции ρ(τ )
G(−ω) = G* (ω) ,		ρˆ (−ω) = ρˆ (ω)

(звездочка означает комплексное сопряжение), приходим к соотношению

74

			∞
	D(u) = ∫				G(ω)		2 ρˆ (ω)dω ,	(42.15)
			−∞
где
	G(ω)		2 = [(1 − ω2 LC)2 + (ωRC)2 ]−1 .					(42.16)

Следует отметить, что результат (42.15) представляет собой частный случай известной в радиотехнике теоремы Винера-Хинчина, согласно которой дисперсия напряжения D(u) на выходе произвольного линейного

фильтра связана со спектральной плотностью напряжения ρˆ (ω) на входе фильтра формулой

∞
D(u) = 2∫		G(ω)		2 ρˆ (ω)dω ,	(42.17)
0

где под G(ω) понимается частотная характеристика фильтра (в общем

случае она может отличаться от функции (42.8)).

Из экспериментов известно, что случайный процесс e(t) имеет весьма короткую память, длительность которой τ m сравнима со средним периодом тепловых колебаний кристаллической решетки резистора (при

нормальных условиях τ	m	~ 10−12 c ). Поскольку автокорреляционная

функция ρ(τ ) , по своему физическому смыслу, заметно отличается от нуля при τ ≤ τ m , в соответствии с определением (42.14) можно считать, что ρˆ (ω) = ρˆ (0) в диапазоне частот

	ω		<< ω	m	= 2πτ −1 .	(42.18)
					m

С другой стороны, рабочие частоты реальных колебательных контуров, при которых функция G(ω) 2 вида (42.16) заметно отличается от нуля, также находятся в диапазоне (42.18). В такой ситуации функцию ρˆ (ω) в (42.15) можно положить равной ρˆ (0) и вынести из-под интеграла. Тогда

		D(u) =	ρˆ (0)	J (α ) ,		(42.19)
			RC
	где
	∞	d x					L
	J (α ) = ∫					α =
					,			.
		(1 − α x2 )2 + x2					CR2
	−∞
	Вычисление интеграла J (α ) по теореме					о вычетах при любых α ³ 0
	приводит к результату	J (α ) = π .
						(42.20)
	Таким образом, согласно (42.4), (42.19) и (42.20),
		ρˆ (0) = kTRπ −1 .				(42.21)

Выражение (42.21) означает, что в представляющем практический интерес диапазоне частот (42.18) спектральная плотность тепловой ЭДС

75

определяется только температурой термостата и сопротивлением резистора, вне зависимости от индуктивности и емкости колебательного контура. Иными словами, колебательный контур можно рассматривать как измерительный прибор для регистрации характеристик существующего независимо от этого прибора случайного процесса e(t) .

Предположим теперь, что с целью исследования тепловой ЭДС мы подключили резистор ко входу идеального фильтра с ступенчатой частотной характеристикой. Тогда дисперсия напряжения, измеряемого на выходе фильтра, может быть рассчитана по формуле (42.17), где

	G(ω)		2	1	при	ω <	ω	,
				=		ω >	ω
				0	при

ω − ширина полосы пропускания фильтра, удовлетворяющая условию

ω << 2πτ −1	. Вычисляя интеграл в (42.17) при	ρˆ (ω) = ρˆ (0) и учитывая
m
(42.21), приходим к формуле Найквиста
	D(u) = 2kTRπ −1 ω .	(42.22)

Итак, мы получили статистические характеристики (42.21) и (42.22) тепловой ЭДС, генерируемой резистором, как строгие следствия канонического распределения Гиббса и теоремы Винера-Хинчина, примененных к колебательному контуру.

Экспериментально зависимость дисперсии напряжения от T и R вида (42.22) была впервые подтверждена американским физиком Дж. Джонсоном в 1928 году, исследовавшим под этим углом зрения множество различных проводников.

Практическое значение формулы (42.22) заключается в том, что она позволяет оценить минимальное напряжение, подаваемое на вход приемника, которое можно различить на фоне беспорядочных тепловых шумов. А именно, модуль этого напряжения должен превосходить

σ (u) = D(u) . При этом под R и ω в (42.22) понимаются входное сопротивление и полоса пропускания приемника.

Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИКИ

§ 43. Неравновесные процессы

До сих пор мы рассматривали равновесные состояния макроскопических систем, в которых термодинамические параметры имели фиксированное значение для всей системы. Эти значения могли быть рассчитаны усреднением по каноническому распределению Гиббса. Теперь перейдем к исследованию неравновесных состояний.

Будем считать, что неравновесная макроскопическая система может быть охарактеризована локальными значениями термодинамических

76

параметров, которые являются полевыми переменными, то есть зависят от времени и пространственных координат. Наличие пространственных градиентов параметров порождает потоки вещества и энергии, которые, в конечном счете приводят предоставленную самой себе систему в состояние равновесия. Изучение таких потоков составляет предмет неравновесной термодинамики и кинетики.

Неравновесная термодинамика основывается на некоторых опытных фактах, относящихся к движению макроскопического количества вещества. Используемый в ней подход называется феноменологическим, так как в нем основные соотношения не выводятся, а постулируются исходя из экспериментальных данных. Аналогичный подход имеет место и в равновесной термодинамике.

Физическая кинетика использует другой метод изучения неравновесных процессов. В ней дается микроскопическое обоснование уравнений неравновесной термодинамики. При этом, как и в равновесной статистике, используются функции распределения. Однако они отличаются от распределения Гиббса и в общем случае зависят от времени и от координат. Основной задачей кинетики является обоснование уравнений, управляющих функциями распределения в пространстве и времени и установление связи неравновесных функций распределения с потоками макроскопических параметров.

Неравновесная термодинамика значительно проще кинетики. В качестве примера ее приложения получим уравнение теплопроводности, которое описывает температурное поле в неравновесной системе.

Воспользуемся тем экспериментальным фактом, что если температура не постоянна в пространстве, то возникают потоки тепла, направленные от областей с более высокой температурой к областям с более низкой температурой. Этот факт описывается так называемым законом Фурье:

δ Q = kdt ∫ÑTdσ.	(43.1)
S

Здесь δ Q − тепло, переносимое за время dt через замкнутую поверхность

S ,		охватывающую			объем	V ,	ÑT − градиент	температуры,
dσ =		dσ		n − ориентированный		элемент	площади поверхности S

( n − единичный вектор внешней нормали к поверхности в данной точке), k > 0 − коэффициент, называемый коэффициентом теплопроводности.

Если объем V фиксирован, то изменение заключенной в нем энергии составляет

dE = δ Q + dt ∫ F (r,t)dr .

(43.2)

V

Здесь через F обозначена так называемая функция тепловых источников. Она равна количеству тепла, выделяемому в единичном объеме в единицу

77

времени внешними источниками энергии. Функция F (r,T ) может

порождаться, например, лазерным пучком, локально нагревающим среду. Введем в рассмотрение плотность энергии в среде u . Очевидно, что

u = CρT .

(43.3)

Здесь C − удельная массовая теплоемкость среды при постоянном объеме,

ρ− плотность среды, T − температура, зависящая от координат и времени.

Согласно (43.1) – (43.3),

dE = VCρdT = kdt ∫ÑTdσ + dt ∫ F (r,t)dr .				(43.4)
		S	V
В соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса
∫ÑTdσ = ∫ÑÑTdr = ∫			Tdr .	(43.5)
S	V	V

Подставляя (43.5) в (43.4) и стягивая объем интегрирования к точке r , получаем

		Cρ ∂T = k	T + F ,	(43.6)
		∂ t
где	− оператор Лапласа.
	Уравнение (43.6) называется уравнением теплопроводности. Часто
это уравнение представляют также в форме
		∂T = a2 T + F′ ,		(43.7)
		∂ t
где	F′ = F / Cρ ,	a2 = k /(Cρ) −	так называемый	коэффициент

температуропроводности. При отсутствии источников тепла уравнение теплопроводности имеет вид

∂T = a2 T .

∂ t

Аналогичные рассуждения верны и при рассмотрении концентрации c(r,t) какой-либо примеси в среде. В этом случае закон Фурье

постулируется не для количества тепла, получаемого объемом, а для количества поступающих в этот объем частиц dn :

dn = Ddt ∫Ñc dσ.

S

Здесь D − так называемый коэффициент диффузии. Привлекая на помощь закон сохранения количества частиц (вместо закона сохранения энергии) и повторяя проделанные выше выкладки, получим

∂

∂t = D c . (43.8)

Вэтом уравнении аналогов функции плотности тепловых источников,

которая входит в (43.7), нет. Уравнение (43.8) называется уравнением диффузии, или уравнением Фика.c

78

Заметим, что в случае анизотропных сред уравнения (43.6) и (43.8) несколько усложняются:

	3	¶c =	3			Ñ	Ñ
Cρ¶T = k ÑÑ T+F,			∑	D	i j			c .
¶t	∑ i j i j	¶t				i	j
	i, j=1		i, j=1

Здесь k i j и D i j есть тензоры теплопроводности и диффузии. Пользуясь принципом Онсагера, можно показать, что

k i j(H) = k j i(−H) , D i j (H) = D j i(−H) .

Заметим также, что уравнение (43.8) относится к случаю нулевых средних силовых полей, действующих на частицы примеси. Более общее уравнение диффузии, применимое и в случае присутствия силовых полей, будет получено ниже средствами кинетики.

§ 44. Уравнение Смолуховского

Переходим к рассмотрению кинетики. В ней в деталях разработаны два метода анализа неравновесных процессов. Первый из них пригоден в случае плотных сред, в которых теряет смысл понятие свободного пробега частицы, ибо она постоянно взаимодействует с соседними частицами. Этот метод основывается на уравнениях Смолуховского и Фоккера-Планка. Второй метод, называемый методом Больцмана, определен при рассмотрении разреженных газов, в которых время свободного полета частицы много больше времени ее соударений с соседями.

Получим вначале уравнение Смолуховского.

Рассмотрим переход частицы из положения, характеризующегося радиус-вектором x в положение с радиус-вектором y , который она

совершает вследствие случайного воздействия на нее со стороны окружающей среды. Обозначим через

dW = w(y, x		τ ,t)d y	(44.1)

вероятность перехода частицы из положения x , которое она занимала в момент времени t , в элемент объема dy , окружающий конец радиус-

вектора y , за промежуток времени τ . Запись (44.1) означает, что

рассматривается плотная среда. Действительно, в этой формуле не учитывается предыстория частицы до момента времени t , что оправдано, если множество воздействий на частицу со стороны соседей моментально стирают ее память.

Процессы, для которых верна модель (44.1), в которой вероятность перехода зависит только от начального и конечного положений частицы, момента времени t и промежутка времени τ , называют цепями Маркова.

В более общем случае цепями Маркова называются случайные процессы, в которых корреляция существует только между двумя последовательными событиями.

79

Рассмотрим цепь Маркова для двух событий. А именно, запишем вероятность перехода частицы из положения x в момент времени t0 в

положение y в момент времени t0 + t + τ через промежуточную точку z , в которую частица попадает в момент времени t0 + t .

Первым событием является переход x → z , вторым – переход z → y .

Поскольку для марковских процессов предыстория частицы не существенна, два указанных события статистически независимы. В этом случае вероятность перехода частицы из положения x в элементарный объем dy , окружающий точку y , по теореме умножения вероятностей

равна

w(y, x t + τ ,t0 )dy = w(z, x t,t0 )dz w(y, z τ ,t0 + t)dy .

Предположим, что промежуточная точка z может быть произвольной. Тогда полная вероятность перехода x → y может быть рассчитана на

основании теоремы сложения вероятностей:

w(y, x		t +τ ,t0 )dy = dy∫ w(y, z		τ ,t0 + t) w(z, x		t,t0 ) dz ,	(44.2)

где интегрирование осуществляется по всему пространству. Разделив обе части уравнения (44.2) на элемент объема dy , получаем

w(y, x		t +τ ,t0 ) = ∫ w(y, z		τ ,t0 + t) w(z, x		t,t0 ) dz .	(44.3)
Выражение (44.3) называется уравнением Смолуховского
относительно плотности вероятности перехода частицы.
		§ 45. Уравнение Фоккера-Планка

Выражение (44.3) представляет собой нелинейное интегральное уравнение. Решать его достаточно сложно. Поэтому преобразуем его в более простое дифференциальное уравнение. Это преобразование

проведем методом, предложенным Понтрягиным.
	Введем в рассмотрение некоторую непрерывную функцию
пространственных координат g(y) . На					эту	функцию				наложим только
условия
	g(y) ® 0, Ñy	g(y) ® 0				y		® ¥ ,			(45.1)
				при
	i
где yi	- компоненты радиус-вектора y ( y1 = x, y2 = y, y3 = z ).
	Запишем разложение Тейлора для функции g(y) в окрестности
точки y = z :
g(y) = g(z) + ( yi - zi )Ñz g(z) + 0.5( yi - zi )( yk					- zk )Ñz Ñz				g(z) + ... ,		(45.2)
	i							i	k
где	по повторяющимся	индексам		подразумевается						суммирование.
				3	3
Например, ( yi - zi )( yk - zk )Ñz		Ñz	g(z) =	∑∑( yi - zi )( yk - zk )Ñz Ñz							g(z) .
		i	k	i=1 k =1						i	k

80