21. Нормальное распределение, его числовые характеристики. Нормальная кривая.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна:

f(x)=(1/(o*под корнем2п)*e^(x-a)^2/2о^2, >0

мы видим,что нормальное распределения определяется 2мя параметрами:a-мат ожидание и о-кв отклонение.Достатачно знать,эти параметры,чтобы задать нормальное распределение.

а)по опеределнию мат ожидания непрерывной случайной величины

M(x)=a

б)Среднее кв отклоненик номрального распределения равно параметру o

Нормальная кривая.

График плотности нормального распределения-нормальная кривая(кривая Гаусса)

22.Функция Лапласа и ее св-ва.Вычисление вероятности попадания в интервал нормально распределенной случайной велечины.Правило трех сигм.

Известно,что если случайная велечина Х задана плотностью распределения f(x),то вероятность того,что Х примет значение,принадлежащее интервалу(альфа,бетта) такова:

Р(альфа<X<бетта)= интеграл f(x)dx

пусть случайная велечина Х распределена по нормальному закону,тогда вероятность того,что Х примет значение,принадлежащее интервалу(альфа;бетта) равна

Р(альфа<X<бетта)=

Используя форумул Лапласа окончательно получим Р(альфа<X<бетта) =Ф(бетта-a/o)-Ф(альфа-a/o)

Правило трех сигм.

Преобразуем формулу Р(|X-a|< сигмы)=2Ф(сигма/среднее кв.откл.)я обозначу его - o

положив сигму=to,получаем

Р(|Х-а|<ot)=2Ф(t)

если t=3 и,следовательно,ot=3o,то

Р(|Х-а|<3o)=2Ф(3)=2*0,49865=0,9973

т.е вероятность того,что отклонение по абсолютной велечине будет меньше утроенного значения сред кв значения=0,9973

На практике правило 3 сигм применяют так:если распределение изучаемой случайной величины неизвестно,но условие,указ. в правиле,выполняется,то есть основание предполагать,что изучаемая величина распределена нормально:в противнмо случае не рапределена номрально.

23. Понятие о центральной предельной теореме (теорема Ляпунова).

Центральная предельная теорема. Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному распределению.(Пусть производится измерение некоторой физ величины,любое знаечнеи дает лишь приближенное значение,т.к на результат влияют независимые случайные факторы(t,колебания прибора).Каждый фактор порождает "ошибку",однако поскольку это число велико,их совокупное действие порождает уже "суммарную ошибку".Р/м суммарную ошибку как сумму большого числа взаимно независимых частных ошибок,мы в праве заключить,что суммарная ошибка имеет распределение,близкое к нормальному

Центральная предельная теорема (для разнораспределенных слагаемых) – теорема Ляпунова. Пусть X1, X2,…Хn, …– независимые случайные величины с математическими ожиданиями М(Хk)=аk D(Xk)=b 2/n i = 1, 2,…, n.

Введем обозначения:

Sn=X1+X2...+Xn

An=суммаK

Cущность Ляпунова состоит в том,чтобы каждое слогаемое суммы(Sn-An)/Bn оказывало на сумму ничтожное влияние

24.Задачи математической статистики.

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики—указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики—разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.